數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索

福建省霞浦縣沙江中心小學(xué) 江 峰

數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項重要數(shù)學(xué)教學(xué)方法。通過數(shù)形結(jié)合式教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用，而且學(xué)生利用直觀的“形”分析“數(shù)”的時候，促使學(xué)生對“數(shù)”有一個清晰的認(rèn)識，有利于學(xué)生探知到“數(shù)”的本質(zhì)。而在利用“數(shù)”研究“形”的過程中，有助于學(xué)生邏輯思維的提升。為此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)的發(fā)展。

一、由“形”講“數(shù)”

小學(xué)階段的學(xué)生認(rèn)知能力尚處于發(fā)展變化中，且對事物的認(rèn)識和理解都是先從具象到抽象，即需要通過直觀的感受或經(jīng)驗來聯(lián)系抽象邏輯思維進(jìn)行有序的思考。為此，教師在教學(xué)中，可以借助直觀的“形”，讓學(xué)生在形象思維的啟發(fā)下，通過觀察圖形的方式來感受理論知識。

1.利用數(shù)形結(jié)合，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。

數(shù)學(xué)概念是體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，傳遞數(shù)學(xué)精神的源泉。所以，教師在教學(xué)理論概念的時候，可通過具象的“形”來突出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生在對概念進(jìn)行理解的同時，整理出概念的抽象內(nèi)涵以及外延，這對學(xué)生數(shù)學(xué)理論概念體系的整體構(gòu)建都有重要的幫助。

例如，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“小數(shù)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們學(xué)習(xí)到了近似數(shù)。教師在要求學(xué)生表示近似數(shù)的時候，其末尾上面的0是不可以去掉的。而小數(shù)的性質(zhì)中，說明了其末尾上的0，不論是添上還是去掉，數(shù)字的大小是不變的。但是學(xué)生卻很容易將兩者混淆在一起，為此，教師需要利用例子來引導(dǎo)學(xué)生找出近似值6.2與6.20之間的相同點和不同點，教師可以利用數(shù)形結(jié)合的方式來幫助學(xué)生理解兩者的區(qū)別。如圖，教師在數(shù)軸中表示出6.2與6.20的取值范圍，從而讓學(xué)生理解為什么6.20末尾的0不可以去掉，而且也能夠感受到6.20與6.2相比，前者更加精確。

教師在利用數(shù)軸為學(xué)生們講解的時候，學(xué)生可直觀形象的感受到近似數(shù)的理論意義，并且構(gòu)造出小數(shù)近似值的模型，進(jìn)而對小數(shù)位數(shù)的精確要求有了本質(zhì)的理解與認(rèn)識。

2.利用數(shù)形結(jié)合，提高解題能力。

由于小學(xué)階段的學(xué)生思維以具象思維為主，他們的抽象思維能力還在發(fā)育中。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)的時候，教師要將抽象的邏輯關(guān)系用具象的圖像來表示，以降低問題的難度系數(shù)，促使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的有效轉(zhuǎn)化，讓解題思路變得清晰明了。

例如，在蘇教版四年級下，學(xué)生學(xué)習(xí)“運(yùn)算律”的時候，教師向?qū)W生出示問題1935×2018-1934×2019，因為此題中的數(shù)字較大，如果直接來計算的話很容易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤。為此，學(xué)生可以采用乘法分配律的形式進(jìn)行運(yùn)算，但是在教師語言的點撥下，仍舊有部分學(xué)生無法理解其解題思路。為此，教師便以此題為背景，通過數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行教學(xué)，用圖形的方式提高學(xué)生對運(yùn)算定律的理解與應(yīng)用，進(jìn)而使問題得到正確的解答。教師利用電子交互式白板向?qū)W生構(gòu)建了下圖兩個長方形。

已知長方形ABCD與長方形AEFG，AB=2019，BC=1934，F(xiàn)G=2018，AG=1935。由上圖可知，AEHD是這兩個圖形重合的地方，為此，1935×2018-1934×2019此式子所求的結(jié)果可以轉(zhuǎn)化成這兩個圖形的面積差，也就是求解長方形DGHF與長方形EBCH之間的面積的差，從圖形中就可以直觀的發(fā)現(xiàn)，長方形DGHF與長方形EBCH寬的長度均為1，則兩個圖形的面積之差就應(yīng)該是2018×1-1934×1=2018-1934=84。學(xué)生借助直觀圖形有效避免了繁瑣的運(yùn)算步驟，同時也在數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程中，體驗到求解問題思路的多樣化。

3.利用數(shù)形結(jié)合，提高探究意識。

在數(shù)形結(jié)合思想下，學(xué)生主要研究的就是數(shù)與形之間的關(guān)系，并在一些表述抽象、內(nèi)容復(fù)雜或不能夠用文字語言解釋的問題求解中，就可以使用數(shù)形結(jié)合來充分展示問題，使原本抽象的問題變得簡單直接，這有助于調(diào)動學(xué)生對數(shù)學(xué)探索的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，同時也有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提升。

