黃江平,鐘曉靜
(華東交通大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,南昌 330013)
隨著城軌列車運(yùn)營里程的增加,城市軌道交通系統(tǒng)面臨的壓力也越來越大,要求最大程度地減少能源消耗,降低其運(yùn)營成本和對環(huán)境影響[1]。截止2019年底,全國城市軌道交通運(yùn)營里程從2064 km增長到6333.3 km。據(jù)統(tǒng)計(jì),我國城市軌道交通每年用電量約15.26億kW·h[2],同時(shí),根據(jù)現(xiàn)有城市軌道交通能耗數(shù)據(jù)顯示,列車牽引是列車耗能的主要因素,約為總能耗的50%[3]。因此,研究降低列車牽引能耗方法,對城市軌道交通建設(shè)具有重要的價(jià)值和意義。
HOWLETT等[4-5]用最大值原理證明了在直線道路上最佳駕駛策略是4種模式的組合,包括牽引、巡航、惰行和制動(dòng);MIYATAKE等[6]討論了再生制動(dòng)的列車節(jié)能策略,比較了梯度法、二次規(guī)劃法的優(yōu)劣。智能算法的迅速發(fā)展也為列車運(yùn)行優(yōu)化提供了更好的選擇方案,段玉瓊等[7]提出基于人工蜂群算法與操縱工況序列相結(jié)合的方法來優(yōu)化計(jì)算,確定高速列車操縱工況關(guān)鍵轉(zhuǎn)換點(diǎn)最優(yōu)位置和速度。與此同時(shí),李旭陽等[8]應(yīng)用“四階段”最優(yōu)運(yùn)行策略,以牽引能耗值和運(yùn)行時(shí)間誤差的權(quán)重作為目標(biāo)函數(shù),采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化;SHANG GUAN等[9]將時(shí)間和能耗作為2個(gè)優(yōu)化目標(biāo),混合差分和模擬退火2種進(jìn)化算法求解最優(yōu)運(yùn)行曲線。國內(nèi)外學(xué)者雖然都對列車駕駛策略和運(yùn)行曲線優(yōu)化進(jìn)行了深入研究,但在其選擇上還有一些不足。比如,駕駛策略通常采用長時(shí)間巡航運(yùn)行,以至在復(fù)雜路況下為保持勻速,列車需在“牽引-制動(dòng)”下反復(fù)切換,導(dǎo)致能耗過大;而常規(guī)處理多目標(biāo)問題的算法,通常是對多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行加權(quán)求和,將其轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題進(jìn)行處理,這可能導(dǎo)致最終結(jié)果波動(dòng)較大;同時(shí),為便于分析計(jì)算往往采用單質(zhì)點(diǎn)模型,不符合實(shí)際線路阻力變化情況。
綜上所述,針對單質(zhì)點(diǎn)和多質(zhì)點(diǎn)建模的區(qū)別,同時(shí)考慮惰行工況對列車牽引能耗的影響,設(shè)置不同的控制策略加以比較,以列車運(yùn)行時(shí)間和能耗作為優(yōu)化目標(biāo),采用基于自適應(yīng)網(wǎng)格的多目標(biāo)粒子群算法,并對慣性權(quán)重采用線性微分遞減法處理,獲得Pareto[10]最優(yōu)解集后,再結(jié)合模糊隸屬度函數(shù)篩選最優(yōu)方案,并與常規(guī)粒子群算法進(jìn)行對比。最后,采用北京某地鐵線路數(shù)據(jù)對算法進(jìn)行驗(yàn)證。
為簡化分析,通常將列車看成有質(zhì)量無長度的單質(zhì)點(diǎn)[11],而單質(zhì)點(diǎn)模型在經(jīng)過變坡點(diǎn)或變曲率點(diǎn)時(shí)列車所受附加阻力會(huì)發(fā)生突變,這與實(shí)際的附加阻力變化情況不符。因此,在單質(zhì)點(diǎn)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),將列車視為多個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)鏈,將每節(jié)車廂視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn),同時(shí)每節(jié)車廂之間為剛性連接[12],每節(jié)車廂的運(yùn)行狀態(tài)與整個(gè)列車的運(yùn)行狀態(tài)相同。
由于多質(zhì)點(diǎn)模型未忽略列車長度,故在實(shí)際線路中列車阻力變化情況與單質(zhì)點(diǎn)模型不同。列車所受附加阻力中,隧道附加阻力只與隧道長度有關(guān),模型影響不大,因此,主要分析不同模型下坡道及曲線附加阻力的變化情況。圖1分別給出列車在不同模型下附加阻力的變化,仿真時(shí)以列車前端作為參照點(diǎn)。
