激勵因素對人字齒行星齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

林何，李瑞華，孟漁航

(1.西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安 710084；2.西安工程大學(xué)，西安市現(xiàn)代智能紡織裝備重點實驗室，陜西西安 710600)

0 前言

人字齒行星齒輪作為大功率、高轉(zhuǎn)速傳動形式的一種，被廣泛應(yīng)用于風(fēng)電、航空航天、船舶重工等工業(yè)傳動領(lǐng)域。隨著人字齒行星齒輪應(yīng)用范圍的擴(kuò)展和性能需求的提高，影響系統(tǒng)振動不均的因素越來越受到重視。為了改善人字齒行星齒輪傳動系統(tǒng)的動載穩(wěn)定性，國內(nèi)外學(xué)者不斷提出新的方法或技術(shù)對人字齒行星齒輪傳動的動態(tài)特性進(jìn)行研究。WEI等提出了一種利用虛擬等效軸單元的動力學(xué)建模方法，構(gòu)建了人字齒行星齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型。MO等基于集中參數(shù)理論和Lagrange方法建立了人字齒行星傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型。李同杰等建立了直齒行星齒輪傳動純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，分析了激勵頻率、齒側(cè)間隙對該系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。但行星齒輪系在嚙合傳動過程中各齒輪的動載特性還會受到阻尼、綜合嚙合誤差和時變嚙合剛度等因素的影響。WANG和WU以風(fēng)電減速箱行星齒輪傳動系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)非線性動力學(xué)模型為研究對象，對比并分析了不同阻尼比對該系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，但是沒有涉及其他激勵因素對振動的影響。國內(nèi)研究人員還分析了嚙合相位對行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，發(fā)現(xiàn)嚙合相位差越小行星齒輪系統(tǒng)的平移振動越小。這些研究主要集中于單個因素對系統(tǒng)動態(tài)特性的分析。人字齒齒輪在結(jié)構(gòu)上可視為2對斜齒齒輪的組合體，獨特的結(jié)構(gòu)特性使其在嚙合過程中同時存在多點嚙合和多源激勵的情形，輪齒不斷的接觸和脫離過程中不斷地承受沖擊降低了運動穩(wěn)定性，對其動載特性的研究對于系統(tǒng)的整體穩(wěn)定尤為必要。

為進(jìn)一步探究激勵因素對系統(tǒng)在嚙合過程中動態(tài)特性的綜合影響。本文作者建立人字齒行星輪系的純扭轉(zhuǎn)非線性動力學(xué)模型，使用Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解，分析激勵因素對內(nèi)、外嚙合副動載性能的影響規(guī)律，并借助三維速度-頻率掃描瀑布圖、相圖和Poincaré映射研究系統(tǒng)的動態(tài)特性，對系統(tǒng)倍周期響應(yīng)進(jìn)行分析。

1 動力學(xué)模型與求解

人字齒行星齒輪系傳動系統(tǒng)簡圖如圖1所示。行星齒輪系主要包括一個太陽齒輪(s)、多個相同的行星齒輪(p)和一個內(nèi)齒圈(r)，行星齒輪主要由一個行星架(c)通過中間的滾動軸承進(jìn)行剛性連接。輸入扭矩作用在太陽輪上，輸出扭矩作用在行星架輸出軸上。圖2中-為系統(tǒng)全局坐標(biāo)系。動力學(xué)模型中單個人字齒輪分為左斜齒輪和右斜齒輪，2個斜齒輪之間視為歐拉梁單元銜接。

