GeoGebra 軟件在條件極值問題求解中的應(yīng)用舉例

路 云，褚鵬飛

（北京科技大學(xué)天津?qū)W院 天津 301830）

隨著信息技術(shù)的日益發(fā)展，越來越多的信息技術(shù)被應(yīng)用到課堂教學(xué)中，不斷優(yōu)化傳統(tǒng)的教學(xué)模式。GeoGebra數(shù)學(xué)軟件具有強(qiáng)大的繪圖、計(jì)算、演示功能，特別是它強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)化、交互式的演示功能有效地解決了許多教學(xué)中的難點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)是高校理工、經(jīng)管類學(xué)生必修的基礎(chǔ)課，理解并掌握高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)有利于當(dāng)代大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。GeoGebra 軟件是一款較容易學(xué)習(xí)和使用的動(dòng)態(tài)幾何軟件，對高等數(shù)學(xué)的可視化教學(xué)有很大的幫助。條件極值在生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)習(xí)并掌握條件極值及求解方法對學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)、提高解決實(shí)際問題的能力有著重要的作用。

1 常用方法舉例

1.1 代入消元法

代入消元法是微分學(xué)中求多元函數(shù)條件極值問題常用的方法之一。代入消元法思想是“化有約束為無約束”，即將約束條件通過一定的運(yùn)算轉(zhuǎn)化到目標(biāo)函數(shù)中，從而把條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題進(jìn)行求解。

例1 求在條件+=2下函數(shù)=的極大值。

解：由約束條件+=2解得：=2，將其代入函數(shù)=中，

得：=2=2——無條件極值問題

對上式求導(dǎo)并令=2 2=0，得到一個(gè)可疑極值點(diǎn)為（1，1），

代入=得到函數(shù)的極大值是1。

求出極值的可疑極值點(diǎn)只有一個(gè)，由所學(xué)知識(shí)可知唯一的可疑點(diǎn)極值就是所求極大值的點(diǎn)的坐標(biāo)。在學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)生可以應(yīng)用所學(xué)知識(shí)求出其解，但是對于唯一的可疑極值點(diǎn)不需要判斷就可以認(rèn)定為極大值點(diǎn)是存在質(zhì)疑的。為此，我們應(yīng)用GeoGebra 數(shù)學(xué)軟件給學(xué)生演示出求解過程，從直觀上給學(xué)生答疑解惑，幫助學(xué)生更好地理解、掌握和認(rèn)同相關(guān)知識(shí)（見圖1）。

圖1 z=xy的極大值

例1 中將附加條件+=2代入函數(shù)=中求最大值，實(shí)質(zhì)是求平面+=2與雙曲線=交線的最大值。由圖1 可以直觀地看到其交線是一條開口向下的拋物線，此拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)頂點(diǎn)就是所求的最大值點(diǎn)。因此，我們通過應(yīng)用GeoGebra 數(shù)學(xué)軟件給學(xué)生直觀地演示出求解的幾何過程，從而用具體的實(shí)例解決了學(xué)生的疑惑，幫助學(xué)生更好地理解和掌握如何求解最值問題的方法和步驟。

例2 求在條件+=1下函數(shù)=2（+）的極值。

解：方法一：由條件+=1解得=1，將其代入函數(shù)=2+中，得：=2 1+——無條件極值問題

方法二：由條件+=1解得=1，將其代入函數(shù)=2+中，得=2+ 1=+1：——無條件極值問題

注意到在例2 中，同一個(gè)問題都是應(yīng)用代入消元法進(jìn)行的求解，得到的結(jié)果卻不一樣，第一種消元法只得到了極小值點(diǎn)，而第二種消元法既得到了極小值點(diǎn)也得到了極大值點(diǎn)，那如何判斷兩種方法的正確性呢？

