充填作用下頂板底部單裂隙擴(kuò)展研究①

王春元，劉志祥，張雙俠

（中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

隨著工商業(yè)的快速發(fā)展，海底資源成為人類(lèi)開(kāi)發(fā)的目標(biāo)之一，而海底開(kāi)采的主要挑戰(zhàn)是上部海水通過(guò)開(kāi)采形成的巖體裂隙灌入，可能造成采礦事故。針對(duì)巖體中的裂隙擴(kuò)展，主要將其轉(zhuǎn)化為壓剪或拉剪應(yīng)力狀態(tài)下的擴(kuò)展進(jìn)行研究［1］，而對(duì)于更加復(fù)雜受力狀態(tài)下的裂隙起裂，多采用擴(kuò)展有限元等數(shù)值模擬方法進(jìn)行研究分析［2?7］。目前對(duì)于采動(dòng)下頂板裂隙的擴(kuò)展過(guò)程鮮有研究，尤其是針對(duì)廢石充填的采場(chǎng)?；诖?，本文通過(guò)分析頂板與充填體在頂板沉降過(guò)程中的不同力學(xué)作用狀態(tài)，將頂板與充填體的作用分為2個(gè)階段，第1階段，巖梁剛與充填體接觸尚未有力地傳遞或充填體對(duì)巖梁作用微小，此時(shí)巖梁底部裂隙短小，張開(kāi)位移小，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力對(duì)稱(chēng)，通過(guò)巖梁內(nèi)應(yīng)力場(chǎng)特性分析，構(gòu)建力學(xué)模型1，得到起始裂隙的擴(kuò)展方向；第2階段，巖梁與充填體充分接觸，充填體阻礙巖梁沉降，此時(shí)裂隙張開(kāi)位移增大，裂隙面應(yīng)力不對(duì)稱(chēng)，分析構(gòu)建了裂隙發(fā)生轉(zhuǎn)向的臨界條件，得到了裂隙垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度與裂隙位置之間關(guān)系的模型2。最后為了說(shuō)明所建模型的合理性，以三山島金礦新立礦區(qū)為研究背景，采用擴(kuò)展有限元法，分析了頂板底部單裂隙垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度和裂隙局部應(yīng)力場(chǎng)分布變化規(guī)律。

1 力學(xué)模型分析

充填體與頂板相互作用系統(tǒng)如圖1所示。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，本文首先提出以下假設(shè)：①假設(shè)在起始階段，充填在裂縫擴(kuò)展前剛與頂板接觸，尚沒(méi)有力的傳遞，此段時(shí)間前假設(shè)頂板未發(fā)生沉降，充填體完全接頂，忽略頂板自重；②頂板的斷裂為彈脆性斷裂，且斷裂服從最大周向應(yīng)力判據(jù)；③充填體如彈簧支撐為完全彈性體，不考慮充填體的塑性變形。因?yàn)榈V體厚度相對(duì)于礦房長(zhǎng)度較小，所構(gòu)建的充填開(kāi)采幾何模型可以作為平面應(yīng)力來(lái)處理。

圖1 充填體與頂板巖梁作用實(shí)體圖

1.1 模型1

考慮到頂板兩端只允許頂板轉(zhuǎn)動(dòng)，可將充填頂板模型簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁處理，由于起始充填體與頂板間沒(méi)有力的傳遞，充填對(duì)整個(gè)梁體變形作用微小，可不予考慮。此問(wèn)題就簡(jiǎn)化為彈性梁在均布荷載下的變形問(wèn)題，如圖2所示。彈性力學(xué)理論［8］，可得：

圖2 無(wú)充填作用下頂梁受力簡(jiǎn)圖

由式（1）可以得出，在長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于深度，即l?h時(shí)，彎曲應(yīng)力σx的第一項(xiàng)與同階大小，為主要應(yīng)力；切應(yīng)力τxy與同階應(yīng)力，為次要應(yīng)力，而σy和彎曲應(yīng)力σx的第二項(xiàng)均與q同階大小，為更次要應(yīng)力。與材料力學(xué)結(jié)果比較，忽略高階項(xiàng)，可得：

