參數(shù)不確定廣義離散時間系統(tǒng)的預見控制器設計

李 麗，張耀峰+,于 曉

(1.湖北經(jīng)濟學院 統(tǒng)計與數(shù)學學院，湖北 武漢 430205；2.湖北經(jīng)濟學院 湖北數(shù)據(jù)與分析中心，湖北 武漢 430205 )；3.山東建筑大學 理學院，山東 濟南 250101；

0 引言

從電網(wǎng)和電力系統(tǒng)[1]到機器人系統(tǒng)[2], 再到化學過程系統(tǒng)[3]，廣義系統(tǒng)因其良好的實際系統(tǒng)性能描述能力而被廣泛關注和應用。 控制學界已對廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制綜合問題進行了持續(xù)、深入的研究，并取得了豐富的研究成果[4-7]。 近年來, 預見控制作為一種利用目標值信號或干擾的未來信息來改善閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應的技術，被引入廣義系統(tǒng)研究中來[8-9]。

預見控制理論由Sheridan于1966年首次提出[10]， 并由KATAYAMA等[11-12]、 TOMIZUKA等[13]學者奠基開創(chuàng)。 此后, 學者對預見控制進行了大量研究[14-18]， 但這些研究中多數(shù)將預見控制器設計問題作為優(yōu)化問題, 其求解算法基于最優(yōu)控制理論, 并未考慮未知干擾和模型誤差情況下的魯棒性。 隨后, 預見控制的研究轉(zhuǎn)向了對魯棒控制理論如博弈論和魯棒LQ/H∞控制理論等, 并取得了一些研究成果[19-23]。 應當指出的是, 文獻[8-23]提出的最優(yōu)預見控制器的存在取決于Riccati方程是否有半正定解。 然而, 基于Riccati方程的方法不適用于參數(shù)不確定系統(tǒng)。 為了克服Riccati方程設計方法無法適用于參數(shù)不確定系統(tǒng)的困難, 文獻[24-27]利用差分方法和線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)技術來研究不確定系統(tǒng)的魯棒預見控制問題。

目前, 關于廣義系統(tǒng)的預見控制的研究主要集中在線性定常廣義系統(tǒng)。比如,文獻[28-30]研究了線性廣義系統(tǒng)的最優(yōu)預見控制問題；文獻[31]考慮了線性廣義多智能體系統(tǒng)的協(xié)同最優(yōu)預見跟蹤問題。需要指出的是,它們都是通過等價變換將廣義系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個正常系統(tǒng),并試圖基于最優(yōu)調(diào)節(jié)理論找到正定矩陣以滿足Riccati方程,從而給出預見控制器的增益矩陣。到目前為止,尚無研究考慮參數(shù)不確定廣義系統(tǒng)的魯棒預見控制問題。

針對以上不足, 本文考慮不確定廣義離散時間系統(tǒng)的輸出反饋預見控制器設計問題。 將經(jīng)典的差分運算方法擴展到不確定廣義系統(tǒng), 構建了包含預見信息的擴大誤差系統(tǒng), 并通過重新改寫輸出方程式、充分利用了可預見目標值信號, 然后基于相關的引理和LMI技巧，給出魯棒預見控制器的設計方法。本文創(chuàng)新之處有兩點：①與文獻[28-31]相比,考慮了更加一般化的廣義系統(tǒng)模型,且文中提出預見控制器設計方法也適用于文獻[28-31]；②在考慮輸出反饋時,本文對系統(tǒng)矩陣沒有給出任何的約束條件,允許系統(tǒng)的輸出矩陣帶有不確定性或者非滿秩, 從而得到保守性更低的結果。通過有預見控制和無預見數(shù)值仿真結果的對比,以及不同參數(shù)θ數(shù)值仿真的對比, 驗證了具有預見作用的魯棒輸出反饋控制律的優(yōu)越性。

