廣義對偶猶豫模糊軟集及其在決策中的應(yīng)用

江立輝, 陳華友, 馬成蕓

(1.合肥學(xué)院 人工智能與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽 合肥 230601; 2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230039)

0 引言

實際生活中存在著大量不確定信息所表述的問題，模糊集理論作為解決這類問題的有效工具得到了廣泛的關(guān)注，尤其是在與軟集理論結(jié)合后，關(guān)于模糊軟集的研究產(chǎn)生了大量的成果。Hu等人在直覺模糊軟集基礎(chǔ)上提出了一種新的相似度來確定專家權(quán)重，同時利用直覺模糊軟集Bonferroni平均算子對評價信息進(jìn)行集成，建立了一種用于醫(yī)學(xué)診斷的群體決策模型[1]。Chen等人依據(jù)決策者認(rèn)知有限的特點，利用Bonferroni平均算子進(jìn)行信息集結(jié)，提出了一種基于模糊軟集的群決策方法[2]。Murat等人將畢達(dá)哥拉斯模糊集和軟集相結(jié)合，提出了畢達(dá)哥拉斯模糊軟集的概念[3]。Zhang和Shu將軟集與對偶猶豫模糊集相融合，提出了對偶猶豫模糊軟集的概念，并研究其運算及性質(zhì)[4]?？紤]到專家在進(jìn)行決策時，對于不同屬性會有不同偏好，Majumdar等人對傳統(tǒng)軟集進(jìn)行了拓展，補充了屬性偏好這一參數(shù)，提出了廣義模糊軟集的概念，并將其應(yīng)用于疾病診斷問題中[5]。相關(guān)系數(shù)作為衡量變量間相關(guān)程度的指標(biāo)常被用于決策判斷，在模糊集和軟集中都有大量的研究[6～9]。Ye[6]和Tyagi[7]在猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)基礎(chǔ)上提出了對偶猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)。Das等人提出了猶豫模糊軟集和區(qū)間值猶豫模糊軟集的相關(guān)系數(shù)[8]。湯靜提出了對偶猶豫模糊集加權(quán)相關(guān)系數(shù)的概念[9]。

基于上述分析，考慮到人們在實際決策過程中，往往會注意到不同屬性間的差異，為其賦予不同的權(quán)重。同時我們還注意到，對偶猶豫模糊集因為增加了非隸屬猶豫函數(shù)，能夠更加準(zhǔn)確的表達(dá)實際問題中的數(shù)據(jù)信息。因此，本文將廣義模糊軟集和對偶猶豫模糊集相結(jié)合，提出了廣義對偶猶豫模糊軟集的概念，研究其相關(guān)運算及性質(zhì)。此外，本文還提出了廣義對偶猶豫模糊軟集相關(guān)系數(shù)的概念，給出了基于廣義對偶猶豫模糊軟集的多屬性決策方法，同時結(jié)合醫(yī)療衛(wèi)生資源優(yōu)化配置問題對其進(jìn)行了實證分析。

1 基本概念

定義1設(shè)U是一個初始論域，E是一個參數(shù)集，P(U)表示U的冪集，A?E，定義映射F:A→P(U)，則稱序?qū)?F,A)是軟論域(U,E)上的軟集。

定義2[5]設(shè)U是一個初始論域，E是一個參數(shù)集，P(U)表示U的冪集，F(xiàn):A→P(U)是一個映射，μλ是E的模糊子集，即μλ:A→[0,1]。定義映射Fλ:A→P(U)×[0,1]，對?e∈A，有Fλ(e)=(F(e),μλ(e))。其中F(e)∈P,μλ(e)∈[0,1]，則稱Fλ是軟論域(U,E)上的廣義模糊軟集。

定義3[11]設(shè)X是一個非空集合，X上的對偶猶豫模糊集(Dual Hesitant Fuzzy Set，簡記為DHFS)定義為:D={|x∈X}。

其中hD(x)?[0,1]是x的隸屬度可能值的集合，g(x)?[0,1]是x的非隸屬度可能值的集合。為方便書寫，將對偶猶豫模糊元(h(xi),g(xi))記為d(xi)。

定義4[11]設(shè)X是一個非空集合，定義空值對偶猶豫模糊集、滿值對偶猶豫模糊集、完全未知集和無意義集如下：

空值對偶猶豫模糊集：D={<0,1>}；

滿值對偶猶豫模糊集：D={<1,0>}；

完全未知集(所有可能集)：D=[0,1]；

無意義集：D=φ(h=φ,g=φ)。

通常情況下不同對偶猶豫模糊集的對偶猶豫模糊元的值是不同的，也是無序的。記X是非空集合,D1={|x∈X}和D2{|x∈X}是兩個對偶有猶豫模糊集。令l(hD1(x))、hD1(x))、l(hD2(x))和l(gD2(x))分別表示hD1(x)、gD1(x)、hD2(x)和gD2(x)中元素的個數(shù)，Ye[6]和Chen[12]給出了如下假設(shè)：

(2) 對于對偶猶豫模糊集D1和D2，當(dāng)l(hD1(x))≠l(hD2(x)),l(gD1(x))≠l(gD2(x))時，可以通個增加對偶猶豫模糊元中元素的個數(shù)來使得D1和D2達(dá)到同樣的長度。依據(jù)樂觀原則，增加元素中的最大值，即l(hD1(x))

定義5[11]設(shè)X是一個非空集合，D，D1，D2是對偶猶豫模糊集，定義對偶猶豫模糊集的交、并、補運算，如下：

定義6[6]設(shè)D是初始論域X={x1,x2,…,xn}上的對偶猶豫模糊集，D={xi,hD(xi),gD(x)>|x∈X}，則D的信息能量為:

