基于改進(jìn)PSO-GWO算法的油氣懸架參數(shù)優(yōu)化

馮 勇，周 旸，李閣強(qiáng)，毛 波，王 帥

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 河南 洛陽(yáng) 471003； 2.山東萬(wàn)通液壓股份有限公司， 山東 日照 262313)

1 引言

油氣懸架融合了液壓與氣壓傳動(dòng)技術(shù)和機(jī)械懸架技術(shù)，能夠有效緩解外界沖擊并快速衰減振動(dòng)，其非線(xiàn)性剛度和阻尼特性在車(chē)輛行駛平順性中起重要作用。

國(guó)內(nèi)外對(duì)懸架系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方面做了大量研究，韓壽松等通過(guò)AMESim、RecurDyn和SIMULINK聯(lián)合仿真，實(shí)現(xiàn)了半主動(dòng)油氣懸架的阻尼參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)；田文朋等針對(duì)連通式油氣懸架，應(yīng)用改進(jìn)多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解，大幅提高了車(chē)輛平順性；姚琳等通過(guò)聯(lián)合仿真，采用遺傳算法對(duì)懸架系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，使導(dǎo)彈發(fā)射筒筒口位移均方根值大幅降低；Gomes等針對(duì)1/4車(chē)模型，應(yīng)用PSO算法對(duì)懸架的剛度與阻尼特性進(jìn)行了優(yōu)化研究；Qin等針對(duì)多缸油氣懸架系統(tǒng)，研究了阻尼直徑與初始充氣體積對(duì)車(chē)輛平順性的影響，為懸架系統(tǒng)的優(yōu)化提供了參考；Kwon等基于HPS(hydraulic power steering)的整車(chē)模型，通過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了兼顧舒適性與穩(wěn)定性互相矛盾的帕累托前沿；Han等采用改進(jìn)的帕累托人工魚(yú)群算法，得到最優(yōu)懸架參數(shù)，提高了配備機(jī)械彈性輪車(chē)輛的乘坐舒適性。相較于遺傳算法，PSO算法更容易實(shí)現(xiàn)且需要調(diào)整的參數(shù)較少，通過(guò)改進(jìn)可以極大改善算法的收斂速度與解的多樣性。

本文中提出了一種基于改進(jìn)PSO算法與GWO算法結(jié)合的混合算法，以車(chē)身加速度、懸架動(dòng)撓度、輪胎動(dòng)載荷為優(yōu)化目標(biāo)，通過(guò)SIMULINK建模仿真，研究?jī)?yōu)化前后油氣懸架性能的變化對(duì)車(chē)身姿態(tài)與舒適性的影響。該算法同時(shí)具有PSO算法快速收斂的特性，又具有GWO算法精度高，魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)。

2 九自由度整車(chē)動(dòng)力學(xué)模型

本文中的研究對(duì)象為某三軸運(yùn)輸車(chē)輛，為了更全面分析車(chē)輛的車(chē)身姿態(tài)、操縱穩(wěn)定性以及乘坐舒適性，建立九自由度整車(chē)模型，如圖1所示。

圖1 九自由度整車(chē)模型示意圖Fig.1 9-DOF vehicle model

油氣懸架的剛度與阻尼特性需要用非線(xiàn)性表達(dá)式表示，影響油氣懸架剛度和阻尼的主要因素是位移與速度。結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別以位移、速度為自變量，產(chǎn)生的剛度力與阻尼力為因變量，考慮靜態(tài)時(shí)方程的準(zhǔn)確性，去除多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)并在Matlab中使用最小二乘法擬合，得到的結(jié)果如圖2、圖3所示。三階與四階多項(xiàng)式的擬合曲線(xiàn)與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，說(shuō)明使用多項(xiàng)式模型能夠準(zhǔn)確表示油氣懸架的剛度阻尼特性。

