直流電弧生長的半徑擴散模型及特性分析

和志文，朱翔鷗，王 玲，孫 創(chuàng)

(溫州大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

電弧是電力系統(tǒng)、焊接、照明、冶金等領(lǐng)域研究的重要課題之一，特別是在開關(guān)電器中，電器開斷時產(chǎn)生的高溫電弧很容易燒毀電觸頭，這會嚴(yán)重影響開關(guān)電器的可靠動作和快速分?jǐn)啵茐碾姎饨^緣，甚至引發(fā)電氣火災(zāi)．為了掌握電弧在形成、穩(wěn)定燃燒以及熄滅過程中的特性和機理，國內(nèi)外學(xué)者對電弧的物理特性和機理過程進(jìn)行了廣泛研究，并取得了相應(yīng)的成果[1-3]．文獻(xiàn)[1]分析了直流電弧運動過程中重?fù)舸┑男纬蓹C理，并通過仿真研究了溫度對重?fù)舸┑挠绊?；文獻(xiàn)[2]研究了垂直型輸電線路在火焰中燃燒時發(fā)生閃絡(luò)放電的現(xiàn)象與機理；文獻(xiàn)[3]探索了棒棒氣隙施加高壓產(chǎn)生直流電弧的機理，并通過高速攝像機拍攝電弧顏色分析了直流電弧的宏觀特性．也有學(xué)者在理論建模方面取得了階段性成果，通過建立相應(yīng)的電弧模型對電弧特性進(jìn)行了研究[4-6]．文獻(xiàn)[4]利用安全火花試驗裝置進(jìn)行電感分?jǐn)喾烹妼嶒?，提出了電感分?jǐn)嚯娀》烹姷碾娮柚笖?shù)模型；文獻(xiàn)[5]建立了直流電弧的數(shù)學(xué)模型，分析了電源電壓、電源電流和極間距離對直流電弧特性的影響；文獻(xiàn)[6]建立了火焰燃燒間隙放電模型，研究了火焰燃燒條件下導(dǎo)線-板間隙擊穿特性．環(huán)境會影響電弧的行為，一些學(xué)者通過搭建實驗平臺，研究了特定情景下的電弧動態(tài)特性[7-9]．文獻(xiàn)[7]搭建實驗平臺模擬了直流電源系統(tǒng)中的電弧，測量了直流電弧的伏安特性曲線，并分析了電極直徑、電極分離速度等因素對電弧發(fā)展過程的影響；文獻(xiàn)[8]搭建了直流開斷實驗平臺，測試了氣體介質(zhì)和充氣壓強對燃弧過程的影響；文獻(xiàn)[9]設(shè)計了密閉的故障電弧發(fā)生器，測試并分析了電弧電流、電極材料和極間距離等對電弧輻射能量的影響．

綜上所述，當(dāng)前對電弧的研究主要針對的是電弧的穩(wěn)定燃燒過程和電弧的熄滅過程，電弧的形成過程很少被關(guān)注和研究．本文將直流電弧產(chǎn)生后電流由小變大最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的過程稱為電弧生長，電弧生長是電弧形成過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因此，研究電弧生長的數(shù)學(xué)模型和動態(tài)特性對掌握電弧形成的機理具有重要意義．

目前，關(guān)于直流電弧生長的數(shù)學(xué)模型和動態(tài)特性的研究少有報道．本文考慮熱傳導(dǎo)和熱輻射對電弧半徑的影響，對Mayr電弧模型進(jìn)行改進(jìn)，給出了一種電弧半徑擴散模型，改進(jìn)后的電弧模型能夠反映電弧生長時電流的變化情況．在MATLAB / Simulink仿真環(huán)境下模擬電弧的生長過程，在此基礎(chǔ)上，通過仿真和實驗手段對電弧模型進(jìn)行驗證，對比分析仿真與實驗波形，驗證了電弧半徑擴散模型的可行性和準(zhǔn)確性．此外，還通過實驗分析了電弧生長時的動態(tài)伏安特性，通過仿真探索了電路參數(shù)對電弧電流的影響．

