解析幾何運算策略的分析與選擇

廣東省佛山市順德區(qū)第一中學 魏 智

解析幾何向來是高考的必考題，且分值占比較大，而且對學生基本功與素養(yǎng)的要求較高。日常教學與備考向來重視解析幾何題的反復磨煉，總結(jié)模型，積累技巧，花費了很多時間與精力。然而事實是相當大的一部分學生在考試中仍然拿不到理想的分數(shù)。原因當然是多方面的，但其中重要一條是，考試的時候?qū)W生花相對多的時間去想“怎么算”，真正計算、寫步驟的時間不夠，以至于錯漏百出。那么怎樣才能減少想的時間，增加算與寫的時間呢？

實際上，我們可以將解析幾何題目當作一個小故事來看，有背景交代與情節(jié)發(fā)展。有的題目背景清晰，情節(jié)簡單，而有的題目背景繁雜、情節(jié)“跌宕起伏”或“一波三折”?？偨Y(jié)近年來各類高考的解析幾何解答題，不難發(fā)現(xiàn)如下特點：（1）情節(jié)簡單的題目相對較多（約占55%），情節(jié)相對豐富的約占45%；（2）全國卷多以簡單情節(jié)為主，地方卷多以復雜情節(jié)為主。一般而言，情節(jié)簡單的，主要工作在于翻譯符號語言、圖形語言，情節(jié)豐富的，主要工作在于分析故事情節(jié)，選擇運算路徑。

一、簡單情節(jié)的理解與翻譯

圖1

分析：直線l過點F（1，0），很容易設出其方程?！螼MA＝∠OMB，說明x軸是∠AMB的角平分線，則有直線MA與直線MB關于x軸對稱，進而有MA與MB的傾斜角互補，從而有MA與MB的斜率之和為零。

解析：當直線l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°。

當直線l與x軸垂直時，△AMF?△BMF，所以∠OMA＝∠OMB。

當直線l與x軸既不重合又不垂直時，設其方程為

思路二：要證∠OMA＝∠OMB，只需證直線MA與直線MB關于x軸對稱，只需證點A（x1，y1）關于x軸的對稱點A′（x1，－y1）在直線MB上，只需證kA′M＝kBM，

思路三：要證∠OMA＝∠OMB，只需證MA與MB的傾斜角互補，即證

本題是2018年高考全國Ⅰ卷理科第19題，非常具有典型性與代表性。此題背景為方程已知的橢圓，簡單清晰；情節(jié)簡單，過焦點的直線l與橢圓相交。按通性通法來看，此題會走“聯(lián)立方程＋消元＋韋達定理”的路子。計算量的大小，關鍵在于如何翻譯∠OMA＝∠OMB。由上可以看出，由角平線來翻譯最復雜，用對稱翻譯適中，用斜率來翻譯最簡潔。一般而言，情節(jié)簡明的題目，首先要做好翻譯工作，然后就是按部就班地進行計算。當然有的翻譯工作簡單，有的翻譯工作相對比較困難。

由于一般而言依照題目的表達方式去直接計算，往往計算量較大，抑或者題目沒有正面告訴怎么算，只是告訴要算什么。因此就需要解題者去做一個翻譯工作。所謂的翻譯就是將題目要算的東西轉(zhuǎn)換成一種恰當?shù)南鄬啙嵉姆绞饺ビ嬎?，比如上述例題，題目只是讓證明兩個角相等，如何證明？就需要做另外的翻譯。

二、情節(jié)豐富時的分析與選擇

例2 過定點（6，0）的直線l與拋物線y2＝4x交于P，Q兩點．連接QF（F為拋物線的焦點）并延長交拋物線的準線于點R，當直線PR與拋物線相切時，求直線l的方程（見圖2）。

圖2

分析：此題背景簡單，為方程的已知的拋物線、過定點的直線。

但其情節(jié)較為復雜，將此小故事按情節(jié)發(fā)展解構(gòu)可有：直線l→點P、Q→直線QF→點R→直線PR。

結(jié)局是PR與拋物線相切。理清情節(jié)以后，一般可以選擇的運算路徑有：①情節(jié)發(fā)展計算（順算）；②從結(jié)局倒推式計算（倒算）；③從中間選擇一處作為計算的起點。

解析：設直線l的方程為x＝my＋6（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）聯(lián)立直線與拋物線可得y2－4my－24＝0，于是y1＋y2＝4m，y1·y2＝－24。

代入（*）式可得x2＋x1＝13，所以有x1＝9，x2＝4或x1＝4，x2＝9。

所以直線PQ的方程為2x±y－12＝0。

對于情節(jié)較復雜的題，首先必須理清題目所講故事的來龍去脈，將前因后果的條理弄清楚。一般而言，可先選擇依照故事的情節(jié)來計算即順算（思路一）；當順算比較復雜或難以處理時，可考慮從情節(jié)的終點出發(fā)倒著算即倒算（思路二）；能力較高的同學經(jīng)過分析亦可以從中間選擇一個節(jié)點開始計算（思路三）。不同的計算順序，計算細節(jié)、計算量有所不同。選擇計算順序后，不能一味地死算，需要注意計算細節(jié)的優(yōu)化，如思路一中，直線PR與拋物線相切，可以用△＝0或者導數(shù)處理，明顯用△＝0處理會非常麻煩；思路二中，點R在直線QF上，可以用直線方程或者三點共線處理，顯然三點共線處理更清晰；思路三中，在得出x1x2＝36后，要能抓住其與前兩式的聯(lián)系，從而想到將二者相乘。

分析：本題背景簡單清晰，不過情節(jié)較為豐富，先理清題目情節(jié)，如下：點A→直線l→點B，垂線MH→BF⊥FH，∠MOA≤∠MAO，結(jié)局是直線l的斜率范圍。

可以設直線l的斜率為k（k≠0），將情節(jié)整理為：點A→直線l→點B→BF⊥FH→點H→垂線MH→點M→∠MOA≤∠MAO。

解析：設直線l的方程為y＝k（x－2）。

聯(lián)立直線與橢圓得（4k2＋3）x2－16k2x＋16k2－12＝0（△＞0）。

此題故事情節(jié)較為豐富，參與的幾何元素較多，各個角色的登場是有先后順序的。需要對情節(jié)進行較為明晰的梳理，認清內(nèi)在邏輯，才能找到恰當?shù)挠嬎惴椒?，不然盲目按照常?guī)套路走，可能什么都算不出來。對能力較強的學生來說，可以很順利，對能力較弱的學生則比較困難，一般可以嘗試順序與倒序的路子。

三、結(jié)語

綜上所述，對背景清晰、情節(jié)簡單的題目一定要做好翻譯工作，翻譯得當題目才更有把握。對情節(jié)復雜的題目，先將題目的情節(jié)理清楚，一步一步看懂。先按題目的順序進行預估，可行就落實，覺得計算量大或節(jié)點不清，可嘗試換成倒序式的計算。當然解析幾何題作為傳統(tǒng)的中等難度題，本質(zhì)上是綜合性的題目，是考查學生學科素養(yǎng)的重要板塊，所以要完成得漂亮需要較強的綜合能力，如運算能力、數(shù)形結(jié)合能力、邏輯推理能力等。本文的研究旨在為考生提供一個處理問題的一般思維與切入點，讓考生知道做圓錐曲線題要干什么，解題不再盲目，真正根據(jù)題目已知來解題，而不是記套路、記模式，依據(jù)經(jīng)驗解題，從而真正在解題中培養(yǎng)與提升學科素養(yǎng)。