在活動(dòng)中思考 在思考中體驗(yàn)
——以蘇科版八（上）“全等三角形”教學(xué)為例

■楊?？?/p>

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的源泉。學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升，本質(zhì)上取決于對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的深刻程度。“全等”是初中數(shù)學(xué)最為基礎(chǔ)的概念，也是核心的概念之一，是相似等概念的基礎(chǔ)。筆者在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，力求通過(guò)具體的教學(xué)活動(dòng)，借助圖形運(yùn)動(dòng)與演繹推理的有機(jī)結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中思考，在思考中體驗(yàn)，提升思維水平，更好地感受知識(shí)價(jià)值，獲得“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”等方面體驗(yàn)的同時(shí)，凸顯核心素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

（多媒體展示一些全等圖形的圖片。）

師：觀察這些圖片，找一找它們共同的特征。

生1：形狀一樣。

生2：它們一樣大。

生3：成軸對(duì)稱。

師：同學(xué)們很聰明！確實(shí)，它們的形狀和大小完全一樣。你能再舉出生活中的一些類似例子嗎？

（師生活動(dòng)，相互補(bǔ)充。）

設(shè)計(jì)意圖：借助現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)物的圖片，讓學(xué)生抽象出形狀、大小完全一樣的幾何圖形，在對(duì)周圍環(huán)境直接感知的基礎(chǔ)上生成新知識(shí)，建立形象直觀的數(shù)學(xué)概念模型。

二、動(dòng)手實(shí)踐，生成概念

1.在實(shí)踐活動(dòng)中，動(dòng)手感知全等三角形形狀、大小的“定”。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)趶?fù)寫(xiě)紙上畫(huà)個(gè)三角形。因?yàn)槲覀冇玫氖菑?fù)寫(xiě)紙，所以我們可得到兩個(gè)三角形。用剪刀剪下這兩個(gè)三角形，觀察它們有何關(guān)系？

（學(xué)生動(dòng)手操作，對(duì)比，交流。）

師：請(qǐng)用語(yǔ)言歸納這兩個(gè)三角形有何關(guān)系？

生4：它們大小相同，形狀一樣。

生5：兩個(gè)圖形能夠重合。

師：再操作看看，用一個(gè)更貼切的詞描述。

生（齊答）：是完全重合。

師：同學(xué)們太棒了！在數(shù)學(xué)中，我們把兩個(gè)完全重合的三角形叫作全等三角形（教師展示全等的△ABC與△DEF）。在數(shù)學(xué)里，用符號(hào)“≌”表示全等，△ABC與△DEF是全等三角形，就記作“△ABC≌△DEF”，讀作“△ABC全等于△DEF”。

2.在變化過(guò)程中，正確識(shí)別全等三角形對(duì)應(yīng)元素的“等”。

師：那么，同學(xué)們?cè)偌?xì)心觀察一下，全等的△ABC與△DEF各元素有何對(duì)應(yīng)關(guān)系？

（學(xué)生以小組為單位進(jìn)行觀察。）

生6：我發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合。

生7：我發(fā)現(xiàn)邊AB與邊DE，邊BC與邊EF，邊AC與邊DF重合。

生8：我發(fā)現(xiàn)∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F重合。

師：很好，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力都比較強(qiáng)。全等三角形有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們把對(duì)應(yīng)重合的頂點(diǎn)稱為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)相等的邊稱為對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)相等的角稱為對(duì)應(yīng)角。

師：由此，我們可以知道兩個(gè)三角形全等最顯著的特點(diǎn)。

生（齊答）：對(duì)應(yīng)相等。

師：太棒了！在數(shù)學(xué)中，為了清晰準(zhǔn)確表示這樣的對(duì)應(yīng)“等”，你認(rèn)為用“≌”符號(hào)書(shū)寫(xiě)時(shí)應(yīng)該注意什么？

生9：一一對(duì)應(yīng)，不能出錯(cuò)。

生10：對(duì)應(yīng)著寫(xiě)。

生11：點(diǎn)的對(duì)應(yīng)就是角的對(duì)應(yīng)，也就是邊的對(duì)應(yīng)，要對(duì)應(yīng)著寫(xiě)。

