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    含移動副間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動態(tài)特性研究*

    2022-09-14 09:21:18張楷源李圣雨楊羽中尹來容
    機(jī)械研究與應(yīng)用 2022年4期
    關(guān)鍵詞:曲柄導(dǎo)軌滑塊

    張楷源,李圣雨,楊羽中,彭 柱,尹來容

    (1.長沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院,湖南 長沙 410114; 2.衡陽泰豪通信車輛有限公司,湖南 衡陽 421099;3.湖南九宮格智能科技有限公司,湖南 長沙 410205)

    0 引 言

    受加工誤差、工作磨損、機(jī)械設(shè)計間隙配合等客觀因素的影響,間隙不可避免的存在于機(jī)械結(jié)構(gòu)中,并為系統(tǒng)帶來沖擊、混沌、精度下降等負(fù)面效應(yīng)。移動副是機(jī)械系統(tǒng)中最為常見的運(yùn)動副,存在于其中的間隙不可忽略。移動副間隙最早由Wilson和Fawcett關(guān)注,由于柴油機(jī)活塞與氣缸套內(nèi)壁之間存在間隙,因此導(dǎo)致了振動與噪聲問題[1]。Farahanchi和Shaw[2]研究了不同間隙尺寸、軸承摩擦、曲柄轉(zhuǎn)速和沖擊參數(shù)對系統(tǒng)周期響應(yīng)的影響。Flores[3]提出了一種含移動副間隙剛體多體系統(tǒng)建模方法。Zhuang和Wang[4,5]給出了基于經(jīng)典庫侖摩擦定律的移動副多剛體系統(tǒng)動力學(xué)的LCP(線性互補(bǔ)法)及HLCP(水平線性互補(bǔ)法)建模及數(shù)值方法,將移動副幾何約束視為雙邊約束,有效捕捉到了滑塊低速運(yùn)動時的粘-滑轉(zhuǎn)變現(xiàn)象。Wang等[6]將移動副中的滑塊視為柔性體,由于柔性滑塊與導(dǎo)軌接觸狀態(tài)和摩擦情況比較復(fù)雜,因此采用有限元建立了柔性滑塊的力學(xué)模型,給出含移動副間隙機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)方程的數(shù)值算法。Wu等[7]聚焦于空間移動副特有的滑塊和導(dǎo)向表面之間的不完整面接觸的情況,以簡化曲柄壓力機(jī)模型為研究對象,采用變剛度接觸力模型計算面接觸力。Qian等[8]建立了帶間隙移動副的三維模型,根據(jù)滑道與滑塊接觸段尖端的矢量關(guān)系,提出了一種區(qū)分碰撞過程中兩個元素之間位置關(guān)系的接觸檢測方法。

    筆者采用數(shù)學(xué)方法描述含間隙移動副中滑塊與導(dǎo)軌之間發(fā)生的碰撞、分離、連續(xù)接觸等非線性行為,并結(jié)合仿真結(jié)果,預(yù)測含移動副間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)行為,定性分析移動副間隙對機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。對于機(jī)械設(shè)計、機(jī)械性能改善、機(jī)械裝備開發(fā)等具有指導(dǎo)意義。

    1 移動副間隙數(shù)學(xué)模型

    圖1為移動副間隙模型,H為導(dǎo)軌上下邊界的垂直距離、W為滑塊寬度、L為滑塊長度、c為間隙尺寸,其大小為c=(H-W)/2。

    圖1 移動副間隙模型

    由于移動副間隙會導(dǎo)致滑塊與導(dǎo)軌之間發(fā)生接觸碰撞,因此建立有效的接觸檢測模型是研究的關(guān)鍵。圖2為接觸檢測模型,將移動副間隙分為滑塊1和導(dǎo)軌2兩部分,P為導(dǎo)軌上表面一端點,A、B、C、D為滑塊四個角點,設(shè)定單位法向量n=[0,1]T,單位水平向量t=[1,0]T。由于導(dǎo)軌為水平放置,單位法向量垂直于導(dǎo)軌。以滑塊角點A的接觸檢測為例,存在幾何關(guān)系為:

    圖2 接觸檢測

    (1)

    假設(shè)導(dǎo)軌上距離A最近的點為潛在接觸點A′,存在幾何關(guān)系為:

    (2)

    其中:

    (3)

    當(dāng)角點A發(fā)生侵徹時存在關(guān)系為:

    nTδ<0

    (4)

    侵徹值大小可表示為:

    (5)

    點A速度vA可表示為:

    (6)

    點A法向速度即為侵徹速度,其表達(dá)式為:

    (7)

