徑節(jié)制變位直齒圓柱齒輪的測繪和計算

黃冬英

(江蘇省江陰中等專業(yè)學校，江蘇 江陰，214400)

1 引言

某蝶閥項目要求更換一批齒輪，因蝶閥上的齒輪不是一般的渦輪蝸桿或扇形齒輪，而是由大、中、小三個齒輪嚙合傳遞動力，其中小齒輪是主動輪，小齒輪和中齒輪嚙合，中齒輪和大齒輪嚙合。為方便描述，小齒輪齒數(shù)用Z1表示，中齒輪齒數(shù)用Z2表示，大齒輪齒數(shù)用Z3表示。拆開齒輪盒后，小齒輪和中齒輪嚙合間隙很大，在開關(guān)閥的過程中產(chǎn)生了噪音、打齒的現(xiàn)象；并且齒面磨損嚴重，而大齒輪和中齒輪嚙合情況良好，齒廓保持良好。針對該情況，展開數(shù)據(jù)測量和計算等相關(guān)工作。

2 原始數(shù)據(jù)測量

2.1 齒數(shù)

Z1=12，Z2=25，Z3=88，在數(shù)齒數(shù)時，齒輪齒數(shù)少是沒什么問題的；不過齒數(shù)過多，可以在第一個齒上做好標記，依次往下數(shù)，每隔十個齒做一個標記，這種方法可以避免齒數(shù)過多而產(chǎn)生混亂，也可以減少檢查時間，避免在齒輪計算時把齒數(shù)搞錯。

2.2 中心矩

小齒輪和中齒輪中心距A實1表示，中齒輪和大齒輪中心距A實2表示。測量時，首先應(yīng)觀察和齒輪相配的軸和軸孔是否有變形、損壞的現(xiàn)象。如果直接拿齒輪測量，由于齒輪軸長短不一，測量時測量點未必能在同一水平面上，再加上齒輪軸與軸孔之間有間隙，受到游標卡尺的作用力，很容易使齒輪位置變動，因此，這樣測到的數(shù)據(jù)未必準確。如果軸孔沒有損壞，間接測量孔之間的距離而得到的中心距是比較準確的方法，見圖1所示，通過上述測量方法所得到的數(shù)據(jù)是A實1=48.84，A實2=143.56。

圖1 間接測量示意

2.3 齒頂圓

用Da1、Da2、Da3分別表示小、中、大三個齒輪的齒頂圓直徑，測量齒頂圓直徑時必須注意，只有當齒數(shù)是偶數(shù)時，才能直接測量；如果齒數(shù)是奇數(shù)，直接測量的尺寸不是齒頂圓直徑，而是一個齒的齒頂?shù)綄γ娴凝X槽兩齒面與齒頂圓交點的距離(如圖2)。顯然這個距離比齒頂圓直徑小。根據(jù)經(jīng)驗，通常將量出的這個距離乘以校正系數(shù)K(表1)，來求得齒頂圓直徑D。

圖2 測量齒頂圓

表1 系數(shù)表

小齒輪和大齒輪分別為偶數(shù)齒，直接測得Da1測=38.24，Da3測=228.48,Da2測=68.4，K=68.53(Z=25，K=1.002 0)根據(jù)表1選取[1-2]。

2.4 基節(jié)

用t1、t2、t3分別表示小齒輪、中齒輪、大齒輪的基節(jié)。這三個嚙合的齒輪，如不知道模數(shù)、壓力角是否為變位齒輪。只能根據(jù)齒輪上測量的數(shù)據(jù)來判定，而為什么要測量基節(jié)，因為從漸開線齒輪原理可知道，基節(jié)只與模數(shù)和壓力角有關(guān)，而與其他一切參數(shù)無關(guān)，所以，通過測量基節(jié)來推算模數(shù)和壓力角是非常直觀的。

基節(jié)的測量可以用基節(jié)儀直接測量，基節(jié)儀使用不便，使用條件受限。如果齒輪的粗糙度達不到要求，很難準確測量，由于并不配備此設(shè)備，所以只能尋找其他方法。

通過漸開線齒廓齒輪原理可知，發(fā)生線上的線段的長度等于基圓上被滾過的弧長，(漸開線的形成及其特性在這里不再贅述，可以參照齒輪原理)?；谶@個特點，可以通過測量公法線長度來間接求得基節(jié)的長度，公法線長度公式為：

LN=(N-1)t+8

(1)

