考慮目標(biāo)同時(shí)實(shí)現(xiàn)和感知誤差的雙屬性用戶均衡模型

孔明珠紀(jì)翔峰

(青島大學(xué)商學(xué)院管理科學(xué)與工程系,青島 266067)

經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展促使城市汽車保有量大幅提升,加劇了城市交通運(yùn)輸壓力,城市交通擁堵問題成為當(dāng)前城市發(fā)展亟需解決的難題。通過增加道路供給緩解交通擁堵不僅收效甚微,還會耗費(fèi)大量人力物力,不符合中國集約發(fā)展新要求。為此,通過充分研究交通運(yùn)輸系統(tǒng)中出行者的路徑選擇行為,為交通部門制定相關(guān)政策提供理論依據(jù)以引導(dǎo)出行者的出行行為,從而減少城市交通擁堵。用戶均衡問題是交通運(yùn)輸系統(tǒng)研究中的經(jīng)典問題,其傳統(tǒng)原則是任何出行者均不能通過單方面改變出行路徑來減少出行時(shí)間,此時(shí)即達(dá)到用戶均衡[1],即出行者在均衡時(shí)總會選擇出行時(shí)間最小的路徑。但該原則存在一些不符合實(shí)際的假設(shè),如假設(shè)出行者的路徑選擇行為僅受出行時(shí)間影響,但研究發(fā)現(xiàn)出行者路徑選擇行為還受出行時(shí)間波動性、出行成本等多屬性影響[2-4];該原則假設(shè)出行者充分了解交通網(wǎng)絡(luò)的各種信息,而現(xiàn)實(shí)中出行者受交通網(wǎng)絡(luò)不確定性影響,難以獲取完整且充分的信息[5]。用戶均衡模型通過引入多屬性分析,如出行時(shí)間和出行成本[6]、出行時(shí)間可靠性[7]、出行時(shí)間不可靠性[8]等,使假設(shè)更符合實(shí)際。感知誤差的早期研究發(fā)現(xiàn)出行者存在感知誤差,確定性的出行時(shí)間和出行成本會變?yōu)殡S機(jī)值,由此提出感知誤差初始形式[9];后續(xù)研究側(cè)重分析可加形式的感知誤差建模[10]和乘積形式的感知誤差建模[11]。綜上,本文考慮出行者受雙屬性(即出行時(shí)間和出行成本)影響,構(gòu)建用戶均衡模型,采用連續(xù)平均算法求解,通過算例驗(yàn)證分析出行者的路徑選擇行為產(chǎn)生的長期影響。

1 雙屬性路徑效用模型

對于某一路徑,假設(shè)T表示出行時(shí)間,C表示出行成本,εt表示出行時(shí)間的感知誤差,εc表示出行成本的感知誤差,感知出行時(shí)間可表示為,感知出行成本可表示為。考慮到感知出行時(shí)間和感知出行成本的相互影響,可知間存在隨機(jī)相關(guān)性。給定感知出行時(shí)間的可能結(jié)果t和感知出行成本的可能結(jié)果c,同時(shí)基于目標(biāo)導(dǎo)向型分析方法[12-13],用γt表示出行時(shí)間的目標(biāo),γc表示出行成本的目標(biāo),則效用函數(shù)為

當(dāng)I＝1時(shí),表示兩個(gè)目標(biāo)同時(shí)實(shí)現(xiàn),即出行者希望出行時(shí)間的目標(biāo)和出行成本的目標(biāo)能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)。此時(shí),出行者會獲得效用且假設(shè)該效用為1;否則,出行者未獲得效用,設(shè)為0。鑒于感知出行時(shí)間和感知出行成本的結(jié)果均為隨機(jī)值,則出行者的路徑效用為

其中,P()表示聯(lián)合概率,表示出行時(shí)間目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)概率(Target Achievement Probability of travel time,TAPt),表示出行成本目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)概率(Target Achievement Probability of travel cost,TAPc)。