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)完分?jǐn)?shù)加減法后，教師帶領(lǐng)學(xué)生一同探究一個與分?jǐn)?shù)有關(guān)的經(jīng)典問題。求解特殊分?jǐn)?shù)加法算式：

在求解算式之前，教師需引導(dǎo)學(xué)生對算式進(jìn)行分析，從中得出算式中兩個相鄰項之間存在倍數(shù)關(guān)系，前一項是后一項的2倍，那么這些存在固定倍數(shù)關(guān)系的分?jǐn)?shù)在經(jīng)過無限加后，其最終的答案應(yīng)該是什么？在對此問題做深入探究的時候，教師便可以引入數(shù)形結(jié)合思想，啟發(fā)學(xué)生探究意識，促使學(xué)生通過圖形的幫助，得出算式結(jié)果，并感受到在數(shù)字運(yùn)算中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的便利性和直觀性。

如圖：

此問題中，教師借助數(shù)形結(jié)合中由數(shù)轉(zhuǎn)形的方式，促使學(xué)生探知到了分?jǐn)?shù)加法的奧秘，同時也讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)探究的樂趣。

二、以“數(shù)”帶“形”

1.利用數(shù)形結(jié)合，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師為了強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，會引導(dǎo)學(xué)生通過對數(shù)的觀察感受算法所蘊(yùn)藏的算理，從而展現(xiàn)計算的整個過程，讓學(xué)生在觀察和思考中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

例如，在小學(xué)數(shù)學(xué)探究性問題中，有一算式為：1+2+3+4+…98+99+100+99+98+…+4+3+2+1=（），在此問題的求解中，教師可利用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生用點陣圖的形式進(jìn)行問題的探究和觀察，以獲取有效的解決方法。

如上圖所示，左邊圖片從高到低依次數(shù)，每一層的點數(shù)就代表這一層的數(shù)，則得出的算式應(yīng)當(dāng)為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。在將左邊圖片以順時針的方向旋轉(zhuǎn)至右圖，則得到正方形點陣圖，總點數(shù)就是10×10=100。將正方形圖從低向高沿折線數(shù)，就得到算式1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。通過觀察可知，兩題存在一定的求解規(guī)律，即都可以采用10×10=100來計算。在此教學(xué)中，學(xué)生們通過找出數(shù)字與圖形中的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而探究出其中的規(guī)律，并從中感受到數(shù)學(xué)算理的本質(zhì)。

2.利用數(shù)形結(jié)合，鍛煉邏輯思維。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下成功構(gòu)建表象，然后通過邏輯思維求解形的問題，但是很少有學(xué)生能夠在求解過程中得出多種邏輯求解思路。但應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想后，學(xué)生經(jīng)歷了充足的思考，有效掌握了數(shù)的特點，并在探究中實現(xiàn)了多維分析與想象。再經(jīng)過對比分析和有效歸納形成空間觀念，同時也提升了邏輯思維能力。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“三角形”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們學(xué)習(xí)到了求解三角形面積的公式，為了能夠讓學(xué)生們理解“同底高相等的三角形其面積是相等的”這一特征。教師展示了下圖。

圖中，教師要求學(xué)生先計算第一幅圖的三角形面積，并提出問題“一個三角形的底邊長為6，高為4，是否僅存在一個？如果還有其他的三角形它們在方格中又是怎樣呈現(xiàn)的呢？”經(jīng)過學(xué)生們的討論得出后面的幾個三角形。并且每一個三角形的繪制都是在對比中完成。通過這一過程的學(xué)習(xí)，學(xué)生們對“同底高相等的三角形面積相等”這一特征有了明確的認(rèn)識，這也為后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)，同時也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

三、“數(shù)”“形”互化

1.通過數(shù)形互化，促使學(xué)生構(gòu)建新知。

在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合思想的例題有很多，如在分?jǐn)?shù)、小數(shù)算法的教學(xué)中結(jié)合數(shù)形對應(yīng)的方式，促使學(xué)生感受并理解算理實質(zhì)。還有在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的時候，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，可以幫助學(xué)生更好地掌握理論概念，同時在直觀的形的表示下，也促使學(xué)生加深了對抽象理論的認(rèn)識，進(jìn)而使新知的數(shù)學(xué)體系構(gòu)建更加完善。尤其在小學(xué)高年級的教學(xué)中，學(xué)生所構(gòu)建的新知不僅僅是教材中的理論知識，還會有從數(shù)學(xué)問題的求解與探究中得到的新知。

