基于全局敏感性分析的壓氣機(jī)多級(jí)輪盤參數(shù)優(yōu)化*

王繼福 王躍方,2

（1.大連理工大學(xué)工程力學(xué)系；2.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室）

0 引言

壓氣機(jī)是航空發(fā)動(dòng)機(jī)的核心部件之一，其功能是壓縮吸入發(fā)動(dòng)機(jī)的空氣，并將壓縮后氣體供給后續(xù)的渦輪和燃燒室，提高燃燒效率。壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子在運(yùn)行過(guò)程中，承受著復(fù)雜的載荷，包括超高的轉(zhuǎn)速、較高的溫度和溫差、復(fù)雜的氣動(dòng)載荷、機(jī)械激振等，對(duì)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和安全有著較高的要求。

航空發(fā)動(dòng)機(jī)中壓氣機(jī)占總結(jié)構(gòu)質(zhì)量的40%～50%，輪盤約占整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量的25%～30%，減小壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對(duì)于提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)的效率和性能非常重要[1]。為了進(jìn)一步提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)推重比，對(duì)壓氣機(jī)結(jié)構(gòu)開展減重優(yōu)化設(shè)計(jì)是必要的。目前壓氣機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度優(yōu)化往往通過(guò)結(jié)構(gòu)對(duì)比、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度跨專業(yè)多次迭代的方式開展，僅部分采用參數(shù)化模型優(yōu)化，還有部分優(yōu)化更是需要通過(guò)跨部門跨學(xué)科協(xié)作開展。因此，如何有效的進(jìn)行壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)優(yōu)化，形成高效率、適用廣的優(yōu)化流程，對(duì)壓氣機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有著重要的意義。

隨著結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論和相關(guān)算法的研究，對(duì)于工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題發(fā)展出數(shù)學(xué)規(guī)劃方法、進(jìn)化算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等優(yōu)化方法。遺傳算法作為自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索算法，對(duì)于復(fù)雜的非線性問題有著更加優(yōu)越的性能[2]，被廣泛應(yīng)用于壓氣機(jī)相關(guān)領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[3-5]。Genta[6]評(píng)估了遺傳算法在轉(zhuǎn)子輪盤結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化中的適用性，結(jié)果表明遺傳算法對(duì)于此類問題非常有效。劉濤[7]以航空渦輪軸發(fā)動(dòng)機(jī)的組合式壓氣機(jī)為研究對(duì)象，基于代理模型技術(shù)和遺傳算法，對(duì)分開的單級(jí)離心式和軸流式輪盤進(jìn)行減重優(yōu)化設(shè)計(jì)。Kieszek[8]結(jié)合人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和遺傳算法對(duì)壓氣機(jī)輪盤進(jìn)行減重優(yōu)化，獲得減重6.58%的效果，在通過(guò)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的學(xué)習(xí)和模擬后，優(yōu)化效率得到顯著提高。

目前關(guān)于壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子的優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)象多為單級(jí)輪盤[9-10]，而實(shí)際壓氣機(jī)一般為多輪盤結(jié)構(gòu)，但是直接對(duì)多級(jí)輪盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)會(huì)存在分析過(guò)于復(fù)雜、計(jì)算規(guī)模大、優(yōu)化效率低等問題。雷先華[11]指出對(duì)壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子輪盤進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，不能只對(duì)單個(gè)盤分析，這樣會(huì)與實(shí)際情況有一定的誤差。輪盤之間依靠鼓筒連接，實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)需要考慮到盤鼓變形會(huì)產(chǎn)生10%～20%的附加應(yīng)力，這部分應(yīng)力對(duì)輪盤結(jié)構(gòu)強(qiáng)度有一定的影響。

本文針對(duì)多級(jí)輪盤結(jié)構(gòu)的壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子，進(jìn)行參數(shù)化建模，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)幾何特征的自動(dòng)控制。研究多級(jí)輪盤的靜強(qiáng)度，相較于單級(jí)輪盤計(jì)算更加符合實(shí)際情況?；谌置舾行苑治觯芯枯啽P強(qiáng)度性能對(duì)尺寸參數(shù)的敏感性，簡(jiǎn)化優(yōu)化模型。通過(guò)構(gòu)建高效、通用的優(yōu)化流程，實(shí)現(xiàn)多級(jí)輪盤轉(zhuǎn)子的減重優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 參數(shù)優(yōu)化方法

