基于GPR的連續(xù)梁橋可靠度及最優(yōu)維護策略研究

王向陽 黎恩華

(武漢理工大學交通與物流工程學院1) 武漢 430063) (中國輕工業(yè)長沙工程有限公司2) 長沙 410114)

0 引 言

高斯過程(Gaussian progress, GP)在可靠度領域應用中作為一種具有監(jiān)督性質(zhì)的機器學習方法，與人工神經(jīng)網(wǎng)絡等方法相比，在理論基礎上更為嚴格，同時在多變量、小樣本的非線性復雜工程問題中具有良好參數(shù)自適應性和學習能力.目前，國內(nèi)外基于高斯過程回歸模型的橋梁可靠度研究僅處于理論階段.蘇國韶等[1]將高斯過程模型用以重構邊坡的極限狀態(tài)函數(shù)，并結合可靠度理論計算相應的失效概率.趙偉[2]將蒙特卡羅法分別應用于高斯回歸模型和高斯分類模型來求解大型復雜結構的可靠指標，研究證明與傳統(tǒng)方法相比，這兩種方法均有較高的精度和計算效率.

在可靠度研究的基礎上，對橋梁維護決策進行優(yōu)化處理也是一項重要的課題.Miyamoto等[3]以橋梁的耐久性和承載力為關注重點，引入遺傳算法得到壽命期內(nèi)最佳的維護計劃.楊偉軍等[4]圍繞維修成本和失效損失構造優(yōu)化決策函數(shù)，從動態(tài)可靠性角度對橋梁維護方案進行了探討.但是有關多跨非對稱PC連續(xù)梁橋這種具有多種失效模式復雜結構的體系可靠度和相應最優(yōu)維護策略方向的研究較少.

文中考慮采用高斯過程回歸模型作為橋梁結構功能函數(shù)的替代模型，并引入可靠指標矢量法和PNET法求解各失效模式之間的相關性問題，同時在考慮材料時變效應的基礎上，運用遺傳算法得到橋梁全壽命周期內(nèi)最優(yōu)維護方案.

1 高斯過程回歸模型

高斯過程是基于隨機變量的一種集合，同時高斯過程可以作為實際隨機過程的近似處理.在函數(shù)空間內(nèi)，高斯過程的分布可以看做是由均值函數(shù)m(x)和協(xié)方差函數(shù)k(x,x′)組合而成.

m(x)=E[f(x)]

(1)

k(x,x′)=E[(f(x)-m(x))(f(x′)-m(x′))]

(2)

因此高斯過程可以簡寫為

f(x)～GP(m(x),m(x),k(x,x′))

(3)

為了方便起見，在分析過程中將高斯過程的均值函數(shù)設為零，這樣整個高斯過程只需要找到合適的協(xié)方差函數(shù)就可以按式(1)～(2)來表示.由于平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)(簡寫SE)在大多數(shù)問題中都表現(xiàn)出良好的適應性，所以其經(jīng)常被選做高斯過程回歸(Gaussion process regression,GPR)模型中的協(xié)方差函數(shù).其一維函數(shù)形式為

(4)

式中：xp,xq為原始數(shù)據(jù)集中的某個輸入向量；l,σf,σn均為GPR模型中的超參數(shù).

對于文中求解橋梁可靠度的部分，提取訓練樣本數(shù)據(jù)的方法屬于計算機模擬試驗，假設觀察結果是無噪聲的才是合理的.所以忽略噪聲影響，即SE協(xié)方差函數(shù)中的σn=0 .基于高斯分布的先驗理論可得到樣本數(shù)據(jù)中訓練樣本和測試樣本輸出的聯(lián)合分布為

(5)

式中：K(X*,X)為對所有樣本集中訓練點和測試點進行估算的m×n階協(xié)方差矩陣，其余元素K(X,X),K(X*,X*)也是類似的含義.進一步可推得高斯過程回歸預測的決策函數(shù)為

(6)

2 基于GPR的體系可靠度計算方法

2.1 結構可靠度計算方法

(7)

運用JC法或設計驗算點法在失效面上選取點x*對式(7)進行Taylor展開同時只取其中一階偏導項，則可得：

(8)

(9)

設計驗算點坐標可表示為

(10)

定義變量xi的靈敏度系數(shù)為

(11)

根據(jù)正態(tài)分布的相關變換性質(zhì)可以得到：

(12)

(13)

則可推得最終可靠指標表達式為

(14)

2.2 失效模式之間的相關性分析

引入可靠指標矢量法將各失效模式間的關系以矩陣的形式表述，變成通過一個多維正態(tài)分布問題的求解.相關理論推導如下.