1 電弧半徑擴散模型的建立

Mayr電弧模型[10]是基于黑盒建模方法建立的，不考慮電弧內(nèi)部復(fù)雜的物理機理，直接從外特性的角度描述電?。甅ayr認(rèn)為電弧呈圓柱形，其直徑保持不變，通過熱傳導(dǎo)和熱輻射向外散發(fā)能量，且散發(fā)的能量是常數(shù)，Mayr電弧模型可以表示為：

其中，g為電弧電導(dǎo)；u為電弧電壓；i為電弧電流；sP為散發(fā)功率，是一個常量；τ為時間常數(shù)．

通過觀察電弧的形態(tài)，發(fā)現(xiàn)電弧形成初期的半徑很小，弧光較弱，在極短的時間內(nèi)電弧半徑不斷變大，弧光顯著增強，如圖1所示．因此，電弧生長時不僅電流在變大，電弧半徑也在發(fā)生改變，且其釋放的能量不斷增加，最終達(dá)到穩(wěn)定燃燒狀態(tài)．電弧可以看作是一個純電阻的發(fā)熱元件，其熱量通過熱傳導(dǎo)、熱輻射和熱對流3種方式向周圍的介質(zhì)散發(fā)．電弧生長速度很快，不考慮對流造成的能量流失，其主要是通過熱傳導(dǎo)和熱輻射散熱．電弧生長時，一方面通過加熱電極來維持電極表面的電子發(fā)射，另一方面對周圍的空氣介質(zhì)進(jìn)行加熱，使其電離產(chǎn)生更多的帶電粒子，因此，電弧在生長時對電極和空氣都進(jìn)行熱傳導(dǎo)散熱．

圖1 電弧形成初期與穩(wěn)定燃燒時期的圖像對比

本文從電弧的能量平衡出發(fā)，考慮熱傳導(dǎo)和熱輻射對電弧半徑的影響，在Mayr電弧模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，給出一種電弧半徑擴散模型．作如下假設(shè)：

1）電弧初始是一個半徑為0r、長度為l的圓柱形氣流通道；

2）在電弧生長時，電弧的電流密度為恒定值，半徑隨電流的增大而增大，但是其表面溫度始終保持6 000 K不變，呈現(xiàn)出向外擴散的形態(tài)；

3）弧長為弧柱長度，且電弧電壓與弧長成正比；

4）在電弧生長時，電弧的散發(fā)功率是變化的，通過電極熱傳導(dǎo)、空氣熱傳導(dǎo)以及熱輻射的方式向周圍介質(zhì)散發(fā)能量，且散發(fā)功率與電弧半徑和弧長相關(guān)．

滿足以上假設(shè)條件后，電弧向外散發(fā)的功率sP由電極熱傳導(dǎo)功率Pcd1、空氣熱傳導(dǎo)功率Pcd2以及熱輻射功率Pfs構(gòu)成：

電弧是一個圓柱形氣流通道，其對電極的加熱主要在近極區(qū)，因而弧柱長度不會對電極熱傳導(dǎo)功率造成影響，同時考慮不同材料電極的熱導(dǎo)率不同，則電弧對電極的熱傳導(dǎo)功率Pcd1為：

其中，hr為電弧半徑；hT為電弧表面溫度；1λ、2λ分別為兩個電極的熱導(dǎo)率；0T為電極初始溫度，與環(huán)境溫度一致；d為電極長度．

電弧主要通過弧柱對周圍空氣進(jìn)行熱傳導(dǎo)散熱，假設(shè)在弧柱以外半徑為br的圓柱表面溫度為環(huán)境溫度0T，則電弧對空氣的熱傳導(dǎo)功率Pcd2為：