圖1 附加阻力變化
通過仿真結(jié)果可知,列車在經(jīng)過變坡點(diǎn)及變曲率點(diǎn)的過程,坡道和曲線附加阻力是一個(gè)逐漸變化的過程,與單質(zhì)點(diǎn)模型的突變相比多質(zhì)點(diǎn)模型更貼合實(shí)際,減少誤差。
對列車的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行受力分析,通過牛頓第二定律推導(dǎo),得出列車運(yùn)動(dòng)方程。
(1)
(2)
W(v)=(w1+w2+w3+w0)×G×M/1 000
(3)
w0=a+bv+cv2
(4)
式中,x為列車的位置;F牽為牽引力;B0為制動(dòng)力;W(v)為列車運(yùn)行阻力,w0為單位基本阻力,其中,a、b和c是與列車外觀和機(jī)械結(jié)構(gòu)相關(guān)的常數(shù),w1為單位坡道附加阻力,w2為單位曲線附加阻力,w3為單位隧道附加阻力;ηq為牽引力使用系數(shù);ηz為制動(dòng)力使用系數(shù);M為列車質(zhì)量;γ為回轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù);G為重力加速度,通常取9.8 m/s2。
列車優(yōu)化問題是研究列車在運(yùn)行過程中滿足運(yùn)行位移、限制速度、工況轉(zhuǎn)換等約束條件下,搜尋最佳工況切換點(diǎn)。通過優(yōu)化算法對建立的優(yōu)化模型進(jìn)行處理,獲得最優(yōu)的速度-距離曲線。
列車運(yùn)行狀態(tài)通常有4種:牽引,巡航,惰行,制動(dòng)。在此基礎(chǔ)上對牽引總能耗E和運(yùn)行時(shí)間T兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)建立關(guān)系式。
(5)
(6)
式中,s為兩站間的區(qū)間長度;x為列車運(yùn)行時(shí)的位置;δ為再生制動(dòng)反饋能量的效率。
在保證列車準(zhǔn)時(shí)性的同時(shí),力求降低列車運(yùn)行過程牽引能耗,將fE和fT作為評價(jià)指標(biāo)。
fE=E
(7)
fT=T
(8)
式中,E為列車在整個(gè)區(qū)間的牽引能耗;T為列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)間。
根據(jù)上述目標(biāo)方程和評價(jià)指標(biāo)公式,建立多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下。
目標(biāo)函數(shù)
F=min(fE,fT)
(9)
約束條件
(10)
式中,V0和Vd分別為列車起始速度及終止速度;Vlim為區(qū)間線路的限制速度;X為列車最終運(yùn)行位移,x為線路實(shí)際長度;T0為列車計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間。
傳統(tǒng)的ATO駕駛策略在牽引過程后,列車通常將進(jìn)入巡航工況,而在復(fù)雜的短距離路段中,長時(shí)間保持勻速會(huì)使得列車在牽引和制動(dòng)之間反復(fù)切換,損耗很大[13]。因此,用牽引和惰行工況來代替巡航工況可有效降低列車牽引能耗。如圖2所示,將駕駛策略分為未加入惰行、加入一次惰行及加入多次惰行3種控制策略。
圖2 列車控制策略
采用一種基于自適應(yīng)網(wǎng)格的多目標(biāo)粒子群算法(MOPSO based on adaptive grid algorithm,簡稱AGA-MOPSO)[14],將Pareto解集的概念引入到算法中,對每次迭代產(chǎn)生的Pareto最優(yōu)粒子進(jìn)行存檔[15]。與將多目標(biāo)加權(quán)求和轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的傳統(tǒng)粒子群算法相比,該算法無論是在可行解的多樣性及穩(wěn)定性上,還是最后的優(yōu)化效果上都更加出色。
算法求解的具體步驟如下。
(1)設(shè)置算法參數(shù)。種群數(shù)量M,外部存儲(chǔ)數(shù)量N,加速度常量C1和C2,慣性權(quán)重Wmax,Wmin及粒子的維度(即工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的個(gè)數(shù))。
(2)初始化粒子種群,包括粒子群的位置pop[i](列車運(yùn)行可能的工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)),速度V[i](工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)位置改變的量)。