圖2 Matlab剛度力擬合曲線(xiàn)Fig.2 Matlab stiffness force fitting curve

圖3 Matlab阻尼力擬合曲線(xiàn)Fig.3 Matlab damping force fitting curve

為了簡(jiǎn)化模型，本文中選用三階非線(xiàn)性表達(dá)式，表達(dá)式如下：

(1)

以簧下質(zhì)量為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律，以車(chē)身靜平衡位置為原點(diǎn)建立數(shù)學(xué)模型，當(dāng)=1,2時(shí)，=1；當(dāng)=3,4時(shí)，=4；當(dāng)=5,6時(shí)，=7。

(2)

以車(chē)身為研究對(duì)象，建立如下數(shù)學(xué)模型：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：0(=1,2,…,6)為對(duì)應(yīng)輪胎相對(duì)位移；、、、、分別為左前、右前、左中、右中、左后、右后油氣懸架活塞相對(duì)位移；(=1,2，…，6)為簧下質(zhì)量；為車(chē)身質(zhì)量；、分別為繞質(zhì)心的側(cè)傾和俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)應(yīng)的側(cè)傾角和俯仰角為、；、(=1,2，…，6)為輪胎的剛度和阻尼；(=1,2，…，8,9)、(=1,2，…，8,9)為油氣懸架非線(xiàn)性剛度與阻尼特性表達(dá)式系數(shù)；(=1,2，…，6)為各簧下質(zhì)量的垂向位移；為車(chē)身的垂向位移；、、、為懸架支點(diǎn)到質(zhì)心的距離；(=1,2，…，6)為路面激勵(lì)。

3 Simulink仿真模型

根據(jù)式(1)～式(5)在Simulink中搭建仿真模型，由于非線(xiàn)性項(xiàng)的存在且整車(chē)9個(gè)自由度相互耦合，模型較為復(fù)雜，不易區(qū)分，因此使用Subsystem模塊并進(jìn)行封裝，得到圖4所示的整車(chē)動(dòng)力學(xué)模型，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 車(chē)輛主要參數(shù)Table 1 Main parameters of vehicle

圖4 Simulink仿真模型示意圖Fig.4 Simulink simulation model

路面激勵(lì)是最主要的輸入信號(hào)，只有盡可能接近實(shí)際路況才能更準(zhǔn)確地模擬車(chē)輛的行駛特性，本文中采用計(jì)算方便的白噪聲法創(chuàng)建路面模型。為了使整車(chē)的路面輸入具有相關(guān)性，在前后輪路面激勵(lì)間加入延時(shí)信號(hào)，對(duì)于左右輪，建立如下?tīng)顟B(tài)方程：

(7)

式中：為空間截止頻率，取0.011；為行駛速度；為空間頻率；為參考空間頻率；()為路面不平度系數(shù)；()為隨機(jī)白噪聲。

設(shè)置車(chē)速為30 km/h，得到C級(jí)路面的激勵(lì)仿真結(jié)果曲線(xiàn)如圖5所示?？梢钥闯觯昂筝喖?lì)曲線(xiàn)波形基本相同，只在時(shí)間上存在滯后，左右輪波形變化趨勢(shì)相同。

圖5 C級(jí)路面激勵(lì)仿真結(jié)果曲線(xiàn)Fig.5 Grade C pavement simulation result

4 優(yōu)化算法的改進(jìn)

4.1 PSO算法

PSO算法也稱(chēng)鳥(niǎo)群覓食算法，能夠有效解決復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題。PSO算法的基本流程是初始化一群隨機(jī)粒子，即隨機(jī)解，利用種群每個(gè)粒子間的信息交換，從每個(gè)粒子位置中尋找個(gè)體最優(yōu)位置pbest，并通過(guò)pbest更新種群最優(yōu)位置gbest。假設(shè)粒子群的搜索空間為dim維，其中粒子的位置為=(1,2,…,dim)，粒子在空間中的速度為=(1,2,…,dim),粒子在空間中的速度更新公式為

dim(+1)=dim()+[dim()-dim()+]