1.1 參數(shù)化建模

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)形狀的控制，需要將結(jié)構(gòu)特征的尺寸和約束等相關(guān)變量設(shè)為可控參數(shù)，通過(guò)參數(shù)化建模達(dá)到模型幾何特征自動(dòng)修改和更新的效果?？紤]到壓氣機(jī)多級(jí)輪盤轉(zhuǎn)子可優(yōu)化尺寸及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，針對(duì)每級(jí)輪盤的幅板高度、厚度，盤心高度、厚度，盤心倒圓半徑等關(guān)鍵尺寸進(jìn)行參數(shù)化。以單級(jí)盤為例，其參數(shù)設(shè)置如圖1 所示，幾何意義如表1 所示，各級(jí)輪盤參數(shù)設(shè)置相似。

圖1 輪盤參數(shù)化示意圖Fig.1 Disk parameterization diagram

表1 參數(shù)幾何意義Tab.1 Geometric meaning of parameters

為提高優(yōu)化效率，需要對(duì)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理簡(jiǎn)化。采用二維單元有限元建模方法，對(duì)轉(zhuǎn)子的軸對(duì)稱部分使用軸對(duì)稱單元建模，其他部分使用平面應(yīng)力單元，對(duì)于葉片結(jié)構(gòu)直接等效為質(zhì)量單元并與輪盤耦合。

1.2 優(yōu)化問題

參數(shù)化模型中的尺寸參數(shù)記為xi，則優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量可表示為：

考慮模型的干涉、裝配要求以及優(yōu)化方向等因素合理選擇參數(shù)范圍。

優(yōu)化目標(biāo)是減輕轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)質(zhì)量，有限元計(jì)算中通過(guò)APDL 命令流輸出二維結(jié)構(gòu)等效質(zhì)量來(lái)評(píng)估結(jié)構(gòu)質(zhì)量變化：

式中,Sei為單元面積;Rei為對(duì)應(yīng)單元質(zhì)心相對(duì)轉(zhuǎn)軸半徑;ρn為對(duì)應(yīng)材料密度。

除了參數(shù)范圍約束外，需考慮旋轉(zhuǎn)輪盤結(jié)構(gòu)的靜強(qiáng)度。壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)行時(shí)承受高離心力、高溫、氣動(dòng)力等載荷作用，轉(zhuǎn)子輪盤一旦發(fā)生破裂是無(wú)法包容的，對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)乃至機(jī)身和人員安全都是巨大威脅。一般以輪盤破裂裕度作為性能指標(biāo)，即破裂轉(zhuǎn)速儲(chǔ)備系數(shù)，對(duì)于壓氣機(jī)輪盤一般要求其破裂裕度不小于1.25?？紤]到計(jì)算誤差和設(shè)計(jì)裕量，綜合考慮優(yōu)化算法的選擇以及鄰近輪盤的影響等因素，該約束條件可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)修改。

