一維波動(dòng)方程的計(jì)算模擬

斯小琴，陳大偉①

（1.安徽建筑大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 合肥 238076；2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院，安徽 合肥 230026）

0 引言

波動(dòng)方程主要描述自然界中的各種波動(dòng)現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如光波、聲波和水波.它也是一種重要的二階線性偏微分方程，是雙曲形偏微分方程的典型代表，出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，如物理學(xué)、流體力學(xué)和聲學(xué)等領(lǐng)域［1-2］.歷史上許多著名的科學(xué)家在波動(dòng)方程的研究上都做出貢獻(xiàn)，如達(dá)朗貝爾、歐拉、伯努利和拉格朗日等［3］.

在這類波動(dòng)方程的研究過程中，僅僅有方程還不足以完全確定具體的物理過程，即不能完全確定方程的解.因?yàn)槿魏我粋€(gè)波動(dòng)過程，在某一時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)不僅始終與此刻之前的狀態(tài)即初始時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，還與兩端所受的約束即端點(diǎn)處的物理?xiàng)l件有關(guān)，也就是說具體的物理過程與初始條件及邊界所受的外界作用均有關(guān)［4-7］.在實(shí)際求解方程時(shí)，除一些特殊的情況下，如涉及的物體幾何形狀比較簡單時(shí)，可以方便地求出其精確解.其他情況由于實(shí)際物理問題的復(fù)雜性，往往很難得到其精確解.因此，研究該類方程的數(shù)值解就顯得比較重要.

求解波動(dòng)方程數(shù)值解的方法很多，常用的求解方法有分離變量法［8］、行波法［9］、格林函數(shù)法［10］、積分變換法［11］等，而最常用也較為成熟的數(shù)值解法是有限差分法［12-15］，其計(jì)算快速、精度較高、適用性強(qiáng)、容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，是使用范圍最廣的一種數(shù)值方法，在數(shù)值模擬研究中受到廣泛的應(yīng)用.它的基本思想是將問題的定義域進(jìn)行網(wǎng)格離散化，將每一網(wǎng)格處的導(dǎo)數(shù)由有限差分近似公式代替，從而把求解偏微分方程的問題離散化成差分格式，進(jìn)而求出數(shù)值解.

本文利用有限差分格式，通過基本辦公軟件EXCEL迭代［16］，Origin模擬數(shù)據(jù)，得到有初始條件和邊界條件的混合問題的一維波動(dòng)方程的波動(dòng)圖，從圖像中分析波動(dòng)的性質(zhì)，結(jié)果直觀、形象，方法簡單、實(shí)用.

1 模型與方法

考察一根長為l拉緊的均勻、柔軟而有彈性的弦，弦的左右兩端均為自由端，且施加不同頻率的外力R1(t)和R2(t)，其在平衡位置附近作垂直方向上的微小橫振動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足的一維波動(dòng)方程如下：

其中：u=u(x,t)表示弦上x點(diǎn)在t時(shí)刻沿垂直于x方向的位移，a是振動(dòng)的傳播速度，f(x,t)為弦在振動(dòng)過程中受到的外力，u(0,t)=R1(t)，u(l,t)=R2(t)為邊界條件，u(x,0)=φ(x)為弦振動(dòng)時(shí)的初始位移，為初始速度，R1(t)、R2(t)、φ(x)、φ(x)均為已知函數(shù).

利用有限差分法解上述一維波動(dòng)方程的數(shù)值解問題.分別取Δx=h，Δt=τ將空間和時(shí)間進(jìn)行離散化（h,τ分別稱為沿空間方向和時(shí)間方向的步長），即將空間和時(shí)間分別分割成m，n等份，可得網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如下：

根據(jù)有限差分方程的構(gòu)造方法，可得一維波動(dòng)方程式（1）的差分格式為

其中ukj=u(xj,tk)表示節(jié)點(diǎn)(j,k)處的函數(shù).引入網(wǎng)比，則式（3）變?yōu)?/p>

由式（4）可知，若求k+1時(shí)刻的振動(dòng)位移可由之前的k和k-1時(shí)刻的振動(dòng)位移直接獲得.值得注意的是，s2≤1為該差分格式的穩(wěn)定和收斂條件，中心階段誤差［13-14］為ο(h2)+ο(τ2).

對式（1）的初始條件用向前差商表示有：

即

2 數(shù)值模擬結(jié)果及分析

考慮一實(shí)際問題，一根長為1 m的彈簧，一端固定，另一端在外力作用下做周期T=1 s的振動(dòng)，該點(diǎn)的振動(dòng)方程為u(1,t)=sin 2πt，其振動(dòng)的傳播速度a=1 m/s，在初始時(shí)刻t=0時(shí)振動(dòng)的初始位移和初始速度均為0，考察該彈簧上各點(diǎn)在各時(shí)刻的振動(dòng)情況.