[dim()-dim()]

(8)

粒子在空間中的位置更新公式為

dim(+1)=dim()+dim(+1)

(9)

式中：為迭代次數(shù)；dim()、dim()分別為粒子當(dāng)前在第dim維空間的速度與位置；為慣性因子；、為加速常數(shù)；、為區(qū)間[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

4.2 GWO算法

GWO(灰狼算法)是近年Mirjalili受狼群?jiǎn)l(fā)提出的一種優(yōu)化算法。狼群擁有非常嚴(yán)格的等級(jí)，如圖6所示，狼位于金字塔頂端；狼次之，狼和狼位于金字塔的第二層和最底端。GWO算法中，每個(gè)灰狼的位置代表空間中的一組可行解，因此可以得到最優(yōu)解、亞優(yōu)解、季優(yōu)解和一般解4個(gè)等級(jí)的解，分別對(duì)應(yīng)著狼群的4個(gè)社會(huì)等級(jí)。

圖6 狼群等級(jí)分層示意圖Fig.6 Wolf pack hierarchy

設(shè)維空間目標(biāo)位置=(1,2,…,dim)，當(dāng)前灰狼位置=(1,2,…,dim)，當(dāng)前灰狼向目標(biāo)移動(dòng)后的位置為：

(+1)=()-·|·()-1()|

(10)

式中：為區(qū)間[-,]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)；為常數(shù)，初始值為2，并隨著迭代次數(shù)由2線(xiàn)性遞減至0；為區(qū)間[0,2]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

每次迭代都保留3個(gè)頭狼的最優(yōu)位置并計(jì)算頭狼與狼群的距離，以此更新整個(gè)狼群位置。

(11)

(12)

式中：、、分別表示α狼、β狼、δ狼的位置。

4.3 PSO-GWO混合算法

PSO算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，收斂速度快，但精度低，魯棒性差。而GWO算法正好相反，魯棒性較強(qiáng)，但收斂速度慢，融合2種算法的優(yōu)點(diǎn)得到一種混合算法。PSO-GWO算法主要以PSO算法為主，完成一次PSO算法后，將得到的種群最優(yōu)位置gbest引入狼群中的α狼，此時(shí)α狼的位置為

(+1)=gbest()

(13)

為了避免粒子群陷入局部收斂，對(duì)PSO算法進(jìn)行以下改進(jìn)：

1) 將GWO算法得到的頭狼位置也作為最優(yōu)解加入速度的計(jì)算。

2) 加速常數(shù)、分別代表粒子個(gè)體與群體對(duì)該粒子速度的影響，迭代前期，為了使種群多樣性，PSO算法的粒子主要受個(gè)體信息的影響，迭代后期，為了快速收斂，粒子主要受社會(huì)群體影響，采用非線(xiàn)性變化的加速常數(shù)。

3) 慣性因子較大時(shí)有利于全局搜索，較小時(shí)有利于局部搜索，采用非線(xiàn)性的慣性因子變化策略。

修改后的速度公式為

dim(+1)=dim()+[dim()-dim()]+

[dim()-dim()]+

[dim()-dim()]

(14)

加速常數(shù)更新公式為

(15)

慣性因子更新公式為

(16)

式中：、分別為慣性因子的最小值與最大值；、分別為加速常數(shù)迭代的初始值與最終值；、為當(dāng)前迭代次數(shù)與最大迭代次數(shù)。

以PSO算法為外循環(huán)，GWO算法為內(nèi)循環(huán)，設(shè)PSO算法最大迭代次數(shù)為次，GWO算法最大迭代次數(shù)為次，則從開(kāi)始到結(jié)束GWO算法共迭代×次，算法流程如圖7所示。