從式（2）可以看出，梁體內(nèi)的應(yīng)力既隨梁體跨度方向變化，又隨寬度方向變化。由工程經(jīng)驗(yàn)可知，造成裂紋擴(kuò)展的主要是彎曲應(yīng)力σx，此外，裂隙的擴(kuò)展還與周?chē)鷳?yīng)力場(chǎng)分布密切相關(guān)。

考慮到裂隙起始一般處在梁體底部，裂隙尺寸相對(duì)巖梁可認(rèn)為足夠小，起始裂隙閉合，可認(rèn)為裂隙的存在對(duì)原場(chǎng)應(yīng)力影響很小，裂隙周邊拉伸和剪切應(yīng)力均勻分布，且裂隙兩側(cè)拉伸應(yīng)力大小相等，方向相反，因此可將裂隙周?chē)鷳?yīng)力場(chǎng)向裂隙面轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)換后的裂隙在拉剪組合應(yīng)力下擴(kuò)展。由于巖梁寬度遠(yuǎn)大于起始裂隙長(zhǎng)度，可以將其視作無(wú)限大，建立裂隙擴(kuò)展模型（模型1）如圖3所示。

圖3 裂隙擴(kuò)展模型1

假設(shè)梁體內(nèi)的豎向應(yīng)力只與豎向坐標(biāo)有關(guān)，根據(jù)梁體內(nèi)的應(yīng)力分布已知，可將兩端的應(yīng)力向裂隙面切向和法向分解，分解公式如下：

式中α為裂隙面法向與x軸的夾角，，將其代入式（3），求得：

由于τyxcosβsinβ和τxycosβsinβ在裂隙面法向上大小相等、方向相反，相互抵消，即得：

由文獻(xiàn)［9］可知：

考慮到裂隙尺寸相對(duì)于巖體尺寸很小，根據(jù)經(jīng)典斷裂理論，裂紋尖端的周向應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式如下：根據(jù)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，即得：

當(dāng)θ＝±π時(shí)，（τrθ）θ＝±π≠0。

設(shè)θ＝θ0，滿足：

由式（9）可以看出，對(duì)于任意位置的微小裂隙，裂隙的擴(kuò)展角度不但與裂隙初始角度有關(guān)，還與應(yīng)力場(chǎng)分布有關(guān)。

將式（2）代入式（9），可得：

即當(dāng)裂隙長(zhǎng)度微小，且處在梁體底部邊緣時(shí)，剪切應(yīng)力趨向于零，裂隙擴(kuò)展方向僅與初始裂隙角有關(guān)，而與應(yīng)力場(chǎng)大小和位置無(wú)關(guān)。當(dāng)β＝90°、θ0＝0時(shí)，裂隙垂直梁跨度方向，沿垂直巖梁中心層方向擴(kuò)展，即沿著垂直拉伸應(yīng)力方向擴(kuò)展。

1.2 模型2

考慮到巖梁沉降過(guò)程緩慢，與充填體發(fā)生緊密接觸，即充填反力阻礙巖梁沉降，此時(shí)巖梁仍向下沉降，因充填反力與頂板狀態(tài)有關(guān)，頂板的沉降曲線為非線性，下部充填反力荷載q′也應(yīng)非線性分布，在梁跨中部達(dá)到最大，此外，由材料力學(xué)知識(shí)可知，無(wú)充填體時(shí)，巖梁撓度曲線為三次冪函數(shù)分布，且應(yīng)滿足邊界條件，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，考慮到在巖梁兩端上覆荷載主要由礦柱承擔(dān)，即巖梁兩端充填荷載應(yīng)為0，當(dāng)存在充填體作用時(shí)，由文獻(xiàn)［10］可知，此微分方程的一般解應(yīng)具有四階以上的導(dǎo)數(shù)，而此方程只能說(shuō)明巖梁平衡狀態(tài)，無(wú)法描述巖梁緩慢沉降過(guò)程，故將巖梁位移假設(shè)為余弦函數(shù)分布，其表達(dá)式應(yīng)為：