圖1 人字齒行星齒輪系傳動系統(tǒng)簡圖

圖2 人字齒行星齒輪系的純扭轉(zhuǎn)非線性動力學(xué)模型

所建動力學(xué)模型中作出如下假設(shè)：(1)模型中各個轉(zhuǎn)動體均關(guān)于其扭轉(zhuǎn)中心對稱，各齒輪視為剛體且物理屬性相同。(2)斜齒輪由于接觸的齒對數(shù)量波動而導(dǎo)致的嚙合剛度的時變分量被忽略。(3)輪齒滑動產(chǎn)生的摩擦力忽略不計。(4)嚙合線位于嚙合平面內(nèi)，阻尼力和嚙合力視為嚙合位移函數(shù)。不考慮內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)振動，采用集中質(zhì)量法建立含間隙人字齒行星齒輪動力學(xué)方程組(式(1))：

(1)

內(nèi)齒圈固定，認(rèn)為內(nèi)齒圈不產(chǎn)生振動，微分方程數(shù)量減1。

(sp,sp)是非線性間隙函數(shù)，具有分段線性特征。為等效實際嚙合傳動，令齒側(cè)間隙為2，有:

(2)

取= 10 μm。

方程組后續(xù)需進(jìn)行消除剛體位移及量綱一化求解，需將角位移轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)基圓切線上的等價線位移。即

(3)

(4)

動力學(xué)模型中，太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈可視為兩個斜齒輪通過梁連接，則太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈在扭轉(zhuǎn)方向存在剛體位移，使得方程組(1)成為奇異方程組，解不收斂。故引入轉(zhuǎn)動剛體間的相對位移、p，即

(5)

將式(5)代入式(1)，再將方程組(1)代入式(3)和式(4)中消除剛體位移，消去剛體矩陣奇異性，構(gòu)建新方程組。

在數(shù)值計算中，若同一方程中的系數(shù)量級相差很大，計算時容易出現(xiàn)病態(tài)問題，因此需要對方程組進(jìn)行量綱一化處理。

定義各構(gòu)件的等效質(zhì)量為:=，系統(tǒng)固有頻率為

(6)

(7)

將未經(jīng)量綱一化處理的參數(shù)代入消剛體位移后的方程組中，進(jìn)行量綱一化處理，得到不含剛體位移的含有16個自由度的間隙型非線性方程組，整理后統(tǒng)一形式為

(8)

式中:為量綱一化后的嚙合位移;、、和4個系數(shù)矩陣分別為量綱一化后的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和載荷矢量。其中=[,p,sp,rp]，=1,2,3，=1,2，1為左側(cè)，2為右側(cè)。需要說明的是因系統(tǒng)整體動力學(xué)方程復(fù)雜，參數(shù)較多，故只將內(nèi)、外嚙合位移sp、rp的阻尼矩陣與剛度矩陣列出，即：

coscos()

利用Fourier級數(shù)展開式表達(dá)時變嚙合剛度，則時變嚙合剛度表達(dá)式為

(9)

式中:(sprp)為內(nèi)、外嚙合副時變嚙合剛度均值;為剛度波動系數(shù);為嚙合頻率;為初相位;=1,2,3。

阻尼根據(jù)時變嚙合剛度進(jìn)行確定，其表達(dá)式為

(10)

式中:為阻尼比;(sprp)為內(nèi)、外嚙合副的等效質(zhì)量;=1,2,3。

綜合嚙合誤差一般采用簡諧函數(shù)描述，即

(sprp)()=(sprp)sin(+(sprp))

(11)

式中:(sp/rp)為各嚙合副綜合嚙合誤差幅值;(sp/rp)為各嚙合副綜合嚙合誤差初相位；=1,2,3。最后對量綱一化后的微分方程組使用Runge-Kutta法進(jìn)行求解。

2 振動特性

動力學(xué)系統(tǒng)中的行星輪數(shù)目=3；齒輪兩側(cè)斜齒輪的螺旋角=16°，法面壓力角=20°；輸入轉(zhuǎn)矩=891 N·m；外嚙合的嚙合剛度=8.38×10N/m，內(nèi)嚙合的嚙合剛度=7.62×10N/m；動力學(xué)系統(tǒng)中其余主要物理參數(shù)如表1所示，為簡化系統(tǒng)分析計算，人字齒輪左右斜齒輪參數(shù)均視為相同。以下所有非線性參數(shù)分析均以人字齒左側(cè)齒輪為主。