結構的基本隨機變量為X=(X1,X2,…,Xm)T，第i個失效模式的第j個失效狀態(tài)對應的功能函數(shù)表達式為

(15)

將隨機變量X轉(zhuǎn)換成獨立標準正態(tài)隨機變量Y，則相應的功能函數(shù)為

(16)

在驗算點在驗算點y*處將式(16)泰勒展開并保留一階項，得到Zi的近似表達ZLi并根據(jù)式(11)和式(14)可得：

(17)

(18)

(19)

(20)

在得到結構不同失效模式間的相關系數(shù)矩陣后，可以選用概率網(wǎng)絡估算技術(probabilistic network estimation technique，PNET)對相關系數(shù)矩陣進行分析從而求解體系可靠度.

3 維修策略計算原理

Kong等[5]提出采用疊加的原理計算維護策略下的可靠指標，疊加公式為

(21)

式中：β(t)為處于維護狀態(tài)結構時刻t的可靠指標；β0(t)為不采取維護行為時結構可靠指標； Δβi(t)為第i個維護措施對結構可靠指標的提升量；n為結構在服役期內(nèi)的維修次數(shù)，維護活動下可靠指標變化見圖1.

圖1 可靠指標變化圖

圖1中實線和虛線分別對應有無維護活動下的可靠指標波動情況，通常一種維護行為有三個關鍵時間節(jié)點：①圖中維護行為開始的ts時刻，結構性能在得到改善且相應的可靠指標提升至rs.②維護效果的結束時刻ti，維護行為使得結構能夠在一段時間內(nèi)保持當前的性能狀態(tài)，隨后可靠指標將線性增長至re.③維護行為終止時刻te，此刻維護效應不再對未來結構的性能產(chǎn)生影響，結構性能將繼續(xù)依照原有的衰變規(guī)律進行.Δβ需要隨著維護活動的不同而進行相應的調(diào)整.

當結構退化模型考慮維護措施時，其在服役期內(nèi)產(chǎn)生的維護成本波動見圖2.假定對結構未進行維護活動之前估算的可靠指標為β0，衰變速率為a1，在t1時刻結構首次進入某種維護狀態(tài)，相應的可靠指標提升r1及產(chǎn)生Ca,1的維護成本.隨后，結構性能仍處于退化狀態(tài)，衰變速率為a2.在t2時刻結構第二次進入某種維護狀態(tài)，與首次類似，其可靠指標提升r2及產(chǎn)生Ca,2的維護成本，再繼續(xù)以a3的速率退化.則可得出結構在有維修行為的服役時間t的累計維修成本AC(t)為

(22)

式中：n為結構總的維修次數(shù)；Ci(t)為一次維護活動的壽命周期成本.

圖2 結構在維護活動下的維護成本

4 方法驗證

圖3的索梁體系[6]中，一等截面梁長2l=9.753 6 m.梁所承受的均布荷載q、極限抗彎強度M，以及鋼索的屈服強度fy均服從正態(tài)分布且完全獨立，索1和索2截面面積分別為6.45×10-2mm2和3.32×10-2mm2.統(tǒng)計參數(shù)見表1.

圖3 索梁結構

表1 隨機變量統(tǒng)計參數(shù)表

以下為該結構可能出現(xiàn)的失效模式(見圖4)和對應的功能函數(shù).

圖4 索梁結構失效模式

(23)

g2(X)=F1l+2F2l-2ql2

(24)

(25)

g4(X)=2M+F1l+2F2l-ql2

(26)

式中：F1為鋼索1的極限抗拉能力，F(xiàn)1=A1fy；F2為鋼索2的極限抗拉能力，F(xiàn)2=A2fy.

采用拉丁超立方抽樣抽取均布荷載、抗彎能力,以及屈服強度這三個隨機變量組成的樣本120組，其中100組為訓練樣本，20組為測試樣本.通過高斯過程回歸自適應超參數(shù)分別獲取以上四個功能函數(shù)函數(shù)下的GPR模型，并計算相應的可靠指標見表2.

表2 索梁結構計算結果

四種失效模式間相關系數(shù)矩陣的計算結果為

應用PNET法，取臨界相關系數(shù)ρ0為0.8，那么該系統(tǒng)的主失效模式為失效模式1和失效模式2，則該串聯(lián)結構的體系可靠指標β=3.167 4，可靠概率R=0.999 2.為了校核體系可靠度的計算誤差，采用Monte-Carlo數(shù)值模擬方法抽取106個樣本計算該結構的可靠度概率RMCS=0.999 223.由此可知基于高斯過程回歸的PNET法計算多失效模式下的體系可靠度是具有一定可行性的.