其中，l為電弧長度；br取值為100倍的電弧半徑，λ為空氣熱導(dǎo)率．

由文獻(xiàn)[11]可知，電弧熱輻射功率Pfs與弧柱體積成正比，可用下列公式進(jìn)行計算：

其中，εfs為弧柱的發(fā)射率．

電弧在生長過程中，發(fā)出耀眼的弧光并釋放熱量，且越來越強烈，然而很快便達(dá)到穩(wěn)定燃燒狀態(tài)，為了獲得更加符合真實情況的電弧模型，散發(fā)功率的變化有必要考慮在內(nèi)．由式（2）、（3）、（4）和（5）可得電弧的散發(fā)功率sP為：

其中，1k為電極熱傳導(dǎo)功率系數(shù)，k2為空氣熱傳導(dǎo)功率系數(shù)，k3為熱輻射功率系數(shù)．

假設(shè)電弧是一個可變電阻，由電弧的電導(dǎo)特性可得：

其中，σ為電弧電導(dǎo)率，在電弧溫度保持不變時為常數(shù)．

將式（7）帶入式（1）中，可得電弧關(guān)于半徑的模型表達(dá)式：

令lnhr=x，則式（8）可以表達(dá)為：

由歐姆定律可知，i=u?g，根據(jù)式（7）得到電弧電流關(guān)于半徑的表達(dá)式：

將式（6）和式（10）帶入式（9）中便得到電弧半徑擴散模型的控制方程：

在MATLAB / Simulink的仿真環(huán)境下建立電弧半徑擴散模型，該模型實質(zhì)上就是一個壓控恒流源，根據(jù)端電壓的變化來調(diào)整輸出電流，如圖2所示，其中，Arc模塊為電弧半徑擴散模型的核心，該模塊是依據(jù)式（11）封裝的微分計算子模塊，參數(shù)設(shè)置如表1所示．

圖2 電弧半徑擴散模型

表1 電弧模型的控制方程參數(shù)

2 電弧半徑擴散模型的實驗驗證

本文通過仿真和實驗手段對電弧半徑擴散模型進(jìn)行驗證．圖3（a）是實驗的原理圖，電弧燃燒室內(nèi)裝有的固定電極和可移動電極，共同組成了電弧發(fā)生裝置．有研究表明[12]，電極材料和形狀會對電弧特性造成影響．因此，為了保證實驗的嚴(yán)謹(jǐn)性，本實驗陰極選取直徑1 cm、長度2.5 cm的銅棒，陽極選取直徑1 cm、長度2.5 cm的碳棒，每次實驗前需對電極表面進(jìn)行打磨．為了驗證模型的可行性與準(zhǔn)確性，根據(jù)圖3（a）在Simulink中進(jìn)行建模仿真，同時搭建如圖3（b）所示的實驗裝置進(jìn)行實驗驗證．

圖3 實驗的原理圖及實驗裝置

圖4所示為仿真與實驗條件完全相同情況下的電弧電流、電壓波形，其中，電源電壓為60 V，負(fù)載電阻為7.8 Ω，限流電阻為2.2 Ω，極間距離為0.6 mm．圖4（a）和4（b）分別展示了電弧電流和電壓波形，通過對比可以發(fā)現(xiàn)，仿真波形與實驗波形重合度高，具有很好的一致性，即電弧電流均是從小逐漸向大變化，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而電弧電壓則是隨著電弧電流的增大而降低，呈現(xiàn)出明顯的“負(fù)阻性”．由于實驗過程中容易受到外界因素的干擾，因此實驗波形會出現(xiàn)小范圍波動．

圖4 仿真與實驗電弧電流、電壓波形的比較

圖5展示了不同極間距離下電弧電流的仿真與實驗波形，其中，電源電壓為60 V，負(fù)載電阻為7.8 Ω，限流電阻為2.2 Ω，極間距離l分別為0.6 mm、0.8 mm以及1.0 mm．對比發(fā)現(xiàn)，仿真波形與實驗波形具有相同的變化規(guī)律，即穩(wěn)態(tài)電弧電流隨著極間距離的增大而減小，這說明電弧達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的平衡點位置與極間距離有關(guān)；同時，在電弧電流從小變大的過程中，電流的變化率也隨極間距離的增大而減小．