表1 人字齒行星齒輪系統(tǒng)主要動力學(xué)參數(shù)

2.1 阻尼變化激勵

圖3、圖4所示為外、內(nèi)嚙合的動載特性隨阻尼的變化曲線。給定4種轉(zhuǎn)速考察系統(tǒng)的動載特性，轉(zhuǎn)速對應(yīng)的量綱一嚙合頻率為1.5、1.7、1.9、2.1，阻尼比取值區(qū)間為∈[0.015,0.05]。圖3中:當(dāng)為1.7時，動載系數(shù)在∈[0.021,0.023]區(qū)間內(nèi)突降到1.789,然后激增到1.84；然后隨著阻尼比數(shù)值增大動載系數(shù)持續(xù)增長，在=0.038時從1.859降低到1.842左右后緩慢降低；動載系數(shù)在∈[0.021,0.023]內(nèi)和=0.038時均出現(xiàn)短時劇烈波動，可能是外嚙合在此區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生非線性混沌振動，使得載荷情況突變。內(nèi)嚙合(圖4)的動載系數(shù)變化趨勢與外嚙合相似但變化范圍總體降低，說明行星齒輪系統(tǒng)在重載工況下穩(wěn)定性更好。其激增原因與外嚙合激增類似。整體上來看，隨著與增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定趨勢明顯。

圖3 外嚙合的動載特性隨阻尼的變化 4 內(nèi)嚙合的動載特性隨阻尼的變化

2.2 時變嚙合剛度激勵

圖5、圖6所示為外、內(nèi)嚙合的動載特性隨時變嚙合剛度的變化曲線。選定剛度波動系數(shù)∈[0.1,0.35]，量綱一嚙合頻率取1.7、1.9、2.1。圖5中，當(dāng)為1.7時，在>0.17時，動載系數(shù)產(chǎn)生波動；在剛度波動系數(shù)=0.22時，動載系數(shù)急劇增加到1.87，發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，使得系統(tǒng)嚙合傳動狀況急劇變化，然后動載系數(shù)下降至1.8左右，隨后動載系數(shù)雖有波動，但總體處于下降趨勢；當(dāng)為2.1時，動載系數(shù)則在>0.2時在1.84上下發(fā)生波動。如圖6所示：內(nèi)嚙合動載系數(shù)的波動相較于外嚙合動載系數(shù)的變化更加平緩。整體上看，隨著剛度波動系數(shù)的增大，系統(tǒng)的動載特性會逐漸失穩(wěn)，但隨著齒輪轉(zhuǎn)換為純剛性件，系統(tǒng)的承載能力和傳動效率將得到提高。

圖5 外嚙合的動載特性隨時變嚙合剛度的變化 圖6 內(nèi)嚙合的動載特性隨時變嚙合剛度的變化

2.3 綜合嚙合誤差激勵

圖7、圖8分別為外、內(nèi)嚙合的動載系數(shù)變化。當(dāng)=1.7，綜合嚙合誤差∈[0.2,0.3]時，內(nèi)、外嚙合的動載系數(shù)均出現(xiàn)突變，其產(chǎn)生劇烈波動的原因推測是在此區(qū)間中出現(xiàn)了微弱的齒背沖擊，使得動載波動；當(dāng)>0.33時動載系數(shù)發(fā)生劇烈變化，出現(xiàn)了非線性混沌振動，使得系統(tǒng)的嚙合傳動強(qiáng)烈振動。在相同的系數(shù)范圍內(nèi)，內(nèi)嚙合的動載系數(shù)變化趨勢與外嚙合基本一致，但內(nèi)嚙合動載系數(shù)變化幅度較外嚙合有所減弱，行星齒輪均載能力得到驗證?？傮w來看，隨著綜合嚙合誤差的增加，內(nèi)、外嚙合的動載系數(shù)的變化主要呈遞增趨勢，則說明在此系統(tǒng)中，綜合嚙合誤差應(yīng)越小越好。