由描述可知，該問題為既有邊界條件又有初始條件的一維混合問題，即為如下方程：

取τ=0.05 s、h=0.05 m，由式（4）得其差分方程為：

由式（6）得初始條件為

通過所取的時(shí)間步長τ=0.05 s和空間步長h=0.05 m可將時(shí)空平面分割成21×21個(gè)時(shí)空節(jié)點(diǎn).在基本辦公軟件EXCEL中以第1行表示空間節(jié)點(diǎn)，1 m的空間長度可表示為0、0.05、0.1、…、0.95、1 m共21個(gè)節(jié)點(diǎn)；以第1列表示時(shí)間節(jié)點(diǎn)1 s的時(shí)間長度可表示為0，0.05、0.1、…，0.95、1 s共21個(gè)節(jié)點(diǎn).在EXCEL第2行和第3行中輸入式（9）的初始條件數(shù)值，在第2列和最后一列中輸入式（7）中的邊界條件數(shù)值，最后在節(jié)點(diǎn)（0.05，0.1）處編寫式（8），利用EXCEL中的下拉迭代計(jì)算功能，很快得到彈簧上各點(diǎn)在各時(shí)刻的振動(dòng)位移數(shù)值.為直觀地觀察和理解波的振動(dòng)情況，運(yùn)用Origin畫圖軟件將數(shù)據(jù)模擬成圖形.圖1給出彈簧上所有質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化圖，x軸表示各質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從圖1很容易觀測到各質(zhì)點(diǎn)各時(shí)刻的振動(dòng)位移.因彈簧的一端固定，另一端在外力作用下做周期振動(dòng)，是由末端的振動(dòng)慢慢帶動(dòng)前面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，這種現(xiàn)象在圖1中可以看出，開始時(shí)的振動(dòng)位移都是0，即沒有振動(dòng).

圖1 彈簧上所有質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化圖

為更詳細(xì)地觀察各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，可將圖1各質(zhì)點(diǎn)各時(shí)刻的振動(dòng)位移三維圖進(jìn)行分解為振動(dòng)位移隨坐標(biāo)的二維變化圖（圖2），即圖1沿著x方向的圖形和振動(dòng)位移隨時(shí)間的二維變化圖（圖3），即圖1沿著t方向的圖形.

圖3 彈簧上空間坐標(biāo)x每隔0.05 m時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移隨時(shí)間變化圖

圖2中分別給出t=0，1/4T，1/2T，3/4T，4/5T和T各時(shí)刻對應(yīng)的振動(dòng)位移隨坐標(biāo)的動(dòng)態(tài)變化圖.從圖2看出，開始時(shí)各質(zhì)點(diǎn)都在平衡位置均未振動(dòng)，隨著時(shí)間的推進(jìn)，末端質(zhì)點(diǎn)由于受外力作用發(fā)生周期性的振動(dòng)，同時(shí)帶動(dòng)彈簧上相鄰質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，當(dāng)末端質(zhì)點(diǎn)完成自己的一個(gè)完整的周期振動(dòng)，彈簧上就有一個(gè)完整的正弦波形出現(xiàn).

圖2 彈簧上各點(diǎn)在固定t時(shí)刻的振動(dòng)位移隨坐標(biāo)變化圖

圖3是空間坐標(biāo)每隔0.05 m時(shí)的振動(dòng)位移隨時(shí)間變化圖形，開始時(shí)為一橫軸上的一條線，即起始各點(diǎn)都在平衡位置均未振動(dòng)，末端振動(dòng)帶動(dòng)相鄰點(diǎn)依次振動(dòng).

3 結(jié)論

本文利用有限差分法表示波動(dòng)方程及其初始、邊界條件的差分格式，借助基本辦公軟件EXCEL的下拉迭代計(jì)算功能，方便、快速地計(jì)算出波動(dòng)方程的數(shù)值解，通過Origin將大量數(shù)據(jù)繪制成圖，直觀地得到波動(dòng)方程各點(diǎn)的振動(dòng)情況.對于不同初始、邊界條件下或有非齊次項(xiàng)（fx，t）時(shí)，不同波動(dòng)方程的求解此方法同樣適用.

有限差分法不僅可以解決形式簡單的容易求解解析解的波動(dòng)方程，對于復(fù)雜的邊界條件不易求解解析解的波動(dòng)方程，用差分法求數(shù)值解更簡單方便.而基本辦公軟件迭代、Origin模擬圖形，過程方便、快捷、簡單.此方法在解決實(shí)際問題中有一定的使用和參考價(jià)值.