本文使用記號如下:P<0表示P為對稱負定矩陣。符號*表示對稱位置中的轉(zhuǎn)置元素；rank(A)表示A的秩; det(A)表示A的行列式, degdet(sE-A)表示多項式;det(sE-A)的次數(shù)。 對于秩為r的M∈Rn×m，M⊥∈R(n-r)×n表示滿足M⊥M=0和M⊥M⊥T>0的矩陣。AT表示A的矩陣轉(zhuǎn)置,sym(A)意為A+AT。I表示適當維數(shù)的單位矩陣。

1 問題表述和基本假設

考慮如下不確定廣義離散時間系統(tǒng):

(1)

式中：x(k)∈Rn為狀態(tài)向量；u(k)∈Rm為輸入向量；A(θ)，B(θ)，C(θ)和D(θ)為適當維數(shù)的不確定矩陣；E為奇異矩陣且滿足rank(E)

對式(1)作如下假設:

A1: 假定不確定矩陣的形式為:

(2)

(3)

A2(1)A2是關于目標值信號可預見的假設,它是預見控制理論中常用的假設。表明有一段時間的未來信號是已知的,且預見步長內(nèi)的信息對改善系統(tǒng)性能作用明顯。: 設在當前時刻k， 目標值信號r(k)的MR步未來值r(k+1)，r(k+2)， …,r(k+MR)為已知，MR步之后認為它是常數(shù), 即

r(k+j)=r(k+MR),

j=MR+1,MR+2,MR+3,…。

其中MR為預見步長。

本文的目的是設計一個預見控制器，使得:

(1)輸出漸近跟蹤目標值信號, 即

(4)

其中e(k)=y(k)-r(k)。

(2)閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的, 對所有θ∈Θ。

對于系統(tǒng)Ex(k+1)=Ax(k)， 給出以下定義。

定義1[32]

(1)若det(zE-A)不全為零, 則(E,A)對是正則的。

(2)若deg(det(zE-A))=rank(E)， 則(E,A)對是因果的。

(3)若|λ(E,A)|<1， ?λ(E,A)∈{z|det(zE-A)=0}， 則奇異系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

定義2[32]

(1)若(E,A)對是正則的、因果的, 則奇異系統(tǒng)是正則的、因果的。

(2)若奇異系統(tǒng)是正則的、因果的和穩(wěn)定的, 則奇異系統(tǒng)是可容許的。

引理1[33]對于適當維數(shù)的矩陣F，R，S和N以及標量β， 如果式(5)成立, 則F+STRT+RS<0成立:

(5)

引理2若存在正定矩陣P(θ)，S(θ)T=S(θ)，G(θ)和H(θ)滿足以下LMI:

(6)

則不考慮輸入的式(1)是可容許的。

證明取ε=E，F(xiàn)=G(θ)，G=H(θ)，P=P(θ)， 根據(jù)文獻[32]的定理1, 可知式(6)能保證廣義離散時間系統(tǒng)(1)是魯棒容許的。

2 擴大誤差系統(tǒng)的推導

采用一階前向差分算子為：

Δx(k)=x(k+1)-x(k)。

(7)

由式(1)和式(7)可得出：

(8)

從A1可以看出, 不確定參數(shù)θ與時間變量無關。 因此, 如同文獻[30-31], 差分算子Δ對于原系統(tǒng)是線性的, 且預見控制理論中的經(jīng)典構造方法可以擴展到不確定廣義系統(tǒng)。

通過式(4)、式(7)和式(8)可得：

(9)

(10)

(11)

針對式(1), 本文采用一階前向差分算子(式(7)), 得到誤差系統(tǒng)式(9)，是預見控制器設計所需要的系統(tǒng)。 根據(jù)式(10)和式(11)可知誤差系統(tǒng)中不確定矩陣依然滿足式A1, 不確定參數(shù)向量依然是s維的。 若采用文獻[34-35]的差分方法, 構造出來的式(9)中的不確定參數(shù)θ為s2維。

令

(12)