式中，LN—跨N個齒的公法線長度；N—跨齒數(shù)；t—基圓長度；S—基圓齒厚。

公法線長度公式的由來，可以參考圖3所示。

圖3 公法線長度

注意：變位齒輪的公法線長度計算公式有別于直齒圓柱齒輪的公法線長度計算公式(圖4所示)，在這里為更清晰地闡述利用公法線長度差的方法來測量基節(jié)，特給出變位齒輪(包括高度變位齒輪和角度變位齒輪)的公法線長度計算公式：

圖4 齒輪示意圖

L實=LN+2Xmsinα

(2)

式中：L實—變位后的實際公法線長度；LN—未變位的跨N齒的公法線長度；N—跨齒數(shù)；X—變位系數(shù)(代入公式時，需加正負號)；m—模數(shù)；α—齒形角(分度圓壓力角)。

由圖4可明顯看出L+>L>L-。由式2可得出：

t=LN-LN-1

(3)

進一步證明了基節(jié)與變位系數(shù)無關(guān)。

當測量跨齒數(shù)時會發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，如果齒數(shù)跨多了，卡尺就會與齒輪牙齒上部分接觸；如果跨齒數(shù)少了，就會在齒輪根部接觸，都不會是準確的測量值。測量時只有把卡尺卡在大約牙齒中部的位置，才能得出準確值。因此，測量時跨齒數(shù)的選擇尤為重要，公式(4)可供參考。

(4)

式中，α在壓力角為未知數(shù)，可依次用14.5°、15°、20°、22.5°代入驗算。

由上式得出的值不是正整數(shù)，可四舍五入來最終確定值。由于基節(jié)關(guān)乎壓力角和模數(shù)這兩個重要的齒輪數(shù)據(jù)，雖然測量時難免會有誤差，為保證測量值盡量準確，可采用多次測量取平均值的方法。對于小齒輪、中齒輪、大齒輪則分別測量五組數(shù)據(jù)，(選用20°代入式4)數(shù)據(jù)如表2～表4所示。

表2 小齒輪數(shù)據(jù)

表3 中齒輪數(shù)據(jù)

表4 大齒輪數(shù)據(jù)

整理上述數(shù)據(jù)可得出t1=7.72,t2=7.612,t3=7.496。對比這三組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)基節(jié)依次變小，數(shù)據(jù)測量是否有誤，如果正確，該采用哪組數(shù)據(jù)，為何會出現(xiàn)這種情況？

先分析數(shù)據(jù)，第一：為何三組數(shù)據(jù)的平均值會出現(xiàn)如此大的差距？第二：小齒輪和中間齒輪同樣測量跨齒數(shù)是3；為何數(shù)據(jù)會有將近1.5 mm的差別？很明顯，一對漸開線齒輪的正確嚙合條件是它們的基節(jié)必須相等。再觀察小齒輪，當測量跨兩個齒時，卡尺很接近齒根了，而測量3齒時，接近于齒中部，所以所得的差值必然會大，小齒輪的齒數(shù)只有12齒，為保證加工時不發(fā)生根切現(xiàn)象(不發(fā)生根切現(xiàn)象的最小齒數(shù)為17齒)，這個齒輪必須采用正變位齒輪，增加它的齒強度。小齒輪端部尖而細，進一步證明了它應(yīng)該是變位齒輪。同樣，中齒輪齒數(shù)也因為齒數(shù)少，在測量跨齒數(shù)3的公法線長度時，卡尺也無法卡在齒中部位，所以所得值會有偏差；第三組數(shù)據(jù)，齒數(shù)足夠多，卡尺在測量9齒的公法線長度和10齒的公法線長度都在齒中部位，所以接近準確值，因此采用第三組數(shù)據(jù)，即t=7.496,基節(jié)的計算公式為：

t=πmcosα

(5)

通過查基節(jié)函數(shù)表(模數(shù)、壓力角的乘積值表，因為壓力角數(shù)量有限)可知當m=2.54，α=20°時，t=7.498，與所測得的值相近。模數(shù)已經(jīng)標準化了，一般國際標準化組織，如中國、德國、日本、法國、瑞士等采用模數(shù)制，而美國和英國一般采用徑節(jié)制。

在標準化模數(shù)中，沒有2.54這個模數(shù)，該案例是按照美標的，因此，這個齒輪設(shè)定為徑節(jié)制，暫定m=2.54(P=10)，α=20°，通過其他數(shù)據(jù)來印證假設(shè)[3-5]。

2.5 全齒高

三個齒輪的全齒高分別用h1、h2、h3來表示，測量全齒高可以利用游標卡尺的測深度尾針測出。由于尾針的自身厚度，卡尺尺身的寬度不夠，測量的數(shù)據(jù)不夠準確，測量出來的值沒有價值，只能供參考，h1=4.62，h2=5.60，h3=5.68[4]。