(3)計(jì)算粒子目標(biāo)函數(shù)值,確定粒子個(gè)體最優(yōu)位置pbest[i]。構(gòu)建自適應(yīng)網(wǎng)格,通過Archive集中粒子的密度信息來選擇出全局最優(yōu)粒子gbest[i]。
(4)更新粒子群中粒子位置和速度公式。
V[i]=W×V[i]+rand( )×C1×(pbest[i]-
pop[i])+rand( )×C2×(gbest[i]-pop[i])
(11)
pop[i]=pop[i]+V[i]
(12)
式中,rand( )為范圍[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。
(5)計(jì)算各個(gè)粒子的評價(jià)指標(biāo),利用支配關(guān)系更新個(gè)體最優(yōu)粒子pbest[i]。
(6)對Archive集進(jìn)行更新,同時(shí)對Archive集進(jìn)行截?cái)?,保留N個(gè)最優(yōu)解。
(7)判斷是否滿足設(shè)定的迭代次數(shù),若否,則跳出程序,否則跳至第三步。若是,則結(jié)束迭代,輸出Archive解集。
3.1.1 自適應(yīng)網(wǎng)格的構(gòu)建
把目標(biāo)空間E-T(能耗-時(shí)間)以M×M的方式劃分為M2個(gè)網(wǎng)格,每個(gè)網(wǎng)格的長寬計(jì)算如下
(13)
(14)
式中,M為Archive解集在當(dāng)前迭代中解的個(gè)數(shù);maxEt,minEt分別為迭代t次時(shí)Archive解集中列車運(yùn)行能耗的最大和最小值;maxTt和minTt分別為迭代t次時(shí)列車運(yùn)行時(shí)間的最大和最小值。
統(tǒng)計(jì)每個(gè)網(wǎng)格中粒子數(shù)量,將一個(gè)網(wǎng)格內(nèi)解的個(gè)數(shù)作為粒子分布密度。圖3給出了網(wǎng)格構(gòu)建示意。
圖3 自適應(yīng)網(wǎng)格構(gòu)建
3.1.2 Archive集的截?cái)?/p>
為維持Archive集中解的數(shù)量,保證解分布的多樣性及算法的全局搜索能力,要對外部存檔進(jìn)行刪除。通過式(15)來計(jì)算粒子數(shù)量大于1的網(wǎng)格中要隨機(jī)刪除的粒子個(gè)數(shù)P。
(15)
式中,Int( )為取整函數(shù);A為Archive集中的粒子數(shù);N為要保留最優(yōu)解的個(gè)數(shù);Di為網(wǎng)格i的粒子個(gè)數(shù)。
慣性權(quán)重W的變化對算法搜索能力有很大影響。與傳統(tǒng)的線性遞減法相比,采用線性微分遞減法可以快速地收斂逼近于全局最優(yōu)值,提高運(yùn)算效率。W計(jì)算公式如下
(16)
式中,Wmax為慣性權(quán)重最大值;Wmin為慣性權(quán)重最小值;ta為總迭代次數(shù);t為當(dāng)前迭代次數(shù)。
采用模糊隸屬度函數(shù)[16]對得到的Pareto解集中的每個(gè)解進(jìn)行評價(jià),以此來選出所有解中的最優(yōu)方案。模糊隸屬度函數(shù)如下
(17)
(18)
式中,UE,UT分別為能耗和準(zhǔn)點(diǎn)誤差的隸屬度值;Emax和Emin分別為Pareto解集中能耗的最大、最小值;Ei為第i個(gè)解的能耗;T0為計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間;Ti為第i個(gè)解的運(yùn)行時(shí)間;Te為距離計(jì)劃時(shí)間的誤差。最優(yōu)駕駛方案為UE與UT的和為最小值所對應(yīng)的Pareto解。
為驗(yàn)證算法的有效性,以北京地鐵常用的B型列車為研究對象[17],選取北京某段地鐵線路進(jìn)行仿真研究。算法參數(shù)和線路基本參數(shù)分別如表1、表2所示,區(qū)間長2 810 m,最大坡度7‰,最大限速80 km/h,列車計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間為190 s,列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)間為180~200 s,誤差為±10 s。
表1 算法參數(shù)
將傳統(tǒng)PSO算法和AGA-MOPSO算法在相同駕駛策略下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。兩種算法獲得的解如圖4所示。其中,PSO算法通過加權(quán)求和,將其轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問題,獲得唯一最優(yōu)解;而AGA-MOPSO引入Pareto解原理,獲得一組由時(shí)間-能耗平衡的Pareto解集。