高斯(Copula)函數(shù)用于表示不同因素間的相關(guān)關(guān)系,已廣泛用于交通運(yùn)輸相關(guān)研究[12,14-15]。本文利用Copula函數(shù)刻畫感知出行時(shí)間和感知出行成本間的隨機(jī)相關(guān)性,計(jì)算其聯(lián)合概率

其中,u1表示感知出行時(shí)間達(dá)到目標(biāo)的概率,即;u2表示感知出行成本達(dá)到目標(biāo)的概率,即;ρu1u2表示感知出行時(shí)間和感知出行成本之間的Pearson相關(guān)系數(shù),且ρu1u2∈[－1,1] 。若ρu1u2＞0則意味著兩者之間為正相關(guān),即感知出行時(shí)間的增加(減少)會導(dǎo)致感知出行成本的增加(減少);若ρu1u2＜0則意味著兩者之間為負(fù)相關(guān),即感知出行時(shí)間的增加(減少)會導(dǎo)致感知出行成本的減少(增加);若ρu1u2＝0則表明兩者之間不存在相關(guān)關(guān)系。

2 雙屬性用戶均衡分析

2.1 符號表示

假設(shè)一個(gè)具有多起點(diǎn)和多終點(diǎn)的交通網(wǎng)絡(luò)G(N,A),其中N為節(jié)點(diǎn)集合,A為連接各個(gè)節(jié)點(diǎn)的路段集合,R為起點(diǎn)集合,S為終點(diǎn)集合。對于起點(diǎn)r∈R和終點(diǎn)s∈S(即OD 對rs)有以下定義,q rs表示OD對rs間的交通需求,P rs表示OD 對rs間的所有路徑,表示路徑p∈P rs上的流量。表示路段和路徑的關(guān)聯(lián)矩陣。若路徑p包含路段a,則,若路徑p不包含路段a,則。對路段a∈A,T a表示路段a的出行時(shí)間,V a表示路段a的流量,C a表示收費(fèi)交通網(wǎng)絡(luò)中路段a的擁堵收費(fèi),即路段a的出行成本?；谏鲜龇柡投x,可得

式(4)表示OD 對的出行需求等于所有連接該OD 對的路徑流量之和;式(5)表示路段a上的流量等于包含該路段的所有路徑流量的總和;式(6)表示路徑流量皆為非負(fù)值。同時(shí)滿足上述不等式組的路徑流量稱為給定交通網(wǎng)絡(luò)的可行流量。

2.2 均衡條件

其中,上標(biāo)* 表示均衡狀態(tài)下的數(shù)值。上述均衡問題可表示為變分不等式問題VI(f,Ω),即找到一個(gè)向量f*∈Ω,使(f*)T(f－f*)≥0,f∈Ω成立,其中(f*)＝ω(f*)。本文模型中,出行者通過路徑選擇以實(shí)現(xiàn)出行效用最大化,故上式成立?；谧兎植坏仁脚c均衡條件相關(guān)關(guān)系研究成果[16-17],由于路徑效用是f的連續(xù)函數(shù)且集合Ω是緊致的、凸的,可知變分不等式存在解,即模型存在均衡解。

2.3 目標(biāo)設(shè)定

出行時(shí)間目標(biāo)值的設(shè)定遵循以下原則:出行起點(diǎn)和終點(diǎn)間存在多條路徑,首先設(shè)定OD 對間出行時(shí)間的目標(biāo),再設(shè)定OD 對間出行成本的目標(biāo)?？紤]出行者的目標(biāo)導(dǎo)向特性,出行者總希望以其置信水平實(shí)現(xiàn)該目標(biāo),故OD 對特定路徑p上出行時(shí)間的目標(biāo)可表示為機(jī)會約束問題,其中θ為出行者的置信水平。作為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的出行者,其置信水平一般較大[7],導(dǎo)致某些路徑上的出行時(shí)間目標(biāo)過于保守,即預(yù)留時(shí)間過長。假設(shè)出行者通過選擇最優(yōu)目標(biāo)以避免出行時(shí)間目標(biāo)過于保守,即,從而得到出行時(shí)間的目標(biāo)。采用相似思想,可得出行成本的目標(biāo)。