3 數(shù)據(jù)計算[6-7]

首先用標準直齒輪代入公式計算，既然知道了齒數(shù)，暫定了模數(shù)，利用這兩個數(shù)據(jù)來確定標準中心距，然后再與實際中心距比較，由標準齒輪中心距公式可知：

已知齒頂圓直徑，利用標準齒輪齒頂圓計算公式，齒頂高系數(shù)暫定為ha*=1(在德標中有0.8，美標的短齒系列為0.875，多用于汽車離合器中，這些都不太常見，所以暫定為1)，由齒頂圓公式可知：

Da1=(Z1+2)mDa1=35.56

Da2=(Z2+2)mDa2=68.58

Da3=(Z3+2)mDa3=228.60

由前期的數(shù)據(jù)測量就已經(jīng)可以判斷小齒輪為變位齒輪，從得出的數(shù)據(jù)進一步驗證了判斷，小齒輪為正變位齒輪；而對于中齒輪和大齒輪為標準直齒圓柱齒輪。(高度變位齒輪的中心距與標準中心距相等，只測出中心距而得出齒輪為標準齒輪的結(jié)論是不準確的)，由于三個齒輪相互嚙合，所以齒形角、模數(shù)、齒頂高系數(shù)、頂系系數(shù)全部相同，通過中齒輪和大齒輪先確定一些參數(shù)。

理論全齒高可知：

h=(2ha*+c*)m，得到h=5.715

三個齒輪全齒高的測量值中，大齒輪的數(shù)值接近。當齒頂高系數(shù)ha*=0.8時，c*=0.1～0.3,代入公式中可得h=4.318～4.826。

如果是美標短齒系列，即ha*=0.875,c*=0.125,代入公式中可得：h=4.762 5。

上述兩個計算值說明這套齒輪副的齒頂高系數(shù)ha*=1，頂系系數(shù)c*=0.25。

對于小齒輪，計算稍微會復(fù)雜些。首先，已經(jīng)確定小齒輪為正變位齒輪，當齒輪齒數(shù)小于17齒時，齒輪加工就會產(chǎn)生根切現(xiàn)象(根切現(xiàn)象的產(chǎn)生，可參考齒輪加工)，為保證零件結(jié)構(gòu)的緊湊性，設(shè)計者往往會盡可能地減少齒數(shù)，但如何解決根切問題，齒輪變位往往是很好的選擇。

加工齒輪時，為了避免根切，齒數(shù)越少，需要刀具做更大的位移，即齒輪的變位系數(shù)越大；但避免根切的最小變位系數(shù)是多少呢？公式(6)就是最小變位系數(shù)公式：

(6)

(7)

由于變位齒輪的中心距變化，所以齒面的受力方向與運動方向的夾角就有了變化，即嚙合角不再等于分度圓壓力角：α嚙≠α；嚙合角的大小直接影響變位系數(shù)，給出嚙合角公式：

A實cosα嚙=Acosα

(7)

式中，A實—實際中心距，A—標準中心距，α嚙—嚙合角。

由已算出的數(shù)據(jù)可知：cosα嚙=0.904，α嚙=25°17′52″。

已知嚙合角，可以求出總的變位系數(shù)，給出總變位系數(shù)公式(8)：

(8)

式中，X—總變位系數(shù)，由已知數(shù)據(jù)可知：X≈0.8。X1—小齒輪變位系數(shù)，X2—大齒輪變位系數(shù)，Z1—小齒輪齒數(shù)，Z2—大齒輪齒數(shù)。invα=tanα-α，可以查漸開線函數(shù)表。由于上文中，已確定中齒輪為標準齒輪，即X=X1=0.82，X2=0；又已知，變位系數(shù)與中心距變動系數(shù)和齒高變動系數(shù)三者之間的關(guān)系為：

X=y+△y

(9)

式中，△y—齒高變動系數(shù)(齒頂降低系數(shù))，y—中心距變動系數(shù)(分離系數(shù))，可求得y。

(10)

從而計算得到y(tǒng)=0.728，△y=0.092。

進而可求得齒頂高ha和齒根高hf：

ha=(ha*+X-Δy)m

(11)

hf=(ha*+C-X)m

(12)

經(jīng)計算可得齒頂高ha和齒根高hf：ha≈4.39，hf≈1.09。

由此可根據(jù)以下公式，計算得到h和Da。

h=ha+hf

(13)