    點A切向速度vTA可表示為:

    vTA=(tTvA)t

    (8)

    2 接觸力模型

    滑塊與導(dǎo)軌之間存在多種接觸形式,為提升所建立模型的精度,需針對不同接觸形式,采用適合的法向接觸力模型來衡量法向接觸力。對于角接觸,由于接觸區(qū)域很小,在滑塊拐角處可視為存在一個小圓角,因此可視為球面與平面的接觸,采用考慮能量耗散效應(yīng)的L-N接觸力模型[9]:

    (9)

    (10)

    (11)

    對于面接觸,如圖3所示,由于接觸區(qū)域為矩形且有效尺寸相對于接觸物體尺寸及表面相對曲率較大,因此不滿足赫茲接觸假設(shè)前提條件[10]。文中采用變剛度彈性接觸力模型,接觸剛度與接觸面積有關(guān)[7]。以滑塊上表面為例,當(dāng)發(fā)生面接觸時,有如下關(guān)系:

    圖3 面接觸矩形接觸區(qū)域

    (12)

    S=4ab

    (13)

    2a=Ls

    (14)

    式中:S為接觸矩形區(qū)域面積;a和b為接觸區(qū)域矩形的寬與長的一半;Ls為滑塊厚度。

    面接觸力計算公式為:

    Fn=Kδ

    (15)

    廣義接觸剛度K與接觸面尺寸的變化相關(guān),可由下式表示:

    (16)

    摩擦力作為一種復(fù)雜的作用力對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生顯著影響,選擇合理的摩擦力模型至關(guān)重要。為充分考慮相對運(yùn)動速度較低時摩擦力的高度非線性特點,采用Peter Brown提出的粘滯-滑移轉(zhuǎn)變的連續(xù)摩擦力模型[11],圖4為其特性曲線,它的表達(dá)式如下:

    圖4 考慮粘-滑轉(zhuǎn)變的連續(xù)摩擦力模型

    (17)

    式中:Ft為切向摩擦力;vr=‖vT‖/vt,vT為相對運(yùn)動速度,vt是過渡速度,表示由粘滯階段向滑移階段開始轉(zhuǎn)變的速度;μd和μs分別為動摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)。

    3 含移動副間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)多體動力學(xué)建模

    圖5為含移動副間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu),曲柄長度L1=0.05 m、質(zhì)量m1=0.3 kg、轉(zhuǎn)動慣量J1=0.000 1 kg·m2;連桿長度L2=0.12 m,質(zhì)量m2=0.21 kg,轉(zhuǎn)動慣量J2=0.000 25 kg·m2;滑塊長度L=0.05 m、滑塊寬度W=0.05 m、滑塊厚度Ls=0.05 m、質(zhì)量m3=0.14 kg、轉(zhuǎn)動慣量J3=0.000 1 kg·m2;恢復(fù)系數(shù)e=0.9、彈性模量Ek=207 GPa、泊松比vk=0.3。

    圖5 含移動副間隙曲柄滑塊機(jī)

    平面多體系統(tǒng)獨立位置約束方程組形式為:

    φ(q,t)=0

    (18)

    式中:t是顯式時間變量,方程組的數(shù)量等于系統(tǒng)中存在的獨立約束的個數(shù)。

    上述方程組對時間求一階導(dǎo),可得系統(tǒng)速度約束方程為:

    (19)

    上述方程組對時間繼續(xù)求導(dǎo)得到系統(tǒng)加速度約束方程為:

    (20)

    根據(jù)第一類拉格朗日方程可得到表達(dá)式為:

    (21)

    式中:M為廣義質(zhì)量矩陣;λ為拉格朗日乘子數(shù)組;Q為外力數(shù)組。

    通過聯(lián)立式(19)、(20),得到多體動力學(xué)增廣方程式為:

    (22)

    4 仿真分析與結(jié)果討論

    采用MATLAB內(nèi)置的ode45變步長積分算法求解系統(tǒng)微分方程組,可以在保證精度的同時有效避免因步長過小而導(dǎo)致積分效率低的問題。

    為探究間隙尺寸對含移動副間隙曲柄滑塊系統(tǒng)的影響,分別對不同間隙尺寸的系統(tǒng)進(jìn)行仿真,曲柄輸入速度均為500 r/min,選取同一時間區(qū)間數(shù)據(jù)繪制曲線圖。如圖6所示,隨著間隙尺寸逐漸減小,滑塊質(zhì)心加速度曲線波動峰值逐漸減小,這說明間隙尺寸的減小會顯著降低滑塊碰撞接觸力的大小,因為較小的間隙可以限制驅(qū)動力或外力對滑塊非理想運(yùn)動方向做功,從而限制了滑塊在碰撞方向獲得動能的能力。通過進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn),隨著間隙尺寸的減小,滑塊質(zhì)心加速度曲線由碰撞導(dǎo)致的波動由大幅值低頻率向小幅值高頻率轉(zhuǎn)變,這說明較小的間隙尺寸會導(dǎo)致高頻率的微小碰撞,據(jù)此可以推斷小尺寸間隙有助于增加滑塊與導(dǎo)軌的接觸頻率。