根據(jù)A2和式(12), 可得：

xR(k+1)=ARxR(k)。

(13)

其中,

R[(MR+1)q]×[(MR+1)q]。

將式(9)和式(13)結合可得:

(14)

其中:

為了設計靜態(tài)輸出反饋預見控制器, 將式(14)的輸出方程式改寫為：

(15)

其中

改寫后的輸出方程帶有預見補償和誤差積分項, 可達到提高系統(tǒng)的跟蹤性能及消除靜態(tài)誤差的目的。

根據(jù)式(10)和式(11)得到：

(16)

(18)

(19)

3 靜態(tài)輸出反饋預見控制器設計

考慮如下形式的輸出反饋

Δu(k)=KZ(k),

(20)

其中K為待定的增益矩陣。

式(19)和式(20)的閉環(huán)系統(tǒng)表示為：

(21)

注意, 根據(jù)引理1和LMI技巧, 定理1給出輸出反饋預見控制器設計的方法。 與文獻[36-37]相比, 本文對系統(tǒng)的參數(shù)矩陣沒有任何的約束條件, 且允許輸出矩陣帶有不確定性, 降低了結果的保守性。

定理1給定參數(shù)β， 矩陣W和Q， 如果存在矩陣P(θ)>0，L，G(θ)，H(θ)和S(θ)=S(θ)T，U使得

(22)

其中, Ξ=-βU-βUT， 則式(21)是魯棒可容許的。

證明:重新改寫式(22)如下:

(23)

根據(jù)引理1，可知不等式(23)，可以保證

(24)

令K=LU-1， 式(24)等價于

上式等價于

式(22)含有不確定參數(shù)θ， 因此無法驗證。 下面將其轉(zhuǎn)化為不含不確定參數(shù)的LMI。

定理2給定參數(shù)β， 矩陣W和Q， 如果存在矩陣Pj>0，L，Gj，Hj，Sj(j∈{1,2,3,…,s})以及可逆矩陣U使得

Πii<0， (i∈{1,2,3,…,s})，

(25)

Πij+Πji<0， (i

(26)

則式(21)為魯棒可容許的, 增益矩陣為K=LU-1。 控制器為:

Δu(k)=KZ(k)=LU-1Z(k)。

(27)

在式(26)中,

(28)

(29)

若系統(tǒng)參數(shù)為已知, 則可以設計如下參數(shù)依賴的靜態(tài)輸出反饋

(30)

使式(19)的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定, 這里Ki為待定參數(shù)矩陣。

基于式(19)和式(30),有

(31)

推論1給定的參數(shù)β、矩陣W和Q， 如果存在矩陣P(θ)>0，L(θ)，G(θ)，H(θ)，S(θ)=S(θ)T， 可逆矩陣U(θ)和標量β， 使得

(32)

其中, Ξ(θ)=-βU(θ)-βU(θ)T， 則式(31)為魯棒可容許的。

證明證明過程與定理1類似, 將定理1中L和U由L(θ)和U(θ)代替,不再贅述。

推論2給定一個參數(shù)β和矩陣Q，W， 如果存在Pj>0，Uj，Lj，Gj，Hj，Sj(j=1,2,3,…,s)， 使得

(33)

(34)

則式(31)為魯棒漸近穩(wěn)定的, 并且控制器由下式給出：

(35)

在式(34)中

證明推論2的證明與定理2的證明相似, 不再贅述。

將增益矩陣分割為

(36)

按照式(36)中K的劃分得出:

(37)

根據(jù)對差分算子的定義, 即式(7), 在假設y(i)=0,u(i)=0,r(i)=0，(i<0)下, 可以得到：

(38)