其中ki=k(hD(xi))和li=l(gD(xi))分別表示hD(xi)和gD(xi)中元素的個數(shù)。

定義7[6]設(shè)D1、D2是初始論域X={x1,x2,…,xn}上兩個不同的對偶猶豫模糊集，D1={|x∈X},D2={|x∈X}，則D1、D2之間的相關(guān)性為：

對?xi∈X有ki=max{k(hD1(xi)),k(hD2(xi))},li=max{l(gD1(xi)),l(gD2(xi))},其中k(hD1(xi))、k(hD2(xi))分別表示hD1(xi)和hD2(xi)中元素的個數(shù)，l(gD1(xi))、l(gD2(xi))分別代表gD1(xi)和gD2(xi)中元素的個數(shù)。

易得:(1)CDHFS(D,D)=EDHFS(D)；

(2)CDHFS(D1,D2)=CHDFS(D2,D1)。

定義8[6]設(shè)D1、D2是初始論域X={x1,x2,…,xn}上兩個不同的對偶猶豫模糊集，D1={|xi∈X},D2={|xi∈X}，則D1、D2的相關(guān)系數(shù)定義為：

2 廣義對偶猶豫模糊軟集

u3/<{0.6,0.8},{0.1,0.2}>},<0.5,0.4>))

u3/<{0.6,0.8},{0.1,0.2}>},<0.7,0.2>)

u3/<{0.4,0.5},{0.1,0.3,0.5}>},<0.6,0.3>)

(1)A?B；

u3/<{0.6,0.7},{0.1,0.3}>},<0.4,0.6>)

u3/<{0.6,0.7},{0.1,0.3}>},<0.5,0.4>)

3 廣義對偶猶豫模糊軟集的相關(guān)系數(shù)

(1)

(2)

(3)

(1)ρGDHFSS1(α,β)=ρGDHFSS1(β,α)

(2)0≤ρGDHFSS1(α,β)≤1

(3)若α=β，則ρGDHFSS1(α,β)=1。

此外，還可以給出相關(guān)系數(shù)的另一個定義。

(4)

其具有定理7同樣的性質(zhì)。

4 基于廣義對偶猶豫模糊軟集的多屬性決策方法及實證分析

步驟1根據(jù)實際情形，將理想方案α和備選方案βk用廣義對偶猶豫模糊軟集表示；

步驟2利用公式(3)或(4)計算每個方案與理想方案之間的相關(guān)系數(shù)；

步驟3根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小排序，選擇最優(yōu)方案。

表1 比照樣本A*的評估結(jié)果

表2 醫(yī)院A1的評估結(jié)果

表3 醫(yī)院A2的評估結(jié)果

表4 醫(yī)院A3的評估結(jié)果

表5 醫(yī)院A4的評估結(jié)果

步驟1如表1所示，專家給出的比照樣本；

步驟2根據(jù)表2～5，利用公式(3)計算其與比照樣本之間的相關(guān)系數(shù)分別為

ρGDHFSS1(A*,A1)=0.8523
ρGDHFSS1(A*,A2)=0.8156
ρGDHFSS1(A*,A3)=0.9947
ρGDHFSS1(A*,A4)=0.5925

步驟3對結(jié)果進(jìn)行排序得A3?A1?A2?A4。

根據(jù)排序結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)醫(yī)院A3在優(yōu)化資源配置和加強資源投入與產(chǎn)出收益之間的平衡方面所采取的措施最為有效。

5 小結(jié)

軟集和模糊集都是用來處理不確定性問題的數(shù)學(xué)工具，近年來這兩種理論的融合引起越來越多學(xué)者的關(guān)注。廣義模糊軟集由于考慮了不同參數(shù)對決策對象的影響，相比于傳統(tǒng)的模糊軟集更加符合實際情況。對偶猶豫模糊集由于兼顧了猶豫性以及模糊信息表述時的隸屬度和非隸屬，在實際問題中能夠更加準(zhǔn)確的表示數(shù)據(jù)信息。因此，本文將對偶猶豫模糊集引入軟集理論，定義了廣義對偶猶豫模糊軟集的概念，拓展了軟集理論。模糊集理論內(nèi)容多、范圍廣，包括直覺模糊集、概率模糊集、二型模糊集、粗糙模糊集、Vague集、區(qū)間值模糊集等多種類別。具體到本文涉及的猶豫模糊集，則包括區(qū)間直覺猶豫模糊集、對偶猶豫模糊集、區(qū)間值猶豫模糊集、畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集、灰色猶豫模糊集等多種形式。因此我們可以在猶豫模糊集與廣義模糊軟集的融合問題上進(jìn)一步開展研究，例如，考慮區(qū)間數(shù)與對偶猶豫模糊數(shù)的結(jié)合，并將其引入到軟集理論中，構(gòu)建廣義區(qū)間數(shù)對偶猶豫模糊軟集，延拓軟集理論，為實際應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

此外，本文在決策模型構(gòu)建上僅考慮了相關(guān)系數(shù)這一個指標(biāo)，后繼可以進(jìn)一步研究廣義對偶猶豫模糊軟集的距離測度、相似度量等相關(guān)性指標(biāo)，構(gòu)建基于這些指標(biāo)的多屬性決策模型，結(jié)合醫(yī)療衛(wèi)生資源配置、水資源調(diào)度、教育資源分配、供應(yīng)商評價等實際問題開展應(yīng)用研究。