Da=d+2ha

(14)

得到，h=5.48，Da=39.26。

公法線長度LN：

LN=L+mXsinα=

mcosα[(N-0.5)π+Zinvα]+2mXsinα

(15)

LN——變位齒輪公法線長度，L——標準齒輪公法線長度，N——跨齒數(shù)

在上文中已經(jīng)測量了小齒輪跨3齒的公法線長度L3，通過所給公式，求得跨3齒的公法線長度L3≈20.60。

4 數(shù)據(jù)分析

測量的數(shù)據(jù)中，小齒輪的齒頂圓直徑Da實=38.24，而求得的齒頂圓直徑Da求=39.26，齒輪在工作時，齒頂圓不會有磨損，為什么會出現(xiàn)將近1 mm的差距呢？首先檢查所求的數(shù)據(jù)，通過查圖表，可以簡單判斷變位系數(shù)選擇是否正確。從《機械設(shè)計手冊》查變位系數(shù)與總齒數(shù)和齒高變位系數(shù)之間的關(guān)系圖表可知，通過圖表可以大致判斷，當總齒數(shù)為37，變位系數(shù)為0.82時，齒高變動系數(shù)在0.09～0.10之間，通過圖表，計算出來的數(shù)據(jù)是正確的。當齒數(shù)較少時，如果變位系數(shù)過大，就可能發(fā)生齒頂過薄[8]。

齒頂厚公式為：

(16)

(17)

(18)

(19)

式中紅，Sa—齒頂厚，αa—齒頂圓壓力角，rb—基圓半徑，ra—齒頂圓半徑，d—分度圓直徑。

通過上述可求得：αa=43.15°，求得齒頂厚Sa≈0.438 8。

從圖5可發(fā)現(xiàn)，小齒輪的后齒頂非常尖，而所求得的齒頂厚也證明了這一點，那么唯一的可能就是：由于齒形過于尖，原設(shè)計在機加工階段，車掉了一部分齒頂圓，如圖6所示。

圖5 齒頂圓示意

圖6 齒頂圓加工示意

接下來再來校核小齒輪的重合度ε：

(20)

由公式16～公式20可求得重合度：ε≈1.26>1.2。

中心距變動系數(shù)△y=0.01，分度圓直徑d=33.02，齒頂圓直徑da=35.476，全齒高h=5.69，公法線長度L3=19.62，跨齒數(shù)：N=3(根據(jù)變位齒輪跨齒數(shù)公式)，重合度ε≈0.98<1.2。

增加一個齒后，重合度小于許用重合度，所以，齒數(shù)不變。兩齒輪的嚙合情況如圖7所示：

圖7 嚙合圖

5 檢驗

雖然齒輪主要參數(shù)有了，但是齒輪的傳動精度和公差如何確定？該給出哪些參數(shù)呢？根據(jù)齒輪的使用要求對齒輪制造精度主要有四個方面的要求：

(a)運動精度

主動輪每轉(zhuǎn)過一定的角度，從動輪應(yīng)按照傳動比準確地轉(zhuǎn)過相應(yīng)的角度，但是由于齒輪本身的制造誤差，不可避免地會出現(xiàn)實際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角之間的差異。

(b)工作平穩(wěn)性

當齒輪在高速運轉(zhuǎn)時，由于齒輪的瞬時傳動比變化，就會引起震動和噪聲，進而降低齒輪的使用壽命。

(c)接觸精度

齒輪在傳遞扭矩時，一對嚙合的齒輪不可能達到全部齒面接觸，接觸面積越大，受力越大，則接觸精度越高。

(d)齒側(cè)間隙

相互嚙合的一對牙齒在不接觸的一面通常會留有間隙，稱之為齒側(cè)間隙，為防止卡齒，并在齒面上形成油膜潤滑，兩齒之間通常會有間隙，如果間隙過大，齒輪傳動噪音就大，降低齒輪使用壽命。所以為了保證有較好的使用性能，對運動精度、工作平穩(wěn)性、接觸精度和齒側(cè)間隙有一定要求。

選擇齒輪的精度等級必須要根據(jù)齒輪傳動用途、工作條件和加工條件三個方面綜合考慮選擇精度等級。一般來說，由于齒輪傳動的具體工作條件不同，對上面所述的精度要求也不一樣；一是高速傳動齒輪，對工作平穩(wěn)性的要求是最主要的；二是對低速重載齒輪而言，接觸精度是最重要的；三是儀器上讀數(shù)的齒輪，運動精度是最重要的[8]。