式中：第1項表示積分作用；第2項表示輸出反饋控制作用；第3項表示基于未來目標值信息的預見反饋項。

4 數(shù)值仿真

在系統(tǒng)(1)中, 令

A(θ)=

這里s=2，有θ2=1-θ1， 其中θ1∈[0,1]。 因此, 在該示例中, 不確定性可以僅由一個參數(shù)θ1表示。

(1)不同θ1參數(shù)下, 有、無預見控制的對比

為了考慮當前預見控制器的魯棒性, 對θ1=0.1， 0.5和0.9進行仿真, 并取β=1， 矩陣Q=CZ1和W=CZ2， 預見步長MR=5。 根據(jù)定理2,使用MATLAB的LMI工具箱來確定矩陣變量， 獲得反饋增益矩陣。

0.028 54 -0.002 03 0.001 10 0.000 50],

假設目標值信號為：

(39)

系統(tǒng)的輸出和目標值信號(39)如圖1所示， 圖2和圖3分別表示跟蹤誤差和控制輸入。 從圖1～圖3可以看出, 不同的θ1參數(shù)下, 在預見控制作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的輸出都可以準確地跟蹤目標值信號。

為了將傳統(tǒng)的跟蹤控制與預見控制進行比較, 在預見步長為零(即MR=0)的情況下, 完成θ1=0.1， 0.5和0.9的數(shù)值仿真。 通過使用MATLAB的LMI工具箱, 輸出反饋增益矩陣K如下:

圖4給出了沒有預見作用的閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應, 圖5和圖6分別表示跟蹤誤差和控制輸入。 從圖1～圖6可以看到, 與沒有預見的情況相比, 預見控制器能使得調(diào)整時間更短, 軌跡跟蹤更快且跟蹤誤差更小。

圖1～圖6給出了不同參數(shù)θ1下, 預見跟蹤控制與跟蹤控制下的輸出響應的對比。可看出, 帶有預見作用的跟蹤控制明顯能改善閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能。

(2)不同預見步長下, 預見控制的對比

取β=0.8，θ1=1， 矩陣Q=CZ1和W=CZ1。 對目標值信號預見步數(shù)分別為MR=5、MR=2進行仿真。 根據(jù)定理2, 求解出不等式(25)、(26)中的矩陣變量L和U， 求解的預見控制增益矩陣如下:

當MR=5時, 得到

0.125 77 -0.014 73 -0.010 33 -0.001 71]。

當MR=2時, 有

θ1=1時，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應如圖7所示, 圖8和圖9分別顯示了跟蹤誤差與控制輸入。 從圖7～圖9可以看出, 增加目標值信號的預見步長可使得系統(tǒng)輸出更快地跟蹤目標值信號。

對θ1=0進行模擬。 令β=0.7， 矩陣Q=CZ2和W=CZ2；根據(jù)定理2, 獲得反饋增益矩陣。

當MR=5時,有

0.051 92 -0.010 56 -0.008 17 -0.000 66]。

當MR=2時, 有

圖10顯示了θ1=0的閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應, 圖11和圖12繪制了跟蹤誤差和控制輸入。 與沒有預見的情況相比, 本文提出的預見控制器使閉環(huán)系統(tǒng)獲得了更快的響應速度和更高的跟蹤精度。 模擬結果證明了目標值預見補償?shù)挠行浴?/p>

5 結束語

本文將文獻[9, 11]中的差分方法推廣到參數(shù)廣義系統(tǒng)中, 成功地構造了擴大誤差系統(tǒng)?；谝?和LMI技術, 給出預見控制器存在的條件及設計方法。 利用LMI理論來研究魯棒預見控制問題的方法完全可以推廣到其他定常的或時變的線性系統(tǒng)的預見控制問題中去。 實際上,θ是定常的, 即原系統(tǒng)是線性定常廣義系統(tǒng), 本文中結合擴大誤差系統(tǒng)方法及線性矩陣不等式技巧的設計方法也適用于文獻[28-31]。 通過比較具有預見作用和無預見的情況下閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)值仿真結果, 證明了預見控制理論在利用有限的未來信息來改善跟蹤性能方面的優(yōu)勢。下一步, 將深入研究廣義連續(xù)時間系統(tǒng)的預見控制問題。