表2 線路參數(shù)
通過模糊隸屬度函數(shù)對Pareto解集中的所有解進(jìn)行評價(jià),選出最優(yōu)方案,如表3所示。與PSO相比,AGA-MOPSO獲得的最優(yōu)解在更加準(zhǔn)時(shí)的同時(shí)可節(jié)能達(dá)7.4%。
圖4 兩種算法的解
表3 最優(yōu)方案對比
分別將兩種算法獨(dú)立運(yùn)行20次,得到了每次優(yōu)化獲得的最優(yōu)解的時(shí)間-能耗,如圖5所示。
為比較兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度,采用平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及方差作為評價(jià)指標(biāo),分別對兩種算法下的時(shí)間誤差-能耗兩個(gè)變量進(jìn)行比較。
如表4所示,兩種算法時(shí)間誤差波動(dòng)范圍為2.12 s和2.76 s,相對于計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間190 s來說影響不大,因此,時(shí)間誤差波動(dòng)可忽略,主要對能耗變量的波動(dòng)進(jìn)行描述。其中,PSO算法得到的能耗波動(dòng)范圍為2.02 kW·h,平均值為13.89 kW·h,方差為0.497;與之相比AGA-MOPSO算法的能耗波動(dòng)范圍更小為1.40 kW·h,平均能耗為12.48 kW·h,方差為0.137。因此,AGA-MOPSO算法獲得的最終解波動(dòng)范圍更小,且更加穩(wěn)定。
圖5 算法穩(wěn)定性比較
表4 兩個(gè)變量評價(jià)指標(biāo)描述統(tǒng)計(jì)
綜上所述,對比兩種算法,AGA-MOPSO算法優(yōu)化得到最優(yōu)解的效果比PSO算法更好,更加準(zhǔn)時(shí)且能耗更小。同時(shí),無論是解的多樣性還是穩(wěn)定性等方面都優(yōu)于PSO算法。
針對未加入惰行、加入一次惰行以及加入多次惰行3種不同控制策略,在利用AGA-MOPSO算法獲得各自的Pareto解集后,采用上述模糊隸屬度函數(shù)篩選出最優(yōu)方案。表5為各種駕駛策略對應(yīng)的最優(yōu)駕駛方案。
表5 不同控制策略下對應(yīng)的最優(yōu)方案
3種控制策略的最優(yōu)方案所對應(yīng)的速度-距離曲線如圖6所示。
圖6 不同策略下優(yōu)化曲線
在滿足列車準(zhǔn)點(diǎn)要求的前提下,多次加入惰行的控制策略運(yùn)行時(shí)間為190.3 s,能耗12.47 kW·h為3種駕駛策略中耗能最低,與策略未加入惰行相比節(jié)能18.3%,與策略加入一次惰行相比節(jié)能13.2%。綜合以上仿真結(jié)果可以得出,策略加入多次惰行的節(jié)能準(zhǔn)點(diǎn)的優(yōu)化效果最好。
針對城市軌道交通中列車速度曲線優(yōu)化問題,建立了多質(zhì)點(diǎn)列車模型,設(shè)計(jì)以降低牽引能耗和提高列車準(zhǔn)點(diǎn)的多目標(biāo)優(yōu)化模型,采用AGA-MOPSO多目標(biāo)優(yōu)化算法對不同駕駛策略進(jìn)行優(yōu)化,生成一組能耗-時(shí)間Pareto解,且通過模糊隸屬度函數(shù)進(jìn)行篩選,獲得最優(yōu)運(yùn)行方案,得出以下結(jié)論。
(1)多質(zhì)點(diǎn)模型下附加阻力的變化更加符合實(shí)際情況,與單質(zhì)點(diǎn)模型相比減小了列車在變坡點(diǎn)和變曲率點(diǎn)的附加阻力誤差。
(2)對比傳統(tǒng)PSO算法處理多目標(biāo)問題,AGA-MOPSO多目標(biāo)優(yōu)化算法在解方案的多樣性上優(yōu)于PSO算法,優(yōu)化得到的最優(yōu)方案效果更好,在準(zhǔn)點(diǎn)誤差0.3s的同時(shí),節(jié)能可達(dá)7.4%。同時(shí),在最優(yōu)解穩(wěn)定性上也優(yōu)于PSO算法。
(3)對于3種不同的駕駛策略,采用模糊隸屬函數(shù)從Pareto解集中選出3種駕駛策略所對應(yīng)的最優(yōu)方案。對比可知,在滿足列車準(zhǔn)點(diǎn)的前提下,加入多次惰行控制的駕駛策略優(yōu)化效果更好。
本次優(yōu)化結(jié)果為地鐵列車運(yùn)行方案提供了一定思路,但只考慮了列車準(zhǔn)點(diǎn)以及能耗兩個(gè)目標(biāo)變量,下一步研究可考慮加入舒適度、電分相等其他因素。