師：同學(xué)們講得太好了！是的，必須對(duì)應(yīng)著寫(xiě)，這樣能直接看出對(duì)應(yīng)相等的關(guān)系。這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系也體現(xiàn)了全等三角形對(duì)應(yīng)相等的“唯一性”。

師：“≌”是全等符號(hào)，“∽”表示形狀相同，“=”表示大小相等。利用全等符號(hào)，我們可以這樣寫(xiě)出幾何語(yǔ)言：

∵△ABC≌△DEF（已知），

∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）。

3.在互逆活動(dòng)中，對(duì)比理解全等三角形本質(zhì)特征的“動(dòng)”。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的素材，自己動(dòng)手進(jìn)行圖形的變換，并請(qǐng)思考三角形在平移、翻折、旋轉(zhuǎn)變換的前后是否全等？

生12：都是全等的。

生13：三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，位置變了，但形狀、大小沒(méi)變。

生14：三角形變換前后的圖形是全等的。

師：同學(xué)們能說(shuō)出它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角嗎？

（學(xué)生逐一回答。）

師：換一種思路，改變其中一個(gè)三角形的位置，怎么使它與另一個(gè)三角形重合？

生15：第一個(gè)圖經(jīng)過(guò)平移。

生16：第二個(gè)圖經(jīng)過(guò)翻折。

生17：第三個(gè)圖經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)。

師：非常好！通過(guò)這兩個(gè)互逆的活動(dòng)，大家應(yīng)該感受到了圖形的運(yùn)動(dòng)可以幫助我們認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)是課堂教學(xué)的重點(diǎn)。筆者設(shè)計(jì)了3 個(gè)層次的活動(dòng)，力求讓學(xué)生通過(guò)“畫(huà)、剪、比對(duì)”，經(jīng)歷動(dòng)手操作、觀察實(shí)驗(yàn)、歸納等探究過(guò)程，深刻理解全等三角形的概念。第一層次，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，直觀感知全等三角形形狀、大小的“定”，得到全等三角形的基本概念。第二層次，學(xué)生以小組為單位動(dòng)手比對(duì)，找出全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等的關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)和抽象思維能力，同時(shí)，教師規(guī)范幾何語(yǔ)言的呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間的互相轉(zhuǎn)化。第三層次，學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中體會(huì)三角形變換前后的“定”，會(huì)用圖形運(yùn)動(dòng)去認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形，從而提升合情推理和簡(jiǎn)單演繹推理的能力。

三、啟發(fā)嘗試，應(yīng)用概念

問(wèn)題1：如圖1，已知△OCA≌△OBD。你能找出對(duì)應(yīng)相等的量嗎？這兩個(gè)三角形通過(guò)什么樣的變換可以重合？

圖1

問(wèn)題2：如圖2，已知△ABN≌△ACM，若BM=10cm，則CN的長(zhǎng)為_(kāi)_____；若∠B=40°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)_____；若∠B=40°，∠MAC=80°，求∠ANB的度數(shù)。

圖2

問(wèn)題3：如圖3，若△EFG≌△NMH。

圖3

（1）FG與MH平行嗎？為什么？

（2）求證：EH=NG。

師生一起分析解答。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這組變式訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)全等三角形概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生初步運(yùn)用全等三角形概念、性質(zhì)解決問(wèn)題的能力。3 道題目隱含圖形的運(yùn)動(dòng)，滲透利用圖形運(yùn)動(dòng)解決幾何問(wèn)題的思想。通過(guò)變化兩個(gè)全等三角形的位置，將全等三角形的概念、性質(zhì)與相交線、平行線、三角形內(nèi)角和等知識(shí)相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生綜合解題的能力。

四、課堂小結(jié)，強(qiáng)化概念

教師利用思維導(dǎo)圖（圖略），逐行呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：利用思維導(dǎo)圖梳理所學(xué)內(nèi)容，圖文并茂地詮釋全等三角形概念的內(nèi)涵和外延。這樣歸納，學(xué)生易于接受，也易于對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行消化理解。