例如，有些行程問題、容斥問題等就可以利用圖形進(jìn)行問題的分析和探索，在圖形的助力下，學(xué)生對問題有了深入的認(rèn)識，并能夠自主完成關(guān)鍵步驟的探究和求解，同時也可以有效提煉出其中的新知，成功提高了課堂教學(xué)效率。再如，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)到了很多數(shù)學(xué)理論，如數(shù)學(xué)長度單位、面積單位以及體積單位等。如果學(xué)生沒有一個較強(qiáng)的數(shù)感，對不同單位下的數(shù)量沒有一個清楚的認(rèn)識，那么教師就要借助數(shù)形互化，幫助學(xué)生理解和提高學(xué)生的數(shù)感，從而完成新知的構(gòu)建。比如，在教學(xué)1cm3的時候，教師可以通過形的對比和數(shù)的區(qū)分，讓學(xué)生理解1cm3、1dm3以及1m3的形的不同，使學(xué)生 能 夠 更 加 清 楚 地 區(qū) 分1cm3、1cm2、1cm在數(shù)的意義上的不同。首先，教師讓每個學(xué)生準(zhǔn)備一塊橡皮泥，還安排學(xué)習(xí)小組共同準(zhǔn)備六張10cm的正方形白板，而教師準(zhǔn)備三個卷尺。工具準(zhǔn)備完畢后，教師便讓學(xué)生們用橡皮泥捏一個邊長為1cm的正方體，學(xué)生們將捏好的形狀放在手心，成品極小。接著，教師要求學(xué)習(xí)小組將準(zhǔn)備好的六張10cm的正方形白板拼接成一個正方體。學(xué)生們使用膠帶粘好后，各組展示成品，其正方體大小與橡皮泥的大小形成了鮮明的對比。白板拼接成的正方體的體積就是1dm3，這容易讓學(xué)生對1cm3與1dm3在形態(tài)上有清晰的認(rèn)識。最后，教師又要求學(xué)習(xí)小組用三個卷尺到教室的角落處量出及畫出體積為1m3的正方體。學(xué)習(xí)小組回到座位后，自覺地對比1dm3與1m3的空間大小。為了能夠更加形象地展示1m3的空間大小，教師可以形象描述：“如果把人視作方塊的話，1m3的空間內(nèi)能放十幾個人?！睂W(xué)生通過想象進(jìn)而得到了1m3在空間上的大小概念。此刻，學(xué)生完成了有關(guān)于體積的新知構(gòu)建。同理，教師為了能夠讓學(xué)生的抽象思維能力得到發(fā)展，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識1cm3、1cm2、1cm在數(shù)的意義上的不同。教師要求學(xué)生繼續(xù)拿出最初制作的1cm3的橡皮泥，隨后要求學(xué)生在白紙板上畫出邊長為1cm的正方形，還有一條長度為1cm的線段。單位的不同所代表的數(shù)的意義也不同。如果學(xué)生還沒有對此有充分的理解，那么教師可以在教室角落畫出1cm3的空間，再在地上用粉筆分別畫出邊長為1cm的正方形，還有一條長度為1cm的線段，對此仍舊存在疑惑的學(xué)生可以親自走到角落、方格內(nèi)，踩在線段上感受，通過切身的真實感受加深對1cm3、1cm2、1cm數(shù)的意義的理解，進(jìn)而完善關(guān)于數(shù)學(xué)單位的抽象認(rèn)知。

2.通過數(shù)形互化，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求解數(shù)學(xué)問題的時候，通過將精確的數(shù)與直觀的形有效結(jié)合在一起，使問題變得直觀簡單，讓學(xué)生對問題的求解思路變得更加清晰，促使學(xué)生在求解中實現(xiàn)高效深度思考，推進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

例如，在蘇教版教學(xué)數(shù)學(xué)“圓”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們學(xué)習(xí)到了如何求解圓的面積。在進(jìn)行面積公式的推導(dǎo)中，教師就可以采用數(shù)形結(jié)合思想，通過數(shù)形互化，促使學(xué)生探究出圓的面積公式，同時也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到有效的發(fā)展。

教師利用交互式電子白板展示一個圓形。（1）將此圓平均分解成若干份，通過拼接得到一個四邊形，此四邊形近似于長方形。已知，此長方形的寬是9cm，求最初的圓的面積是多少？（如下圖）

（2）假設(shè)該圖形中的長方形長是26cm，求此圓的面積為多少？

（3）假設(shè)該圓的周長和拼接的長方形周長相比要差10cm，求該圓的面積是多少？

（4）假設(shè)拼接后的長方形已知其周長是70cm，那么該圓的面積是多少？

實踐證明，在上述四個問題串的練習(xí)下，學(xué)生對圓的公式有了進(jìn)一步的認(rèn)識和理解，同時學(xué)生對其面積推導(dǎo)的實質(zhì)也有了明確的認(rèn)知。此步驟的探究學(xué)習(xí)，促使學(xué)生在數(shù)的引導(dǎo)下成功提升了空間觀念，也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及綜合能力得到了培養(yǎng)與發(fā)展。

總之，“數(shù)形結(jié)合”思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的價值不言而喻，所以教師還需積極探索，以借其力量，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效益。