圖7 外嚙合的動載特性隨綜合嚙合誤差的變化 圖8 內(nèi)嚙合的動載特性隨綜合嚙合誤差的變化

2.4 非線性特性

在上述動載性能的分析中，=0.22、=0.22、=0.4時動載系數(shù)的突變程度最大。將以上3個突出值輸入系統(tǒng)，然后對外嚙合不同輸入速度下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換，獲得不同轉(zhuǎn)速下單獨的頻率內(nèi)容，最后得到如圖9所示速度-頻率掃描圖的系統(tǒng)整體振動的三維瀑布圖。瀑布圖中每個轉(zhuǎn)速下的振動含有多個離散獨立分布的頻率。這種模擬形式可將振動情況水平分成幾個網(wǎng)格諧波，一次諧波比其他高次諧波更多地支配振動頻譜，特別是在運行速度較高時。此外，一次諧波和二次諧波的最高峰均對應(yīng)同一頻率即1 671 Hz，該頻率為系統(tǒng)固有頻率的1/3，出現(xiàn)在激振頻率之后，系統(tǒng)出現(xiàn)超諧波共振，因此在系統(tǒng)運行中應(yīng)注意共振情況。在兩次諧波之外，還存在一些諧、雜波，這些諧、雜波對于系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)會產(chǎn)生一定沖擊，但是影響范圍有限。

圖9 891 N·m輸入扭矩下量綱一位移和動態(tài)嚙合力響應(yīng)的速度掃描瀑布圖

圖10 外嚙合量綱一位移-速度相圖和Poincaré映射

為進(jìn)一步分析系統(tǒng)動態(tài)特性，將一次諧波中的最大波峰對應(yīng)的太陽輪轉(zhuǎn)速5 013 r/min設(shè)定為系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)速,得到如圖10所示的外嚙合量綱一位移-速度相圖和Poincaré映射圖。圖10中相軌跡在不重合的前提下呈現(xiàn)交叉和纏繞現(xiàn)象最終形成閉環(huán)，吸引子充滿整個超環(huán)面，運動過程中并未出現(xiàn)明顯的齒背沖擊；吸引子點集呈現(xiàn)一定的擬雙周期振動特征，與圖9(a)三維瀑布圖中有2次諧波和一些諧、雜波的頻率信息相吻合，表明系統(tǒng)此時處于擬二倍周期運動狀態(tài)，但是存在一定的干擾。結(jié)合瀑布圖、相圖和Poincaré映射，說明系統(tǒng)在給定值區(qū)間仍然處于收斂狀態(tài)。

3 結(jié)論

(1)內(nèi)、外嚙合的動載系數(shù)變化趨勢大致相同情況下，r-p嚙合副的波動總要低于s-p嚙合副，內(nèi)嚙合具有更好的振動穩(wěn)定性。

(2)阻尼比變化下的動載系數(shù)總體呈減小趨勢，但在∈[0.021,0.023]區(qū)間內(nèi)動載系數(shù)發(fā)生突減現(xiàn)象；動載系數(shù)隨著剛度波動系數(shù)和綜合嚙合誤差數(shù)值增大而發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，產(chǎn)生激烈波動，因此在系統(tǒng)中要避免兩者數(shù)值過大使得系統(tǒng)失穩(wěn)。

(3)系統(tǒng)發(fā)生了超諧波共振，在最高振幅對應(yīng)的轉(zhuǎn)速時系統(tǒng)處于擬二倍周期運動，系統(tǒng)在給定區(qū)間內(nèi)收斂不發(fā)散。實際工況中應(yīng)盡可能地使系統(tǒng)處于合適的激勵頻率區(qū)間，避開大范圍混沌運動以減輕系統(tǒng)的振動。