圖5 不同極間距離下的電弧電流仿真與實驗波形

在電弧生長時，電弧通過熱傳導(dǎo)與熱輻射的形式向外散發(fā)能量，且散發(fā)的能量與極間距離有關(guān)，極間距離越長，電弧向外釋放的能量也越多，從而造成弧柱電阻相對變大，電壓升高，電流減小；同時用于徑向生長的能量相對被縮減，從而導(dǎo)致電弧向外擴散的速率減緩，表現(xiàn)為電弧電流波形的斜率變小，如果散發(fā)能量大于外電路輸入的能量，則電弧不會被點燃或趨于熄滅．

由所給的電弧半徑擴散模型可知，電弧電流從小向大變化直到電弧達(dá)到穩(wěn)定燃燒狀態(tài)的過程就是電弧半徑的發(fā)展過程，測量電弧響應(yīng)時間并尋找其變化規(guī)律不僅可以驗證模型的可靠性，還有利于完善電弧模型．本文將電弧響應(yīng)時間定義為電弧從小電流生長到與穩(wěn)定電流差值的半功率點處所經(jīng)歷的時間．在電源電壓60 V、負(fù)載電阻7.8 Ω、限流電阻2.2 Ω的實驗條件下，統(tǒng)計了10組不同極間距離下電弧響應(yīng)時間的實驗值與仿真值，取其平均值作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)，如表2所示．由表2可知，隨著極間距離的增大，電弧響應(yīng)時間逐漸增大，實驗結(jié)果與仿真結(jié)果有相同的變化規(guī)律，且實驗值與仿真值的相對誤差在3%的范圍內(nèi)，這表明所給電弧模型考慮弧長對電弧能量平衡的影響符合客觀實際．

表2 極間距離對電弧轉(zhuǎn)移響應(yīng)時間的影響

綜合上述結(jié)果表明，本文所建的電弧模型是正確的，且參數(shù)選取符合客觀實際情況，能夠很好地描述電弧的生長過程．

3 直流電弧生長的動態(tài)特性分析

3.1 動態(tài)伏安特性分析

在電源輸入電壓60 V、負(fù)載電阻7.8 Ω、限流電阻2.2 Ω的電路條件下，極間距離為0.6 mm、0.8 mm、1.0 mm以及1.2 mm時典型的電弧動態(tài)伏安特性曲線見圖6．對比圖6中的4條曲線可以發(fā)現(xiàn)，隨著電弧長度的增加，電弧動態(tài)伏安特性曲線會升高，這就意味著電弧在生長時需要更高的電源電壓．該動態(tài)生長過程的電弧電壓取決于維持電弧從一個平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個平衡狀態(tài)的輸入能量，是電弧本身的一種自我調(diào)節(jié)能力，與所給電弧半徑擴散模型的變化規(guī)律一致．

圖6 不同極間距離下的動態(tài)伏安特性曲線

電弧的動態(tài)伏安特性不同于靜態(tài)伏安特性，在電源輸入電壓60 V、負(fù)載電阻7.8 Ω的電路條件下，0.6 mm極間距離的靜態(tài)伏安特性曲線與動態(tài)伏安特性曲線見圖7．圖7中，動態(tài)伏安特性曲線分別是在2 A、3 A以及4 A的起動電流（電感初始電流）下測得的，靜態(tài)伏安特性曲線是通過改變負(fù)載電阻和電源電壓的方式，得到電弧靜態(tài)工作點后采用最小二乘法擬合得到的．對比發(fā)現(xiàn)，電弧的動態(tài)伏安特性曲線始終高于靜態(tài)伏安特性曲線，且起動電流越大，動態(tài)伏安特性曲線在小電流區(qū)域越高．在生長過程中，電弧電流從小向大變化，由于電流的變化速度快，電弧溫度的升高以及半徑的擴散存在滯后性，相對于穩(wěn)定燃燒狀態(tài)而言，維持弧柱內(nèi)部的電離過程需要更高的電壓，而且經(jīng)過一段時間才能達(dá)到穩(wěn)定燃燒點．