圖7 PSO-GWO算法流程框圖Fig.7 Flow chart of PSO-GWO algorithm

5 油氣懸架參數(shù)優(yōu)化

5.1 優(yōu)化算法函數(shù)的設(shè)置

1) 目標(biāo)函數(shù)

一般來(lái)說(shuō)，車(chē)身加速度、懸架動(dòng)撓度以及輪胎動(dòng)載荷分別影響車(chē)輛的舒適性、車(chē)身姿態(tài)與穩(wěn)定性，選取三者作為油氣懸架系統(tǒng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)。通常情況，三項(xiàng)指標(biāo)相互矛盾，懸架系統(tǒng)既要滿(mǎn)足車(chē)輛的行駛穩(wěn)定性，又要盡可能提高車(chē)輛舒適性，同時(shí)懸架動(dòng)撓度也要在允許的范圍內(nèi)。由于優(yōu)化目標(biāo)有3個(gè)，將各目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱處理并加權(quán)求和，故目標(biāo)函數(shù)如下：

(17)

式中：rms表示各項(xiàng)的均方根；、為優(yōu)化前后車(chē)身加速度；0、分別為優(yōu)化前后懸架平均動(dòng)撓度；0、分別為優(yōu)化前后輪胎平均動(dòng)載荷；、、為子目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)。

2) 設(shè)計(jì)變量

在仿真模型中改變油氣懸架剛度和阻尼參數(shù)，以式(17)為目標(biāo)，經(jīng)過(guò)大量試算，選取對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響較大的參數(shù)為設(shè)計(jì)變量。結(jié)合圖2、圖3所示的剛度阻尼曲線(xiàn)，考慮車(chē)輛行駛穩(wěn)定性與舒適性的要求，各優(yōu)化變量及取值范圍如表2所示，表中ki的單位為N·m，的單位為N·s·m。

表2 設(shè)計(jì)變量取值范圍Table 2 Value range of design variables

3) 約束條件

懸架動(dòng)撓度均方根與輪胎動(dòng)載荷均方根必須限制在合適的范圍，一般來(lái)說(shuō)，懸架動(dòng)撓度應(yīng)小于限位行程，輪胎動(dòng)載荷應(yīng)小于路面靜載。對(duì)于車(chē)身的側(cè)傾角與俯仰角，一般限制車(chē)身側(cè)傾角不超過(guò)6°，車(chē)身俯仰角不超過(guò)3°?？紤]到安全性，建立約束的數(shù)學(xué)模型為：

(18)

式中：[]為限位行程；[]為路面靜載。

4) 罰函數(shù)設(shè)計(jì)

式(18)的約束條件均為不等式約束，可以采用內(nèi)罰函數(shù)法設(shè)計(jì)罰函數(shù)。相對(duì)于外罰函數(shù)在不可行區(qū)域施加懲罰，內(nèi)罰函數(shù)法可直接在可行域邊界“筑起高墻”，將目標(biāo)函數(shù)攔在可行域內(nèi)，可構(gòu)造如下增廣目標(biāo)函數(shù)

(19)

式中：為懲罰因子,+1=01；()為罰函數(shù)，由所有約束條件構(gòu)成。

5.2 優(yōu)化結(jié)果

PSO-GWO算法設(shè)定初始種群大小為100，內(nèi)循環(huán)最大迭代次數(shù)為20次，外循環(huán)最大迭代次數(shù)為200次，加速常數(shù)1、1、2、2、3、3分別為15、35、15、35、05、15，慣性因子、分別為04、09，通過(guò)大量試算，取=49，=36，=30。為評(píng)估改進(jìn)算法的性能，將本文中算法與標(biāo)準(zhǔn)PSO算法進(jìn)行比較，得到的迭代曲線(xiàn)如圖8所示，可以看出，相比于PSO算法，PSO-GWO算法的收斂速度更快，得到最優(yōu)解的精度更高，當(dāng)陷入局部最優(yōu)時(shí)能迅速跳出，優(yōu)化前后的變量取值如表3所示。