我們可以通過GeoGebra 軟件繪制函數(shù)的幾何圖形來驗(yàn)證，我們繪制出旋轉(zhuǎn)拋物面=2+和拋物柱面+=1，找到兩個(gè)圖形所形成的交線（如圖2 所示）。

圖2 z=2 x2+y2 的極值

1.2 參數(shù)方程求解法

用代入消元法求解條件極值問題是有要求的，如果通過約束條件可以較容易地解出相應(yīng)變量的單值函數(shù)，那么將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題是可行的；如果通過約束條件不能解出單值函數(shù)而得到的是多值函數(shù)的話，這時(shí)用代入消元法就不可行了。但可以利用參數(shù)方程求解法將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，且計(jì)算簡單方便。

例3 求橢圓+4=4上到直線2+36=0距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖3 例3 所求的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)

1.3 拉格朗日乘數(shù)求解法

拉格朗日乘數(shù)法也是常用的一種把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值求多元函數(shù)極值的方法，此方法是通過引入輔助函數(shù)和輔助參數(shù)，把一個(gè)或多個(gè)約束條件加入目標(biāo)函數(shù)中，實(shí)現(xiàn)把條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題的目標(biāo)。此方法的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)條件極值問題通過其他方法轉(zhuǎn)化為無條件極值問題后卻無法求解、或當(dāng)問題中約束條件較多時(shí)，拉格朗日乘數(shù)法可以優(yōu)先選擇，并更便于使用、計(jì)算和求解。此方法的缺點(diǎn)是對函數(shù)的要求較嚴(yán)格，必須保證函數(shù)滿足連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)都存在的條件才可使用。

拉格朗日乘數(shù)法如何構(gòu)造輔助函數(shù)和輔助參數(shù)呢？以二元函數(shù)在一個(gè)條件下求極值的情況為例：要求函數(shù)=,在條件,=0下的極值問題，只需要通過構(gòu)造輔助函數(shù),=,+,，并使得所求點(diǎn)的坐標(biāo)滿足以下條件：

求駐點(diǎn)：對求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其都等于0，有：

圖4 例4 的最長距離和最短距離

例5 求雙曲線=3上離原點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo)。

求駐點(diǎn)：對求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其都等于0，有：

圖5 例5 的最短距離

通過上述兩道例題的求解并用GeoGebra 數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行結(jié)果的驗(yàn)證，讓我們體會(huì)到了拉格朗日乘數(shù)法的思想，并學(xué)會(huì)了如何通過引入拉格朗日乘子將原來有約束條件的極值問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的方程組的問題。拉格朗日乘數(shù)法是將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題一種非常行之有效的方法，為解決相關(guān)極值問題帶來了非常大的便利。

2 結(jié)語

條件極值問題是高等數(shù)學(xué)中非常重要的部分，其知識(shí)點(diǎn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、生產(chǎn)與銷售等多個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。條件極值知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用具有方法靈活，綜合性強(qiáng)，對學(xué)生能力要求高等特點(diǎn)，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維與創(chuàng)造性思維的重要手段之一。

GeoGebra數(shù)學(xué)軟件易于操作，通過直接使用工具欄中的圖標(biāo)就可以完成常用幾何圖形的繪制；對于已經(jīng)繪制好的圖形，可直接在繪圖區(qū)域?qū)D形進(jìn)行修改。此外，可以繪制動(dòng)態(tài)圖形是GeoGebra 數(shù)學(xué)軟件的特色，通過插入滑動(dòng)條即可實(shí)現(xiàn)繪制圖形的動(dòng)畫展示。

因此，將GeoGebra 數(shù)學(xué)軟件引入條件極值問題的講解中，可以通過直觀的、動(dòng)態(tài)的圖形演示將晦澀的數(shù)學(xué)定理、抽象的數(shù)學(xué)定義等知識(shí)傳授給學(xué)生，不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的主動(dòng)性還增加了課堂教學(xué)的趣味性，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，開拓了學(xué)生的視野，從根本上提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念和高效的課堂教學(xué)。