    圖6 不同間隙尺寸滑塊質(zhì)心X方向加速度曲線

    衡量系統(tǒng)動態(tài)行為的一個重要指標(biāo)是系統(tǒng)運(yùn)動的周期性,圖7展示了不同間隙尺寸下滑塊質(zhì)心Poincaré圖,包含了系統(tǒng)穩(wěn)定后的三個連續(xù)驅(qū)動周期。通過觀察發(fā)現(xiàn)隨著間隙尺寸減小,局部峰值發(fā)生位置隨驅(qū)動周期由分散轉(zhuǎn)變?yōu)榫奂钡街丿B,這說明在驅(qū)動速度等其他參數(shù)不變的前提下系統(tǒng)響應(yīng)隨間隙尺寸減小而逐漸呈現(xiàn)周期性。

    圖7 不同間隙尺寸滑塊質(zhì)心Poincaré圖

    驅(qū)動速度作為系統(tǒng)的關(guān)鍵要素對系統(tǒng)性能產(chǎn)生不可忽視的影響,為探究驅(qū)動速度與系統(tǒng)運(yùn)動特性的關(guān)系,分別在曲柄處施加不同大小的勻速驅(qū)動,截取并記錄系統(tǒng)在穩(wěn)定運(yùn)行后的兩個周期,圖8展示了曲柄不同轉(zhuǎn)速下滑塊質(zhì)心X方向加速度曲線。加速度局部峰值隨轉(zhuǎn)速降低而減小,而峰值發(fā)生頻率隨轉(zhuǎn)速降低而增加,這說明當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速降低時,滑塊處發(fā)生的非線性行為由劇烈而稀疏的碰撞轉(zhuǎn)變?yōu)槲⑿《芗佑|。進(jìn)一步觀察,發(fā)現(xiàn)當(dāng)驅(qū)動速度為低速時(100 r/min),加速度曲線中波動方向始終與滑塊運(yùn)動方向相反,這說明滑塊在低速運(yùn)動時受重力作用只與導(dǎo)軌下表面發(fā)生接觸,摩擦力成為影響系統(tǒng)運(yùn)動特性的主要因素。圖9為曲柄不同轉(zhuǎn)速下滑塊質(zhì)心Poincaré對比圖。

    圖8 不同驅(qū)動速度滑塊質(zhì)心X方向加速度曲線

    圖9 不同驅(qū)動速度滑塊質(zhì)心Poincaré圖

    通過觀察發(fā)現(xiàn)曲柄轉(zhuǎn)速在1 500 r/min、1 000 r/min、500 r/min三種狀況下局部峰值散布程度并沒有較為明顯區(qū)別,當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速為100 r/min時,局部峰值的出現(xiàn)呈現(xiàn)明顯的均勻散步,并且三個驅(qū)動周期峰值發(fā)生位置具有重疊的趨勢。這說明系統(tǒng)低驅(qū)動轉(zhuǎn)速下更趨向于周期性響應(yīng)。

    5 結(jié) 論

    文中建立了移動副間隙的數(shù)學(xué)模型,針對不同接觸形式采用合理的接觸力模型描述滑塊與導(dǎo)軌間的接觸行為。將所建立的間隙模型引入曲柄滑塊機(jī)構(gòu)多體動力學(xué)模型中,并開展了仿真分析,結(jié)論如下。

    (1) 文中所建立的間隙模型是有效的,能夠準(zhǔn)確捕捉含間隙系統(tǒng)的復(fù)雜的動力學(xué)行為。

    (2) 較小的間隙尺寸有助于減輕系統(tǒng)的混沌程度,緩解沖擊的劇烈程度,但間隙尺寸過小將導(dǎo)致高頻振蕩。驅(qū)動速度對于滑塊與導(dǎo)軌間的接觸行為產(chǎn)生顯著影響,較低的驅(qū)動速度有助于獲得周期性響應(yīng)。

    (3) 在工程實際中需要充分考慮移動副間隙的影響,可以通過合理限制間隙尺寸與驅(qū)動速度來改善含間隙機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)特性。

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