圖8 迭代收斂曲線(xiàn)Fig.8 Iterative convergence curve

表3 剛度阻尼參數(shù)取值Table 3 Optimum value of stiffness and damping

續(xù)表(表3)

在前中后三橋各選取一側(cè)懸架進(jìn)行圖示說(shuō)明，將優(yōu)化后的各變量值代入模型，得到優(yōu)化前后的車(chē)身加速度、懸架動(dòng)撓度及輪胎動(dòng)載荷仿真結(jié)果如圖9～圖11所示。

圖9 優(yōu)化前后車(chē)身加速度曲線(xiàn)Fig.9 Optimize the acceleration curve of front and rear body

圖10 優(yōu)化前后懸架動(dòng)撓度曲線(xiàn)Fig.10 Optimize the dynamic deflection curve of front and rear suspension

圖11 優(yōu)化前后輪胎動(dòng)載荷曲線(xiàn)Fig.11 Optimize the dynamic load curve of front and rear tires

為了量化對(duì)比優(yōu)化前后的結(jié)果，計(jì)算得到優(yōu)化前、使用PSO算法優(yōu)化后、使用PSO-GWO算法優(yōu)化后的車(chē)身加速度均方根值(見(jiàn)圖12)、各懸架動(dòng)撓度均方根值(見(jiàn)圖13)、各輪胎動(dòng)載荷均方根值(見(jiàn)圖14)，如表4所示。

表4 懸架性能指標(biāo)均方根值Table 4 Comparison of root mean square of suspension performance index

圖12 車(chē)身加速度均方根值曲線(xiàn)Fig.12 Root mean square of body acceleration

圖13 懸架動(dòng)撓度均方根值曲線(xiàn)Fig.13 Root mean square of suspension dynamic deflection

圖14 輪胎動(dòng)載荷均方根值曲線(xiàn)Fig.14 Root mean square of tire dynamic load

由圖表可以看出，在種不同的路面等級(jí)下，優(yōu)化后車(chē)身加速度與懸架動(dòng)撓度性能均有所提升，且路況越差，提升效果越明顯。優(yōu)化后輪胎動(dòng)載荷均方根增大，但仍然遠(yuǎn)小于路面靜載，不足以影響輪胎對(duì)地面的抓附能力。研究結(jié)果表明，使用本文中方法對(duì)油氣懸架參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化后，在基本不影響車(chē)輛操縱穩(wěn)定性的前提下，車(chē)輛的乘坐舒適性與車(chē)身姿態(tài)得到了明顯改善。

6 結(jié)論

1) 選用三階非線(xiàn)性表達(dá)式表示油氣懸架的非線(xiàn)性剛度與阻尼，根據(jù)九自由度整車(chē)模型建立Simulink仿真模型。采用白噪聲法生成路面輸入信號(hào)，前后輪之間加入延時(shí)信號(hào)，左右輪采用具有相關(guān)性的路面激勵(lì)狀態(tài)方程，保證路面激勵(lì)接近實(shí)際路況。

2) 以PSO算法與GWO算法為基礎(chǔ)進(jìn)行研究，GWO算法作為內(nèi)循環(huán)， PSO算法為外循環(huán)，改進(jìn)后的算法能有效解決多維非線(xiàn)性的問(wèn)題，得到的結(jié)果精度高，收斂速度快，大大減少計(jì)算時(shí)間。

3) 在不同路面等級(jí)下使用改進(jìn)PSO-GWO算法優(yōu)化后車(chē)身加速度、懸架動(dòng)剛度有明顯提升，輪胎動(dòng)載荷有所惡化，但不影響車(chē)輛的穩(wěn)定性。研究結(jié)果可為進(jìn)一步對(duì)油氣懸架阻尼孔直徑、蓄能器充氣壓力等參數(shù)的優(yōu)化提供參考。