綜上所述，定義單目標(biāo)優(yōu)化問題如下：

其中，為等效質(zhì)量；Mbt為周向破裂裕度；Mbr為徑向破裂裕度；Mbt0和Mbr0分別為給定的周向和徑向破裂裕度下限。

1.3 參數(shù)優(yōu)化策略

針對(duì)上節(jié)提出的優(yōu)化問題，本文實(shí)現(xiàn)參數(shù)優(yōu)化的流程如圖2所示?；赨G軟件實(shí)現(xiàn)壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子的參數(shù)化簡(jiǎn)化建模；基于Workbench實(shí)現(xiàn)壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析，并通過(guò)APDL命令流和Python等方法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)等相關(guān)變量的自動(dòng)化輸出；基于在開源優(yōu)化工具箱DAKOTA 基礎(chǔ)上開發(fā)的優(yōu)化工具，使用Sobol敏感性分析方法進(jìn)行參數(shù)敏感性分析，獲得關(guān)鍵參數(shù)簡(jiǎn)化優(yōu)化模型，使用遺傳算法和可行方向法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過(guò)各級(jí)輪盤參數(shù)分組優(yōu)化，并以整體結(jié)構(gòu)的輪盤破裂裕度值和結(jié)構(gòu)變形值對(duì)其進(jìn)行校核，實(shí)現(xiàn)多組參數(shù)同時(shí)優(yōu)化，提高優(yōu)化效率。通過(guò)構(gòu)建通用的優(yōu)化流程，相關(guān)參數(shù)和文件的自動(dòng)化傳遞與調(diào)用，實(shí)現(xiàn)高效自動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

圖2 參數(shù)優(yōu)化流程Fig.2 Parameter optimization process

2 輪盤靜強(qiáng)度分析

2.1 平均應(yīng)力法

輪盤結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度校核以其破裂裕度為準(zhǔn)，本文采用平均應(yīng)力法[12]計(jì)算各級(jí)輪盤破裂轉(zhuǎn)速。平均應(yīng)力法主要以輪盤子午面和圓柱面兩種截面上的正應(yīng)力為準(zhǔn)則，分別針對(duì)輪盤周向破裂和徑向破裂這兩種破裂形式，認(rèn)為當(dāng)輪盤子午面或者圓柱面平均正應(yīng)力達(dá)到材料強(qiáng)度極限時(shí)輪盤發(fā)生破裂。

輪盤子午面上的平均周向應(yīng)力為

其中，σt為輪盤周向應(yīng)力，相應(yīng)的周向破裂轉(zhuǎn)速可以用平均周向應(yīng)力表示：

其中，σb為材料強(qiáng)度極限；n為輪盤轉(zhuǎn)速。對(duì)于實(shí)際的輪盤結(jié)構(gòu)，材料和厚度帶來(lái)的誤差可以使用修正系數(shù)m，m的數(shù)值根據(jù)試驗(yàn)確定，一般m≤1。用相同的方法可得輪盤圓柱面破裂轉(zhuǎn)速為

式中，max為輪盤圓柱面最大平均徑向應(yīng)力，通常認(rèn)為圓柱面徑向應(yīng)力分布較為均勻，m可取1。

輪盤破裂轉(zhuǎn)速與最大工作轉(zhuǎn)速之比為其破裂轉(zhuǎn)速儲(chǔ)備，亦可稱為破裂裕度，即：

其中，n0為破裂轉(zhuǎn)速;nmax為最大工作轉(zhuǎn)速;σUTS為破裂子午面或圓柱面的平均工作溫度下的材料強(qiáng)度極限;σAVGT為輪盤平均周向應(yīng)力或平均徑向應(yīng)力。

2.2 輪盤靜強(qiáng)度

以典型壓氣機(jī)多級(jí)輪盤轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象，整個(gè)轉(zhuǎn)子共11級(jí)輪盤，約束轉(zhuǎn)子左端軸承連接處軸向位移，計(jì)算在最大轉(zhuǎn)速13000r/min、腔壓和非均勻溫度場(chǎng)作用下的輪盤靜強(qiáng)度。通過(guò)計(jì)算輪盤子午面和圓柱面上的平均正應(yīng)力，根據(jù)平均應(yīng)力法得到相應(yīng)的破裂裕度。以轉(zhuǎn)子模型中第9級(jí)盤為例，其周向應(yīng)力和徑向應(yīng)力云圖如圖3 所示，最大周向應(yīng)力位于盤心底部，最大徑向應(yīng)力位于幅板底部。

圖3 9級(jí)盤應(yīng)力Fig.3 Stage 9 disk stress

在相同工況下對(duì)單級(jí)輪盤進(jìn)行分析，計(jì)算得到的應(yīng)力分布如圖4所示。完整多級(jí)輪盤轉(zhuǎn)子和單級(jí)輪盤分析得到的輪盤平均應(yīng)力和破裂裕度如表2 所示，可知由于鼓筒和其他輪盤帶來(lái)的附加應(yīng)力影響，單級(jí)輪盤計(jì)算的應(yīng)力比完整結(jié)構(gòu)應(yīng)力小，計(jì)算結(jié)果更加保守。因此，考慮多級(jí)輪盤結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜強(qiáng)度計(jì)算更符合實(shí)際。