式中k≥0，k與充填體參數(shù)有關(guān)，當(dāng)巖梁與充填體不發(fā)生接觸時(shí)，k＝0，建立力學(xué)模型如圖4所示。

圖4 充填作用下頂梁受力簡(jiǎn)圖

充填體的存在相當(dāng)于對(duì)覆巖荷載在巖梁每一點(diǎn)處的彎矩進(jìn)行了削弱，因?yàn)閹r梁沉降位移相比巖梁跨度較小，變形可認(rèn)為是小變形，巖梁為線彈性體，可以進(jìn)行載荷疊加，即等效載荷為：

采用材料力學(xué)的方法得到剪力和彎矩：

取梁厚度b＝1，計(jì)算慣性矩得：

計(jì)算矩形梁截面上距中心軸為y的橫線以外面積對(duì)中心軸的梁截面靜矩為：

計(jì)算任意梁截面上的正應(yīng)力σx和切應(yīng)力τxy為：

經(jīng)過(guò)整理，得：

巖梁剛發(fā)生沉降時(shí)，充填反力對(duì)巖梁的作用微小，可近似認(rèn)為充填反力不起作用，裂隙擴(kuò)展模型仍可采用模型1，但當(dāng)充填反力對(duì)巖梁的阻礙不可忽略時(shí)，裂隙已擴(kuò)展足夠長(zhǎng)度，不可將其視為足夠小，此外，裂隙在拉剪組合應(yīng)力下已有一定的張開(kāi)位移，裂隙面兩側(cè)所受荷載不對(duì)稱(chēng)。

由模型1的推導(dǎo)分析可知，垂直裂隙的起始擴(kuò)展與應(yīng)力場(chǎng)和位置無(wú)關(guān)，當(dāng)巖梁發(fā)生沉降后，隨著裂隙張開(kāi)位移增大，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力分布不再對(duì)稱(chēng)，裂隙擴(kuò)展方向?qū)l(fā)生變化，此時(shí)需建立非對(duì)稱(chēng)荷載下的裂隙擴(kuò)展模型。由于此時(shí)裂隙長(zhǎng)度不可忽略，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力分布非均勻，需要從宏觀尺度建立模型進(jìn)行分析。

考慮到巖梁的對(duì)稱(chēng)性，只對(duì)左側(cè)巖梁進(jìn)行分析。由于巖梁上裂隙的存在只對(duì)巖梁局部應(yīng)力場(chǎng)有影響，梁上離裂紋為W的兩截面上的外力相同，需將裂隙面左端荷載向裂隙左面簡(jiǎn)化，裂隙面右端荷載向裂隙右面簡(jiǎn)化，且考慮到裂隙面已有一定張開(kāi)位移，需將左端彎矩和剪力向左側(cè)裂隙面簡(jiǎn)化，右側(cè)彎矩向裂隙面右側(cè)簡(jiǎn)化，分析非對(duì)稱(chēng)荷載下的裂隙轉(zhuǎn)向的原因，建立的裂隙擴(kuò)展模型（模型2）如圖5所示。

圖5 裂隙擴(kuò)展模型2

左側(cè)面的應(yīng)力分布為：

右側(cè)面的應(yīng)力分布為：

由于巖梁沉降過(guò)程比較緩慢，可認(rèn)為覆巖荷載是逐漸增加的，將其視作準(zhǔn)靜力過(guò)程，對(duì)稱(chēng)荷載下拉剪裂隙沿與拉應(yīng)力垂直方向擴(kuò)展，但當(dāng)覆巖荷載增加時(shí)，裂隙張開(kāi)位移增大，裂隙面兩側(cè)荷載不再對(duì)稱(chēng)，此時(shí)裂隙已有較大張開(kāi)位移，控制裂隙方向的拉伸荷載在裂隙面兩側(cè)不對(duì)稱(chēng)，對(duì)于左側(cè)巖梁，M2＞M1，即左側(cè)拉伸應(yīng)力大于右側(cè)，由荷載疊加原理可知，M2中與M1相等的部分造成裂隙繼續(xù)沿與垂直拉伸荷載方向擴(kuò)展，M2中大于M1的部分造成裂隙向拉伸荷載較大的一側(cè)轉(zhuǎn)向，考慮到裂隙在受力大于材料斷裂韌性后就有張開(kāi)位移，而裂隙何時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)向是問(wèn)題的關(guān)鍵，本文認(rèn)為當(dāng)裂隙兩側(cè)應(yīng)力差值造成的應(yīng)力強(qiáng)度因子剛好等于巖石斷裂韌性時(shí)，裂隙發(fā)生轉(zhuǎn)向，朝著拉伸應(yīng)力較大的一側(cè)偏轉(zhuǎn)。