上述出行時(shí)間目標(biāo)設(shè)置中,路徑p上出行時(shí)間的目標(biāo)采用出行時(shí)間預(yù)算模型[17],該模型考慮了出行時(shí)間和出行時(shí)間可靠性,另將均值—超量出行時(shí)間模型[18]作為出行時(shí)間的目標(biāo)進(jìn)行對比,額外考慮了出行時(shí)間不可靠性,最終表示為,即出行時(shí)間預(yù)算的條件概率形式。

3 求解算法和數(shù)值實(shí)驗(yàn)

3.1 求解算法

采用路徑連續(xù)平均算法求解上述模型,該算法具有良好的收斂性[18]。

3.2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

采用圖1所示的交通網(wǎng)絡(luò)測試模型。該網(wǎng)絡(luò)共有3條路徑和5條路段,其中路徑1包含路段1和2;路徑2包含路徑1、3和5;路徑3包含路段4和5。OD 對(1,4)間的交通需求為1 500。測試中算法的最大迭代次數(shù)為106,收斂率ε0＝10－6,Pearson相關(guān)系數(shù)為0.7,出行者的置信水平為0.95。路段出行時(shí)間t a(v a)采用BPR 函數(shù)計(jì)算,其中表示自由流時(shí)間,C a表示路段通行能力。假設(shè)出行時(shí)間和出行成本的感知誤差均服從正態(tài)分布,分別為,則感知出行時(shí)間服從正態(tài)分布,感知出行成本服從正態(tài)分布。若測試中,且當(dāng)路徑出行時(shí)間服從正態(tài)分布時(shí),出行時(shí)間預(yù)算為T ＋Φ－1(α)σt,則均值—超量出行時(shí)間為從而得到出行時(shí)間的目標(biāo)(表1)。

表1 交通網(wǎng)絡(luò)測試數(shù)據(jù)

圖1 測試交通網(wǎng)絡(luò)

在模型中探討兩種出行時(shí)間目標(biāo)下的系統(tǒng)表現(xiàn),分別從均衡路徑流量分布和目標(biāo)實(shí)現(xiàn)概率兩方面對比分析(表2、表3)。當(dāng)考慮出行時(shí)間不可靠性時(shí),路徑1和路徑3上的效用增大,故流量會從路徑2轉(zhuǎn)移至路徑1和路徑3,即出行者會改變其路徑選擇。同時(shí),均衡TAPc不變,這是由于交通網(wǎng)絡(luò)上收費(fèi)是定值;均衡TAPt均增大,這是由于出行時(shí)間不可靠性的加入會導(dǎo)致出行時(shí)間目標(biāo)增大。此外,均衡TAPc最大的路徑上均衡TAPt一定最小,而均衡TAPt最大的路徑上均衡TAPc一定最小,且最大TAPt(或TAPc)為出行者的置信水平。上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明當(dāng)出行者意圖同時(shí)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)目標(biāo)時(shí),均衡路徑的效用會變小。

表2 測試結(jié)果(出行時(shí)間預(yù)算模式)

表3 測試結(jié)果(均值-超量出行時(shí)間模式)

4 結(jié)論

本文構(gòu)建用戶均衡模型討論出行者路徑選擇行為產(chǎn)生的長期影響。所提路徑選擇模型考慮了出行者感知誤差的存在和出行者的目標(biāo)導(dǎo)向特性,拓展了已有研究的范疇。通過對比研究出行者不同風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性對系統(tǒng)表現(xiàn)產(chǎn)生的影響,揭示了出行者目標(biāo)導(dǎo)向行為特征下的流量分布及目標(biāo)實(shí)現(xiàn)情況。出行時(shí)間目標(biāo)實(shí)現(xiàn)概率均衡值最大的路徑上,出行成本目標(biāo)實(shí)現(xiàn)概率均衡值最小;當(dāng)兩個(gè)目標(biāo)同時(shí)實(shí)現(xiàn)的概率增大時(shí),均衡路徑上的效用會變小,反之亦然。由于本文中交通網(wǎng)絡(luò)的擁堵收費(fèi)是給定的,今后可基于該研究結(jié)果探討最優(yōu)擁堵收費(fèi)問題。