圖4 單級(jí)盤應(yīng)力Fig.4 Single stage disk stress

表2 多級(jí)輪盤與單級(jí)輪盤靜強(qiáng)度比較Tab.2 Comparison of static strength between multistage disk and single-stage disk

3 敏感性分析

敏感性分析是研究模型輸出的不確定性問題，可以反映模型輸入?yún)?shù)對(duì)輸出參數(shù)的影響關(guān)系，敏感性指標(biāo)越大，說(shuō)明輸入?yún)?shù)對(duì)輸出參數(shù)的影響程度越大。進(jìn)行敏感性分析，可以幫助研究者處理復(fù)雜參數(shù)問題，確定輸入?yún)?shù)的關(guān)鍵域，簡(jiǎn)化分析模型。敏感性分析根據(jù)參數(shù)數(shù)量的不同，可以分為局部敏感性分析和全局敏感性分析。局部敏感性分析只考慮單個(gè)參數(shù)對(duì)模型輸出的影響程度，而全局敏感性分析考慮多個(gè)參數(shù)同時(shí)作用對(duì)輸出的影響程度，反映了多參數(shù)相互作用的結(jié)果[13]。

3.1 Sobol敏感性指標(biāo)

Sobol方法是由I.Sobol在原有基于方差分析的敏感性分析方法推廣而來(lái)，提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的基于蒙特卡洛實(shí)現(xiàn)的概念，能夠計(jì)算任何參數(shù)組的敏感性[14-15]。其實(shí)質(zhì)是將輸出函數(shù)的方差表示為每個(gè)輸入變量的方差和各變量間相互作用的方差的和，以參數(shù)的方差比例來(lái)表示參數(shù)對(duì)輸出的影響程度。

針對(duì)輸入?yún)?shù)為X=(X1,X2,...,Xk)，輸出函數(shù)為Y=f(X1,X2,...Xk) 的模型，其中Xi∈[0,1],i=1,2,...k，通過(guò)高維模型展開(HDMR)為一組維度遞增函數(shù)的和：

假設(shè)f(X)是平方可積的，對(duì)式進(jìn)行平方并積分可得

式中Vi可以衡量單獨(dú)參數(shù)的影響效應(yīng)，Vij可以衡量Xi和Xj聯(lián)合效應(yīng)。因此，根據(jù)各個(gè)參數(shù)方差的貢獻(xiàn)比例可以定義全局敏感性系數(shù)如下：

一階敏感性系數(shù)Si表示每個(gè)輸入?yún)?shù)對(duì)輸出變化的主要影響貢獻(xiàn)，總效應(yīng)系數(shù)STi表示單個(gè)參數(shù)對(duì)輸出方差的總貢獻(xiàn)。

3.2 敏感性結(jié)果

為分析轉(zhuǎn)子關(guān)鍵尺寸對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度指標(biāo)的影響程度，以第5 級(jí)盤的幅板和盤心尺寸為輸入?yún)?shù)，以結(jié)構(gòu)質(zhì)量、5級(jí)盤的周向破裂裕度和徑向破裂裕度為響應(yīng)進(jìn)行敏感性分析。各響應(yīng)結(jié)果對(duì)輸入?yún)?shù)的總敏感性系數(shù)如圖5、圖6所示,可知盤心厚度和高度對(duì)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和破裂裕度都有較大的影響，而盤心倒角對(duì)于結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和破裂裕度影響較小，優(yōu)化中可以忽略該參數(shù)。輪盤的周向破裂裕度受盤心高度影響較大，徑向破裂裕度受幅板厚度影響較大，這與輪盤結(jié)構(gòu)最大周向應(yīng)力和徑向應(yīng)力分布特點(diǎn)相符合。

