“量測(cè)”恒等于0的UKF雷達(dá)系統(tǒng)偏差濾波算法

董云龍， 張 焱,, 羅長興, 郝家甲

(1.海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺(tái) 264001；2.中國人民解放軍32654部隊(duì)， 山東 濟(jì)南 250000)

0 引 言

傳統(tǒng)的信息融合技術(shù)，尤其是目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)級(jí)(數(shù)據(jù)級(jí))的融合處理方面，多是在忽略系統(tǒng)誤差條件下給出的，因此，為了獲得更好的融合效果，提高多雷達(dá)協(xié)同探測(cè)系統(tǒng)的跟蹤精度，其中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是進(jìn)行系統(tǒng)誤差精確配準(zhǔn)，對(duì)雷達(dá)平臺(tái)的系統(tǒng)偏差進(jìn)行估計(jì)[1-2]。

當(dāng)前誤差配準(zhǔn)主要分為兩種，即靜態(tài)批處理方式和實(shí)時(shí)處理方式[3]。靜態(tài)批處理方式有實(shí)時(shí)質(zhì)量控制(Real Time Quality Control，RTQC)算法、廣義最小二乘(Generalized Least Squares，GLS)法、極大似然配準(zhǔn)(Maximum Likelihood Registration,MLR)算法等[4-7]。以上批處理算法均先通過誤差配準(zhǔn)估計(jì)出系統(tǒng)偏差，再利用量測(cè)值對(duì)系統(tǒng)偏差進(jìn)行修正，存在不能實(shí)時(shí)處理的缺點(diǎn)。因此，部分研究者提出了基于kalman濾波的實(shí)時(shí)誤差配準(zhǔn)算法。此類誤差配準(zhǔn)分為兩類，一是單獨(dú)構(gòu)建系統(tǒng)偏差的觀測(cè)模型，對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行獨(dú)立跟蹤濾波[8]；二是將系統(tǒng)誤差作為系統(tǒng)狀態(tài)向量的組成部分，進(jìn)行聯(lián)合擴(kuò)維濾波[9-10]。以上實(shí)時(shí)處理的方式大都基于系統(tǒng)偏差恒定或緩慢變化的情況，但在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，雷達(dá)系統(tǒng)偏差往往事先無法得知或不準(zhǔn)確，或受海域環(huán)境多變以及雷達(dá)本身機(jī)械損耗影響，系統(tǒng)偏差的分布情況極易發(fā)生變化[11]；同時(shí)傳統(tǒng)配準(zhǔn)算法在將非線性方程進(jìn)行線性化(即在系統(tǒng)偏差和量測(cè)處分別進(jìn)行泰勒展開，忽略高階微小量)時(shí)，如果系統(tǒng)偏差較大會(huì)引入一定的誤差，使誤差配準(zhǔn)的精度不斷惡化[12]。

為有效解決以上問題，提出了一種“量測(cè)”恒等于0的無跡卡爾曼(Unscented Kalman Filter，UKF)雷達(dá)系統(tǒng)偏差濾波算法。該算法改變傳統(tǒng)算法中偽觀測(cè)量為變量的特點(diǎn)，將兩雷達(dá)“空間幾何關(guān)系”在隨機(jī)量測(cè)誤差處進(jìn)行泰勒展開，構(gòu)造出 “量測(cè)”為已知值且恒為0的非線性偽量測(cè)方程，然后在UKF濾波基礎(chǔ)上融入交互式多模型(Interactive Multiple Model,IMM)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤方法。仿真結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)算法，該算法配準(zhǔn)精度更高，且能對(duì)快時(shí)變系統(tǒng)偏差進(jìn)行實(shí)時(shí)有效估計(jì)，驗(yàn)證了本算法的有效性。

1 傳統(tǒng)算法系統(tǒng)模型

根據(jù)“兩部雷達(dá)在沒有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)量測(cè)誤差時(shí)在同一二維平面坐標(biāo)系中位置相同”這一空間幾何關(guān)系，如圖1所示，則

圖1 誤差配準(zhǔn)的幾何關(guān)系

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

對(duì)于同一目標(biāo)f(φk,β(k),δ(k))=[0 0]T，可構(gòu)造如下偽量測(cè)與系統(tǒng)偏差的線性模型

Y=Hβ+ξ

(6)

其中

(7)

H=[G1G2…Gk…GN]′

(8)

ξ=[F1?φ1F2?φ2…Fk?φk…FN?φN]

(9)

N為配準(zhǔn)量測(cè)個(gè)數(shù)，?φk為兩部雷達(dá)量測(cè)的隨機(jī)誤差向量。

(10)