圖7 動態(tài)伏安特性曲線與靜態(tài)伏安特性曲線

3.2 電路參數(shù)對電弧電流的影響

圖8展示了不同電路參數(shù)對電弧電流波形的影響．

圖8 不同電路參數(shù)對電弧電流的影響

在仿真過程中，每次只改變一個量，保證其它參量不變．圖8（a）展示了限流電阻R2對電弧電流的影響，很明顯可以看出，限流電阻R2不會影響穩(wěn)態(tài)后電流的平衡點位置，而在電弧生長時，增大限流電阻將導(dǎo)致抽頭電感中的起動電流減小，從而影響抽頭電感的前期儲能，儲能越少則電弧的生長速度越慢，因此限流電阻會在一定程度上影響電弧的響應(yīng)速度．圖8（b）展示了負(fù)載電阻R1對電弧電流的影響，增大負(fù)載電阻，電弧穩(wěn)態(tài)時的平衡點位置降低，這是因為電弧的穩(wěn)定燃燒點就是負(fù)載線與伏安特性曲線的交點，負(fù)載線越陡，交點的位置就越向電流小的方向移動．圖8（c）展示了電源電壓E對電弧電流的影響，電源電壓影響電路負(fù)載線的位置，電源電壓越低，負(fù)載線就越向電流低的方向平行移動，從而導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)電弧電流的平衡點位置下移．圖8（d）展示了電弧模型中初始半徑對電弧電流的影響，不難看出，由于初始半徑過小，四條波形線幾乎重合，這說明初始半徑雖然對電流波形有一定的影響，但不會對電弧電流的穩(wěn)態(tài)平衡點造成太大影響，可忽略不計．

4 結(jié) 語

本文從電弧的能量平衡出發(fā)，考慮熱傳導(dǎo)和熱輻射對電弧半徑的影響，對Mayr電弧模型進(jìn)行了改進(jìn)，給出了一種電弧半徑擴散模型，并在MATLAB / Simulink的仿真環(huán)境下建立了電弧仿真模型．

采用仿真和實驗的手段驗證了所給電弧模型的可行性和準(zhǔn)確性，表明電弧模型的參數(shù)選取符合客觀實際情況，能夠很好地描述電弧的生長過程．通過電弧電流、電壓波形的對比，可以發(fā)現(xiàn)仿真與實驗波形具有很好的一致性．對比不同間距下電弧電流波形可以發(fā)現(xiàn)，仿真與實驗波形具有相同的變化規(guī)律，改變極間距離不僅會使電弧的穩(wěn)態(tài)平衡點發(fā)生變化，而且會影響電弧的響應(yīng)速度．統(tǒng)計不同極間距離下的電弧響應(yīng)時間，發(fā)現(xiàn)仿真值與實驗值的相對誤差在3%的范圍內(nèi)，表明考慮弧長對電弧能量平衡的影響符合客觀實際．

實驗對比了電弧生長時的動態(tài)伏安特性曲線和靜態(tài)伏安特性曲線，發(fā)現(xiàn)電弧生長時動態(tài)伏安特性曲線始終位于靜態(tài)伏安特性曲線的上方，電弧生長存在滯后性．仿真探索了電路參數(shù)對電弧電流的影響，結(jié)果表明，電弧的穩(wěn)態(tài)平衡點與電路負(fù)載參數(shù)有關(guān)，電弧初始條件幾乎不會對電弧的穩(wěn)態(tài)平衡點造成影響．