5 多跨連續(xù)梁橋工程應用實例

5.1 工程概況

湖北省荊州市海子湖特大橋為多跨非對稱變截面連續(xù)梁橋，整體一聯(lián)布置，橋跨布置為65 m+123 m+156 m+123 m+10×90 m+55 m，全長1 434 m.該橋主梁采用C55混凝土，上部結構采用預應力混凝土變截面連續(xù)箱梁，采用分兩幅布置，單幅橋?qū)?6.9 m，為單箱雙室直腹板截面形式.該橋小里程方向0號橋臺為肋板式輕型橋臺，大里程方向為15號橋臺為重力式U型橋臺.該橋的橋型布置圖見圖5.

圖5 海子湖特大橋布置(單位：m)

5.2 有限元模型

采用midas-Civil建立橋梁的上部結構有限元模型,見圖6.

圖6 上部結構有限元模型

對于研究目標的下部結構是指海子湖特大橋的橋墩和承臺組成的結構體系，由于該橋橋墩較多，逐一建模分析研究十分困難，所以文中對于該橋下部結構體系可靠度分析的對象是最容易出現(xiàn)破壞可能性的某個橋墩.通過對上部結構在正常使用極限狀態(tài)下的有限元模型分析，可得到各橋墩的支座反力值，從而找到所受反力值最大的那個橋墩，見圖7.

圖7 各基礎結構反力示意圖

可知該橋P3號橋墩的支座反力最大，所以本節(jié)將P3號橋墩作為研究對象.P3號橋墩為矩形空心墩，其承臺尺寸為12.25 m×16.5 m×4.5 m，采用C35混凝土，橋墩橫向?qū)?1.5 m，順橋向?qū)?m，采用C40混凝土.擋塊和支座墊石分別采用C40混凝土和C55混凝土.

應用有限元軟件ANSYS建立P3橋墩實體模型見圖8，混凝土采用主要用于構造三維固體結構SOLID45單元.

圖8 下部結構有限元模型

5.3 失效模式分析

在預應力混凝土連續(xù)梁橋服役階段，橋梁的性能會受到許多因素的影響.在文獻[7]的基礎上，選用若干對橋梁結構體系可靠度分析影響程度較大的隨機變量作為研究目標，各隨機變量及相應統(tǒng)計參數(shù)見表3.

在文獻[8]的基礎上，失效形式主要考慮該橋在正常使用極限狀態(tài)下可能由于應力或撓度超限引起結構失效，建立極限狀態(tài)方程如下：

(27)

式中：δ、σcc、σct分別為橋梁關鍵截面的撓度、壓應力和拉應力響應值，均可通過有限元軟件計算得到.

表3 隨機變量的統(tǒng)計特征 單位：MPa

結合該PC連續(xù)梁橋有限元模型的計算結果、橋梁監(jiān)控原則和相關荷載試驗報告，將應力值較大或較小和撓度值較大的截面作為此橋可靠度分析中重點考慮的關鍵截面.限于篇幅，相關應力云圖略.

由應力云圖可知：海子湖特大橋上部結構各跨跨中截面和橋墩根部截面均是容易出現(xiàn)應力或撓度超限的關鍵截面.而對于下部結構來說，出現(xiàn)最大拉應力的部位為兩擋塊中間處，最大拉應力值為1.98 MPa,最大壓應力出現(xiàn)在支座墊石附近，壓應力最大值為12 MPa.P3號橋墩在支座墊石處選用的是高強度C55小石子混凝土，對于計算得到的壓應力能夠有效地承受，而擋塊附近選用的C40混凝土，其極限抗拉強度與計算值十分接近且空心墩確實容易在服役一段時間后由于局部應力應作用產(chǎn)生順橋向的裂縫，因此下部結構主要考慮擋塊附近的拉應力失效模式.

運用拉丁超立方抽樣方法(Latin hypercube sampling,LHS)抽取表3中70組樣本數(shù)據(jù)，其中50組為訓練樣本，20組為測試樣本.由于上部結構和下部結構的混凝土強度標準值抽樣數(shù)據(jù)是用作后續(xù)運算求解功能函數(shù)值，所以不直接代入有限元模型計算，而其余變量需要通過有限元模型得到大概率出現(xiàn)失效情況關鍵截面的應力或撓度值.將響應值和抽樣標準值基于式(27)得到用以訓練GPR模型的輸出數(shù)據(jù).

根據(jù)可靠指標矢量法和上文中計算得到的各子系統(tǒng)失效模式下的靈敏度系數(shù)向量，通過公式(19)得到整個橋梁體系的相關系數(shù)矩陣再通過PNET法對其分析求解可得最終的可靠指標為5.608 8，失效概率為1.018 4×10-8.

5.4 橋梁退化模型的建立

在橋梁設計基準期(100年)內(nèi)以10年為間隔，通過可靠指標矢量法和PNET法得到各個時間節(jié)點下的主要失效模式從而得到對應時間節(jié)點的體系可靠度指標，見表4.