2 本算法系統(tǒng)模型

不同于傳統(tǒng)算法，本算法將兩雷達(dá)“空間幾何關(guān)系”在隨機(jī)量測(cè)誤差δ(k)處進(jìn)行一階泰勒展開，構(gòu)造出了“量測(cè)”為已知值且恒等于0的非線性偽量測(cè)方程。

觀測(cè)場(chǎng)景不變，令f(φk,β(k),δ(k))=[Δx(k),Δy(k)]T并在兩雷達(dá)δ(k)處進(jìn)行一階泰勒展開(忽略高階分量)，則式(3)改寫為

f(φk,β(k),δ(k))=f(φk,β(k),δ′)+

(11)

其中δ′為隨機(jī)量測(cè)誤差的初始值，在無先驗(yàn)信息條件下，假定δ′=[δ′A,δ′B]T=[0 0 0 0]T。

對(duì)于同一目標(biāo)，式(11)的等號(hào)左邊為已知值且恒等于零向量，由此構(gòu)造的偽量測(cè)與系統(tǒng)偏差的非線性模型

Y=h(β(k))+w(k)

(12)

其中,

Y=[0 0]T

(13)

h(β(k))=f(φk,β(k),δ′)

(14)

w(k)=J(k)·δ(k)

(15)

J(k)=[JA(k)-JB(k)]

(16)

式中：w(k)為零均值、白色高斯量測(cè)噪聲序列。JA和JB分別為h(β(k))對(duì)隨機(jī)量測(cè)誤差δ(k)中各元素的雅克比矩陣

(17)

(18)

(19)

對(duì)系統(tǒng)偏差進(jìn)行獨(dú)立跟蹤濾波，針對(duì)不同變化類型的系統(tǒng)偏差，其狀態(tài)方程不同。本文將要跟蹤的系統(tǒng)偏差分為兩類，一是恒定的系統(tǒng)偏差，二是快時(shí)變的系統(tǒng)偏差。

其狀態(tài)方程定義為

(20)

對(duì)于恒定的系統(tǒng)偏差，式(20)中4×4維的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F1(k)為

(21)

(22)

(23)

其中，

(24)

(25)

其中,

(26)

(27)

(28)

3 本算法濾波模型

考慮到偽量測(cè)方程(12)具有很強(qiáng)的非線性，UKF 相比于擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)，在處理非線性的問題上更魯棒，且UKF在經(jīng)過不敏變換(Unscented Transformation，UT)變換后其均值和協(xié)方差均達(dá)到了二階，具有更高的精度[14]；粒子濾波(Particle Filter, PF) 隨著狀態(tài)向量維數(shù)的增長，每次抽取的粒子數(shù)明顯增多，計(jì)算機(jī)容量需求過高，實(shí)時(shí)性較差，故本文選用UKF非線性濾波的方法對(duì)系統(tǒng)偏差進(jìn)行實(shí)時(shí)配準(zhǔn)。

在機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中，單一模型已無法準(zhǔn)確描述復(fù)雜的時(shí)變運(yùn)動(dòng)。針對(duì)快時(shí)變系統(tǒng)偏差，基于IMM能根據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和機(jī)動(dòng)強(qiáng)弱自適應(yīng)調(diào)整模型概率和Singer模型參數(shù)的優(yōu)點(diǎn)[15-16]，本文在UKF非線性濾波的基礎(chǔ)上引入IMM算法(IMM-UKF)，實(shí)現(xiàn)快時(shí)變系統(tǒng)偏差的有效跟蹤；針對(duì)恒定的系統(tǒng)偏差，僅采用UKF非線性濾波的方法。

3.1 恒定的系統(tǒng)偏差濾波模型

(29)

(30)

(2)計(jì)算預(yù)測(cè)值

γi(k+1|k)=F1(k)γi(k|k)

(31)

利用一步預(yù)測(cè)δ點(diǎn)γi(k+1|k)以及權(quán)值Wi可得到狀態(tài)預(yù)測(cè)估計(jì)和狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差

(32)

(33)

其中，

(34)

根據(jù)式(12)定義的非線性量測(cè)方程，可得到δ點(diǎn)預(yù)測(cè)量測(cè)

ζi(k+1|k)=h[γi(k+1|k)]

(35)

預(yù)測(cè)量測(cè)和相應(yīng)的協(xié)方差為

(36)

(37)

其中,

(38)

量測(cè)和狀態(tài)向量的交互協(xié)方差為

(39)

(3)測(cè)量更新

狀態(tài)更新和狀態(tài)更新協(xié)方差可表示為

(40)

P(k+1)=P(k+1|k)-K(k+1)PzzK′(k+1)