五、教學(xué)反思

1.正確理解基本概念教學(xué)的三維目標(biāo)。

概念教學(xué)之初，首要的是科學(xué)確定符合實(shí)際的三維目標(biāo)。三維目標(biāo)的三個(gè)維度相互交融，相互統(tǒng)一，都指向人的發(fā)展。所以，課堂教學(xué)首先關(guān)注的不是“學(xué)生要學(xué)什么”，而是“學(xué)完本節(jié)數(shù)學(xué)課，學(xué)生將獲得什么發(fā)展”?；诖耍诟拍罱虒W(xué)中，教師必須正確理解教學(xué)內(nèi)容，以數(shù)學(xué)知識(shí)和技能為載體，制定恰當(dāng)?shù)娜S教學(xué)目標(biāo)。全等三角形是最基本的全等圖形，對(duì)于其基本概念、性質(zhì)的教學(xué)，筆者設(shè)計(jì)了基于生活情境的探究活動(dòng)，制定了讓學(xué)生厘清全等意義的“知識(shí)與技能”目標(biāo)；引導(dǎo)學(xué)生邊做邊交流反思，制定了提升學(xué)生思維水平的“過(guò)程與方法”目標(biāo)；考慮積極的情感、態(tài)度，制定了從生活升華至數(shù)學(xué)的“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”目標(biāo)。這樣的三維目標(biāo)在課堂教學(xué)中發(fā)揮著真正的定向作用，效果躍然紙上。

2.注重設(shè)計(jì)基本概念教學(xué)的探究活動(dòng)。

章建躍博士說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)在根本上是玩概念的，只有圍繞數(shù)學(xué)概念的核心展開(kāi)教學(xué)，才能實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)”。筆者的理解，這里的“玩”就是數(shù)學(xué)概念教學(xué)中探究活動(dòng)的開(kāi)展。在教學(xué)中，教師開(kāi)展有效的探究活動(dòng)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，而好奇心恰恰是構(gòu)成核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。學(xué)生在探究活動(dòng)中獲得愉快的體驗(yàn)，好奇心得到滿足，培養(yǎng)了良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，激發(fā)了求知?jiǎng)恿?，自然就能引發(fā)學(xué)生大膽進(jìn)行探索活動(dòng)，深化對(duì)概念的理解。本節(jié)課的教學(xué)，盡管知識(shí)點(diǎn)不多，也不難，但要讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具體到抽象，從感性上升到理性，有效的探究活動(dòng)必不可少。教學(xué)一開(kāi)始，筆者帶領(lǐng)學(xué)生到生活中尋找全等圖形，不斷追問(wèn)：“全等圖形美不美？”“兩個(gè)三角形全等與位置有關(guān)嗎？”“全等三角形對(duì)應(yīng)元素之間有什么關(guān)系？”“怎樣運(yùn)動(dòng)來(lái)驗(yàn)證全等三角形的對(duì)應(yīng)相等？”“全等三角形能幫助我們解決什么問(wèn)題？”在一連串的追問(wèn)下，學(xué)生通過(guò)親手實(shí)踐，厘清了概念，消解了困惑，拓展了思維。

3.重視滲透基本概念教學(xué)的內(nèi)涵、外延。

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握程度會(huì)受到許多因素的影響。在教學(xué)中，筆者力求讓學(xué)生體驗(yàn)概念的形成過(guò)程，把概念放到相應(yīng)的概念體系中，追本溯源，了解它的來(lái)龍去脈，不僅要知道學(xué)習(xí)這個(gè)概念需要什么樣的基礎(chǔ)，還要知道它以后能干什么，從而形成結(jié)構(gòu)完整的概念體系。全等三角形的概念，是在前期學(xué)習(xí)了線段、角以及平行線的相關(guān)知識(shí)之后的內(nèi)容，而后續(xù)全等三角形的判定方法、相似三角形、四邊形的學(xué)習(xí)也是基于全等的概念展開(kāi)的，這些概念之間存在一定的邏輯關(guān)系。講解時(shí)，筆者有意識(shí)地借助圖形的運(yùn)動(dòng)去幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形，進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生對(duì)線段、角、平行線的知識(shí)，為學(xué)生接下來(lái)識(shí)別復(fù)雜圖形中的全等三角形以及四邊形、圓提供有效的指引。

總而言之，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，充分把握概念的本質(zhì)，回歸基本概念，積極創(chuàng)造條件，讓學(xué)生在做中學(xué)，在學(xué)中做，多種感官協(xié)調(diào)統(tǒng)一，滲透數(shù)學(xué)思想方法，是“雙減”背景下實(shí)施有效概念教學(xué)的根本途徑。