表4 橋梁體系時變可靠指標

將表4中離散化的結果轉(zhuǎn)化成三次多項式形式，該擬合結果即為海子湖特大橋正常使用極限狀態(tài)下體系時變可靠指標退化模型.具體函數(shù)表達和示意圖(見圖9)為

β(t)=6.328 4×10-6t3-8.970 3×10-4t2-

1.528 3×10-2t+5.563 7

(28)

圖9 體系可靠指標退化曲線

根據(jù)橋梁體系可靠指標退化曲線，可得到橋梁的最遲維護建議年限為25年，在該年限內(nèi)橋梁的性能可以滿足規(guī)范中最低服務水平要求.

5.5 最優(yōu)維護策略研究

大跨PC連續(xù)梁橋在服役期內(nèi)由于受到外界不利因素以及材料老化的影響，會出現(xiàn)梁體開裂和下?lián)系牟『ΜF(xiàn)象，若不及時采取相應的維護措施來減緩其性能的退化速率而是任其自由發(fā)展將會影響橋梁結構的安全和正常使用，同時對于當?shù)氐慕煌ㄏ到y(tǒng)來說也是一個重大的隱患.因此針對橋梁可能出現(xiàn)的不同病害情況提出并執(zhí)行相應的解決措施是必要的，經(jīng)過歸納整理見表5.

表5 常見病害及維護措施

在橋梁的壽命周期內(nèi)，保證橋梁滿足安全可靠的且不影響正常使用的情況下產(chǎn)生最少的維護成本.相應的優(yōu)化方程為

(29)

式中：βtarget為橋梁結構的目標可靠度，按規(guī)范進行取值.

形成相應的維護策略模型首先需滿足如下假定：①相同的維護活動每次執(zhí)行的持續(xù)時間和產(chǎn)生的效果是一樣的；②維護效應時間小于維護間隔；③維護周期內(nèi)可靠指標值的波動不會大于結構初始可靠指標β0；④維護行為出現(xiàn)在結構性能發(fā)生衰變之后.

不同維修或加固方法對橋梁服役能力的恢復效果，見表6.

表6 維修加固策略的效果及相應費用

通過適應度函數(shù)得到的適應度值是遺傳算法中判定基因遺傳概率的唯一指標，調(diào)用遺傳算法工具箱中ranking函數(shù)對目標函數(shù)值做適應度計算.相應的適應度函數(shù)為

(30)

約束條件采取罰函數(shù)方法，選定懲罰費用為5 000元/m2.

將遺傳算法中的最大遺傳代數(shù)分別設置為100、200、300和400后得到最優(yōu)維護成本分別為 10 750，10 100，9 700，9 700元/m2.從最大遺傳代數(shù)為300的種群開始最優(yōu)解收斂于9 700元/m2，說明最優(yōu)維護費用出現(xiàn)在300次迭代次數(shù)后的種群.上述遺傳代數(shù)對應的種群目標函數(shù)值、最優(yōu)解對應的遺傳代數(shù)下搜索示意圖以及海子湖特大橋最優(yōu)維護曲線見圖10～12，最優(yōu)維護策略見表7.

通過上述遺傳算法得到的最優(yōu)維護策略可知:在壽命周期內(nèi)滿足性能指標的情況下，從26年開始對橋梁結構進行上述措施維護，成本最低，其壽命周期內(nèi)的維護成本為9 700元/m2.

圖10 不同迭代次數(shù)下種群目標函數(shù)變化

圖11 300次迭代后種群最優(yōu)解搜索示意圖

圖12 最優(yōu)維護策略下的可靠指標變化曲線

表7 最優(yōu)維護策略

6 結 論

1) 將高斯過程回歸理論與傳統(tǒng)的可靠度方法JC法相結合，同時通過可靠指標矢量法和PNET法來考慮失效模式間的相關性，提出了基于GPR的結構體系可靠度求解方法.索梁算例和工程應用實例均表明本文中采用的分析方法是可行且精確的，對于應對復雜工程中會出現(xiàn)的高度非線性隱式功能函數(shù)，且需要對多種失效模式進行相關性分析時，本文方法具備較強的適用性.

2) 基于文中的體系可靠度求解方法，在考慮材料衰變效應的前提下，建立了橋梁的退化預測模型.根據(jù)該模型可分析得到，海子湖特大橋的最遲維護建議年限為25年，在該年限內(nèi)橋梁的性能可以滿足規(guī)范中服務水平要求.

3) 選用遺傳算法對最優(yōu)維護策略模型求解，最低維護成本在300次迭代后趨于穩(wěn)定，得到了該橋在100年內(nèi)滿足規(guī)范中可靠度指標要求的最優(yōu)維護方案.