(41)

(42)

3.2 快時(shí)變的系統(tǒng)偏差濾波模型

系統(tǒng)模型間的轉(zhuǎn)移概率矩陣：

(43)

(1)輸入交互

若系統(tǒng)在k-1時(shí)刻匹配的模型為i，在k時(shí)刻后發(fā)生跳變?yōu)槟Ｐ蚸，此時(shí)的轉(zhuǎn)換概率為

(44)

則通過該轉(zhuǎn)移概率估計(jì)每個(gè)模型在k時(shí)刻的輸入：

(45)

(46)

(2)模型濾波

(3)模型概率更新

似然函數(shù)為

(47)

其中，

模型概率為

(48)

其中，

(49)

(4)狀態(tài)估計(jì)

(50)

(51)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 跟蹤恒定系統(tǒng)偏差的仿真實(shí)驗(yàn)

在同一仿真場(chǎng)景下，將本算法與傳統(tǒng)算法進(jìn)行對(duì)比。為達(dá)到對(duì)比效果，兩者均采用UKF非線性濾波，其中系統(tǒng)偏差參數(shù)設(shè)置情況如表1所示，跟蹤對(duì)比結(jié)果如圖2、圖3所示。

表1 恒定的系統(tǒng)偏差參數(shù)設(shè)置情況

圖2 雷達(dá)距離系統(tǒng)偏差跟蹤結(jié)果

圖3 雷達(dá)方位角系統(tǒng)偏差跟蹤結(jié)果

4.2 跟蹤快時(shí)變系統(tǒng)偏差的仿真實(shí)驗(yàn)

仿真場(chǎng)景設(shè)置不變，其中0 s～1 000 s系統(tǒng)偏差作勻速變化，速度如表2所示；1 000 s～2 000 s系統(tǒng)偏差作勻加速變化，加速度如表3所示。

表2 0～1000s系統(tǒng)偏差變化情況

表3 1 000 s～2 000 s系統(tǒng)偏差變化情況

配準(zhǔn)采用UKF-IMM算法，仿真過程選用2種Singer運(yùn)動(dòng)模型，各模型及參數(shù)設(shè)置如下：

圖4 雷達(dá)距離系統(tǒng)偏差跟蹤結(jié)果

圖5 雷達(dá)方位角系統(tǒng)偏差跟蹤結(jié)果

圖6 系統(tǒng)偏差配準(zhǔn)均方根誤差

由圖2和圖3可知，針對(duì)恒定的系統(tǒng)偏差，本文所提出的算法避免了因近似線性模型引入誤差的問題，相較于傳統(tǒng)算法，配準(zhǔn)精度更高，魯棒性較好。

由圖4和圖5可知，雷達(dá)A和雷達(dá)B的徑向距離和方位角系統(tǒng)偏差在2 000 s內(nèi)發(fā)生了機(jī)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生了變化且數(shù)值增幅較大。結(jié)合圖6均方根誤差結(jié)果分析知，采用本文所提出的系統(tǒng)模型，融入U(xiǎn)KF-IMM思想后可對(duì)快時(shí)變的雷達(dá)系統(tǒng)偏差進(jìn)行獨(dú)立跟蹤，不僅抑制了在將非線性方程線性化中因系統(tǒng)偏差變大致濾波發(fā)散的問題，還有效解決了時(shí)變系統(tǒng)偏差的實(shí)時(shí)估計(jì)問題，達(dá)到較好的跟蹤效果。

5 結(jié) 語

針對(duì)傳統(tǒng)算法在將非線性方程線性化過程中，誤差配準(zhǔn)精度會(huì)隨系統(tǒng)偏差變大而逐漸惡化的問題，提出了一種“量測(cè)”恒等于0的UKF雷達(dá)系統(tǒng)偏差濾波算法。該算法改變以往傳統(tǒng)濾波算法中雷達(dá)偽觀測(cè)量為變量的特點(diǎn)，通過兩雷達(dá)“空間幾何關(guān)系”構(gòu)造出了“量測(cè)值”為已知值且恒等于0的非線性偽量測(cè)方程，并針對(duì)快時(shí)變系統(tǒng)偏差，在UKF濾波中融合IMM機(jī)動(dòng)跟蹤思想來對(duì)系統(tǒng)偏差進(jìn)行獨(dú)立跟蹤。仿真結(jié)果表明，該算法相較于傳統(tǒng)算法，避免了因系統(tǒng)偏差較大致濾波發(fā)散問題，配準(zhǔn)精度高；且能有效跟蹤時(shí)變的系統(tǒng)偏差，實(shí)時(shí)性較好，對(duì)后期工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)作用。