本齒輪使用在蝶閥上，為手動開啟，所以轉(zhuǎn)速不高，對平穩(wěn)性和運動精度要求不高，因此，選擇精度等級為：8-9-9-Dc。第一位數(shù)“8”代表運動精度等級為8，第二位數(shù)字“9”代表工作平穩(wěn)性等級為9，第三位數(shù)字“9”代表表示接觸精度等級為9，最后一位字母“Dc”表示齒側(cè)間隙為標準保證側(cè)隙。

齒輪的精度等級選定后，加工時應(yīng)該選定以下尺寸公差才能確保齒輪達到精度要求：

5.1 運動精度檢驗項目

5.1.1 齒圈徑向跳動公差Fr

從齒輪的牙齒或齒間的固定弦至回轉(zhuǎn)軸心的距離的最大允許變動量。

5.1.2 公法線長度變動公差Fw

在同一齒輪上，相同跨齒數(shù)，公法線的最大長度和最小長度的差值。

5.2 工作平穩(wěn)性檢驗項目

5.2.1 齒形公差ff

在牙齒工作部分內(nèi)，容納實際齒形的兩理論齒形間的最大允許的法向距離；在垂直于齒輪回轉(zhuǎn)中心線的剖面內(nèi)相對于軸心線來測定。

5.2.2 齒距離、偏差fpt

齒輪上相鄰兩個同名齒側(cè)的兩條互相平行的切線間的實際距離與公稱基節(jié)的最大允差和最小允差。

5.3 接觸精度檢驗項目——齒向公差fβ

在通過齒高中部的圓柱上，在齒全長內(nèi)實際齒向?qū)碚擙X向的最大允許誤差。如何同時檢驗齒圈徑向跳動公差和公法線長度變動公差才能確保運動精度？

滾齒的加工是靠分齒運動，即滾刀與齒坯之間按一定速度比均勻旋轉(zhuǎn)運動來保證分齒均勻的要求，因此機床工作臺回轉(zhuǎn)不均勻是造成滾齒后齒輪牙齒分布不均勻的重要因素。在測量公法線長度時，就會出現(xiàn)最大值和最小值，而控制這個差值，就可保證運動精度。但是，控制公法線長度的差值，只能保證牙齒相對于工作臺回轉(zhuǎn)中心的運動精度，可是齒輪是要使用在零件上的，所以齒輪在使用時，必須使牙齒相對于與其相配合的軸或軸孔的回轉(zhuǎn)中心是均勻的。因此控制齒圈的幾何中心與內(nèi)孔中心的偏心量，通過測量齒圈徑向跳動來反映這個偏心量。公法線長度變動和齒圈徑向跳動分別反映了滾齒時兩種不同性質(zhì)的誤差：即工作臺回轉(zhuǎn)誤差和齒坯安裝誤差，只有同時限制了公法線長度變動和齒圈徑向跳動才能保證齒輪的運動精度。

如何同時檢驗齒形公差和齒距偏差才能確保工作臺的平穩(wěn)性呢？齒輪的齒形面不可能與理論的漸開線完全吻合，必須限制齒形面的誤差來保證牙齒從開始嚙合到脫開的過程中速度比的變化；另外，如果保證了齒形面與漸開線吻合，可又不控制相鄰兩齒之間的距離(即齒距)，無法保證傳動時，一對牙齒過渡到另一對牙齒嚙合過程中速比的變化而引起沖擊和噪音。因此，齒距的偏差也是影響齒輪工作平穩(wěn)性的主要因素。

如何檢驗齒向誤差才能保證接觸精度？在齒面上沿齒寬和齒高兩個方向的接觸面積百分比來反映齒輪接觸精度，齒向誤差是直接影響著齒寬方向的接觸面積百分比，由于影響齒高方向接觸好壞的因素是齒形公差和齒距偏差。這兩個項目已經(jīng)在工作平穩(wěn)性上規(guī)定了，沒必要再次規(guī)定限制，所以只限制齒向誤差即可。但是，如果單獨分析提高齒輪接觸精度時，就不能只考慮齒向誤差，也要考慮齒高方面的影響因素[9-10]。

6 結(jié)束語

通過以上闡述，了解了各項精度要求，可通過查表來確定各等級下的公差是多少。通過選取整理，各項數(shù)值分別為：Fr=0.05，F(xiàn)w=0.03，ff=0.03，fpt=±0.05，fβ=0.03。由于此齒輪轉(zhuǎn)速不高，載荷不大，所以就用加工齒輪最常用的材料45鋼，調(diào)質(zhì)處理，表面硬度為HB=220～250。