非對(duì)稱(chēng)荷載下單裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算公式為：

式中p－（τ），p＋（τ），q－（τ），q＋（τ）分別為裂隙面兩側(cè)的法向及切向荷載。

由于本文所建立的坐標(biāo)系y軸位于梁體中心，取裂隙面中心應(yīng)力并代入積分，得：

所以裂隙發(fā)生轉(zhuǎn)向的條件為：

其中：

考慮到巖梁跨度很長(zhǎng)，高度很大，所取W使之離裂隙足夠遠(yuǎn)，認(rèn)為此處的應(yīng)力場(chǎng)不會(huì)受到裂隙的影響，此處，可認(rèn)為W為常數(shù)；k反映充填體剛度大小，k值越大，充填體剛度越大；Fσ為修正系數(shù)。

由式（26）可以看出，當(dāng)x絕對(duì)值較小，即巖梁中心附近時(shí)，裂隙擴(kuò)展長(zhǎng)度越大，即裂隙垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度越大，x絕對(duì)值較大時(shí)，裂隙垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度越小。

2 數(shù)值模擬分析

以三山島金礦新立礦區(qū)為背景，選取巖梁長(zhǎng)度80 m、寬度20 m，充填體高度25 m，兩側(cè)礦柱寬度10 m，初始裂隙長(zhǎng)度2 m，上部荷載4 MPa，采用最大主應(yīng)力斷裂準(zhǔn)則，巖體抗拉強(qiáng)度取3.18 MPa，損傷演化以位移表示，即單元發(fā)生0.001 m位移時(shí)，即認(rèn)為斷裂，采用擴(kuò)展有限元法，研究左側(cè)離梁中心底部0 m，10 m，20 m處單裂隙擴(kuò)展規(guī)律?？紤]到頂板沉降過(guò)程緩慢，采用靜力分析法，分析計(jì)算得到裂隙擴(kuò)展形態(tài)主應(yīng)力云圖如圖6所示。

圖6 擴(kuò)展有限元計(jì)算結(jié)果

從圖6可以看出，裂隙的存在和擴(kuò)展只對(duì)局部應(yīng)力場(chǎng)產(chǎn)生影響，而對(duì)整個(gè)巖梁區(qū)域應(yīng)力場(chǎng)影響微小。充填體的存在使巖梁受力狀態(tài)從橫力彎曲到兩向受壓狀態(tài)。此外，充填體剛度越大，壓縮量越小，巖梁沉降越小，裂隙越早尖滅。

以巖梁左端底部為坐標(biāo)原點(diǎn)、以巖梁寬度方向?yàn)閥軸、以巖梁延伸方向?yàn)閤軸正向建立局部坐標(biāo)系，采用插件提取裂隙的擴(kuò)展路徑如圖7所示。