圖5 結(jié)構(gòu)質(zhì)量對(duì)5級(jí)盤參數(shù)的敏感性系數(shù)Fig.5 Sensitivity coefficient of structural quality to stage 5 disk parameters

圖6 5級(jí)盤破裂裕度對(duì)其參數(shù)的敏感性系數(shù)Fig.6 Sensitivity coefficient of stage 5 disk burst margin to stage 5 disk parameters

控制單個(gè)參數(shù)變化得到第5、6級(jí)盤的周向、徑向破裂裕度隨第5 級(jí)盤幅板厚度和盤心高度變化曲線分別如圖7、圖8所示。整體上隨著幅板厚度的增加，輪盤周向和徑向破裂裕度增大，隨著盤心高度增加輪盤周向破裂裕度增大，徑向破裂裕度減小。而第五級(jí)盤單個(gè)參數(shù)變化對(duì)第6 級(jí)盤破裂裕度的影響幅度在0.001 左右，可以認(rèn)為在一定的范圍內(nèi)，單級(jí)輪盤尺寸參數(shù)的改變不會(huì)大幅度影響其他輪盤的破裂裕度。

圖7 破裂裕度隨幅板厚度變化曲線Fig.7 Variation curve of burst margin with plate thickness

圖8 破裂裕度隨盤心高度變化曲線Fig.8 Variation curve of burst margin with height of disk center

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)

基于前文所建立的參數(shù)化模型和優(yōu)化問題，針對(duì)多級(jí)輪盤的壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子關(guān)鍵尺寸參數(shù)進(jìn)行減重優(yōu)化。優(yōu)化前轉(zhuǎn)子軸對(duì)稱部分重274.08kg，優(yōu)化后減重13.55kg，減重率為4.94%。結(jié)構(gòu)輪盤參數(shù)較多，不予全部展示，優(yōu)化前后8～11級(jí)輪盤結(jié)構(gòu)如圖9所示，參數(shù)如表3 所示，其中r，a，b，c，d為對(duì)尺寸參數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的無(wú)量綱標(biāo)準(zhǔn)值。由于幅板厚度尺寸較小，優(yōu)化后幅板厚度變化較小，盤心厚度變薄。

圖9 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)Fig.9 Structure before and after optimization

表3 優(yōu)化前后參數(shù)Tab.3 Initial and optimized parameters

優(yōu)化后各級(jí)輪盤的破裂裕度以及相應(yīng)的減重量如表4所示，優(yōu)化后的1級(jí)盤徑向破裂裕度、5級(jí)盤周向破裂裕度和6級(jí)盤徑向破裂裕度有所提高，其他破裂裕度均下降。其中第6 級(jí)盤由于初始徑向破裂裕度小于1.25，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)質(zhì)量相較于初始結(jié)構(gòu)質(zhì)量增加，徑向破裂裕度有所提升。優(yōu)化后各級(jí)輪盤均不小于1.25，且滿足約束條件，優(yōu)化后轉(zhuǎn)子最大位移改變量?jī)H為0.12mm，結(jié)構(gòu)剛度符合要求。

表4 優(yōu)化后破裂裕度及減重Tab.4 Burst margin after optimization and mass reduction

5 結(jié)論

1）通過(guò)建立參數(shù)化模型和高效的參數(shù)優(yōu)化流程，以復(fù)雜的壓氣機(jī)多級(jí)輪盤轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象，開展全局敏感性分析和減重優(yōu)化設(shè)計(jì)。相較于單級(jí)輪盤，采用多級(jí)輪盤模型考慮了鼓筒、其它輪盤對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的影響，通過(guò)參數(shù)分組優(yōu)化提高了優(yōu)化效率。

2）基于Sobol敏感性分析得到輪盤關(guān)鍵尺寸，結(jié)果表明輪盤的周向破裂裕度受盤心高度影響較大，徑向破裂裕度受幅板厚度影響較大，盤心倒角半徑對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量和靜強(qiáng)度影響較小，單級(jí)盤參數(shù)改變對(duì)鄰近盤的破裂裕度影響較小?；谶z傳算法和可行方向法對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行減重優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)減重4.94%，且破裂裕度滿足要求。