圖7 不同位置處裂隙擴(kuò)展路徑

從圖7可以看出，處在梁體中心的裂隙，由于兩側(cè)應(yīng)力對(duì)稱(chēng)，裂隙方向不發(fā)生改變，垂直中心層擴(kuò)展；不同位置的裂隙起始都發(fā)生垂直巖梁中心層方向的擴(kuò)展，且越遠(yuǎn)離巖梁方向，裂隙垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度越小，當(dāng)裂隙在40 m位置處時(shí)，裂隙垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度達(dá)到了8 m；當(dāng)裂隙在30 m位置處時(shí)，裂隙的垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度僅2.5 m。隨著裂隙張開(kāi)位移增大，裂隙面右側(cè)應(yīng)力大于左側(cè)應(yīng)力，導(dǎo)致裂隙擴(kuò)展方向偏離原來(lái)方向，隨著張開(kāi)位移繼續(xù)增大，兩側(cè)面應(yīng)力不均衡程度繼續(xù)增大，導(dǎo)致裂隙擴(kuò)展角度即與x軸夾角不斷減小，裂隙路徑越來(lái)越平緩。對(duì)于離含水層越近的頂板，離巖梁中心越近的裂隙，由于其張開(kāi)位移大，垂直擴(kuò)展路徑長(zhǎng)，更容易與含水層導(dǎo)通，對(duì)采場(chǎng)安全的威脅越大；對(duì)于遠(yuǎn)離巖梁中心的裂隙，當(dāng)頂板高度超過(guò)一定距離后，裂隙擴(kuò)展越加平緩，直至最后接近水平，對(duì)安全生產(chǎn)威脅小。

選取40 m處裂隙為研究對(duì)象，分析其在擴(kuò)展中的裂隙周邊局部應(yīng)力場(chǎng)變化，結(jié)果如圖8～9所示。

圖8 不同位置處裂隙擴(kuò)展路徑下的拉伸應(yīng)力

在起始階段，由于裂隙閉合或裂隙張開(kāi)位移很小，裂隙面兩側(cè)水平應(yīng)力最大為4.061 MPa，拉伸應(yīng)力場(chǎng)幾乎對(duì)稱(chēng)，剪切應(yīng)力場(chǎng)兩側(cè)存在不對(duì)稱(chēng)；當(dāng)裂隙開(kāi)始發(fā)生轉(zhuǎn)向，裂隙面局部區(qū)域右側(cè)拉伸應(yīng)力場(chǎng)明顯大于左側(cè)應(yīng)力場(chǎng)，而此時(shí)裂隙兩側(cè)剪切應(yīng)力場(chǎng)幾乎對(duì)稱(chēng)，由此得出裂隙轉(zhuǎn)向主要由拉伸應(yīng)力場(chǎng)的不均勻分布造成；當(dāng)巖梁沉降，裂隙兩側(cè)拉伸應(yīng)力和剪切應(yīng)力強(qiáng)度因子小于材料斷裂韌度，裂隙停止擴(kuò)展。

圖9 不同位置處裂隙擴(kuò)展路徑下的剪切應(yīng)力

3 結(jié) 論

1）針對(duì)充填體與頂板作用下頂梁沉降過(guò)程中頂板裂隙擴(kuò)展進(jìn)行了較為系統(tǒng)地研究，考慮到起始狀態(tài)下，頂板尚未與充填體發(fā)生力的傳遞作用，此時(shí)任意位置的垂直裂隙都只沿著垂直巖梁中心層方向擴(kuò)展。

2）當(dāng)巖梁發(fā)生沉降，裂隙張開(kāi)位移增大，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力分布不對(duì)稱(chēng)，當(dāng)裂隙面兩側(cè)應(yīng)力差造成的應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到材料斷裂韌性時(shí)，裂隙擴(kuò)展方向逐漸發(fā)生偏離，朝著拉伸應(yīng)力較大的方向偏轉(zhuǎn)；且離巖梁中心越近的裂隙，垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度越大；越遠(yuǎn)離巖梁中心的裂隙，垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度越小。

3）處在離巖梁中心20 m位置處的裂隙，垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度為8 m，處在離巖梁中心10 m位置處的裂隙，垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度僅2.5 m，處在巖梁中心的裂隙不發(fā)生偏轉(zhuǎn)。越接近巖梁中心的裂隙，垂直擴(kuò)展長(zhǎng)度大，對(duì)水流的沿程阻力小，更容易發(fā)生突水。

4）在沉降過(guò)程中造成裂隙轉(zhuǎn)向的主要原因是拉伸應(yīng)力場(chǎng)的不均勻分布。