聲速不確定條件下的運(yùn)動(dòng)水下航行器自定位

賈天一, 高婧潔, 申曉紅, 劉宏偉

(1. 西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710071;2. 西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院, 陜西 西安 710072; 3. 長(zhǎng)安大學(xué)信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710064)

0 引 言

水下航行器的高精度自定位在導(dǎo)航、監(jiān)視、海底測(cè)繪、水下搜救等諸多應(yīng)用中具有至關(guān)重要的作用。一般情況下,航行器可通過自身裝備的慣性導(dǎo)航或航位推算系統(tǒng)使用慣性測(cè)量單元(inertial measurement unit, IMU)或多普勒速度儀(Doppler velocity logs, DVL)來估計(jì)航行器的位置。然而,這一類方法很難避免位置誤差的無(wú)限累積。由于這種累積誤差會(huì)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限制增長(zhǎng),如果長(zhǎng)期不采用其他技術(shù)進(jìn)行校正,定位誤差將繼續(xù)增大,導(dǎo)致定位性能隨著運(yùn)行時(shí)間的增長(zhǎng)而下降。因此,在一些水下長(zhǎng)時(shí)間的任務(wù)場(chǎng)景中,需要通過其他方法進(jìn)行位置校正。

一種方法是通過全球定位系統(tǒng)(global positioning systems, GPS)進(jìn)行位置校正。但是由于傳播介質(zhì)水對(duì)電磁波的強(qiáng)衰減作用,GPS的電磁波信號(hào)在水下只能傳播幾米的距離。進(jìn)而導(dǎo)致航行器必須上浮至水面附近才能接收到GPS信號(hào)。這種操作,尤其是在深海情況下,是非常耗能費(fèi)時(shí)的。另一種方法是利用水下聲學(xué)定位系統(tǒng),例如長(zhǎng)基線(long baseline, LBL)系統(tǒng)進(jìn)行航行器定位。這類系統(tǒng)通過測(cè)量航行器與已知位置應(yīng)答器之間的雙程傳播時(shí)間(two-way travel time, TWTT)來進(jìn)行定位,這種定位機(jī)制可以克服上述慣性導(dǎo)航定位方法的缺陷,能夠提供一個(gè)有界的、長(zhǎng)期的高精度定位。但同時(shí),該類方法的定位精度也會(huì)受到時(shí)間測(cè)量噪聲和水聲信號(hào)傳播速度不確定的影響。

針對(duì)運(yùn)動(dòng)水下航行器自定位的研究盡管已經(jīng)取得了許多進(jìn)展,但是為了簡(jiǎn)化研究,通常會(huì)忽略測(cè)量周期內(nèi)航行器運(yùn)動(dòng)帶來的影響。在測(cè)量周期內(nèi),由于水聲信號(hào)的長(zhǎng)傳播時(shí)延以及航行器的運(yùn)動(dòng)特性,造成航行器接收到來自不同應(yīng)答器回復(fù)信號(hào)的位置并不相同,并且航行器位置的變化與航行器運(yùn)動(dòng)速度和信號(hào)傳播時(shí)間有關(guān)?，F(xiàn)代的水下航行器往往具有高速行駛能力,在測(cè)量周期中忽略航行器的運(yùn)動(dòng)是導(dǎo)致其定位性能下降的主要因素之一。

已有研究驗(yàn)證了在定位中考慮航行器運(yùn)動(dòng)可有效提高定位性能。文獻(xiàn)[20]利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)構(gòu)造了一種組合導(dǎo)航算法,并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[21]提出了一種貝葉斯方法來補(bǔ)償航行器運(yùn)動(dòng)，以獲得更好的定位精度。文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[24]分別提出了運(yùn)動(dòng)航行器位置估計(jì)的近似解和修正解。但是包括上述方法在內(nèi)的傳統(tǒng)方法尚未考慮聲速不確定帶來的影響。

在水下環(huán)境中,聲速會(huì)隨著溫度、鹽度和深度的變化而變化。這意味著聲速既是時(shí)變的，也是空變的。因此,針對(duì)聲速的不確定性,一些研究者提出將聲速建模為未知的確定性常數(shù),即聲速完全未知,需要結(jié)合測(cè)量進(jìn)行估計(jì);還有一些研究者采用聲速剖面進(jìn)行建模,用于構(gòu)建聲速的空間特征。盡管聲速剖面只是關(guān)于深度的函數(shù),但該模型仍然很復(fù)雜。

針對(duì)水下復(fù)雜環(huán)境的聲速建模,本文假設(shè)在一個(gè)很短的測(cè)量周期內(nèi),聲速是與時(shí)間無(wú)關(guān)的未知常數(shù)。在每個(gè)測(cè)量周期內(nèi),可以獲得聲速的名義值(例如可采用水下航行器上裝備的聲速測(cè)量?jī)x獲得)。但是由于水下復(fù)雜環(huán)境因素和測(cè)量方法限制,獲得的名義聲速通常存在誤差,因此本文將聲速名義值建模為真實(shí)值的測(cè)量值,即測(cè)量的聲速受到了噪聲的污染。本文基于該假設(shè)研究聲速不確定條件下的運(yùn)動(dòng)航行器定位問題,利用加權(quán)最小二乘(weighted least squares, WLS)方法估計(jì)航行器位置，研究利用最大似然(maximum likelihood, ML)估計(jì)法將獲取的聲速更新為更準(zhǔn)確的值。

1 信號(hào)模型

圖1 運(yùn)動(dòng)航行器自定位場(chǎng)景Fig.1 Localization scenario of a moving vehicle

假設(shè)應(yīng)答器的反應(yīng)時(shí)間和信號(hào)處理時(shí)間可以忽略不計(jì),信號(hào)傳播時(shí)間的真實(shí)值可表示為

(1)

(2)

(3)

然而,測(cè)量航行器獲取的傳播時(shí)間會(huì)受到噪聲的污染,將獲取的個(gè)時(shí)間測(cè)量表示為向量形式

=[,,…,]=+Δ

(4)

前文已經(jīng)提到,如水下環(huán)境中，很難準(zhǔn)確測(cè)量聲速。由于受到溫、鹽、壓等因素的影響,聲速是時(shí)變空變的。因此,在定位中航行器不可能獲得聲速的真實(shí)值,獲取的只是聲速的單次測(cè)量值。本文將獲取聲速建模為關(guān)于真實(shí)值的觀測(cè):

=+Δ

(5)

2 基于WLS的目標(biāo)定位方法

2.1 第一步求解

對(duì)式(3)進(jìn)行變形,可以得到

(6)

將(-)移到等式左側(cè),兩邊同時(shí)平方后整理可得

(7)

(8)

式中:

(9)

(10)

式中:

式(10)的WLS解可以表示為

(11)

其中,加權(quán)矩陣可由下式計(jì)算得到:

(12)

需要注意的是，由于加權(quán)矩陣依賴于位置真實(shí)值,在計(jì)算時(shí)可首先將近似為單位陣,通過式(11)計(jì)算出一個(gè)初始值,然后更新后，再利用式(11)計(jì)算得到第一步的最終結(jié)果。

2.2 第二步求解

(13)

(14)

式中:

式(14)的WLS解可以表示為

(15)

其中,加權(quán)矩陣可由下式計(jì)算得到:

(16)

航行器位置的最終估計(jì)結(jié)果可由下式計(jì)算得到:

(17)

其中，符號(hào)函數(shù)sign為了保證最終估計(jì)的位置結(jié)果，正負(fù)號(hào)與第一步計(jì)算結(jié)果一致。

3 基于ML估計(jì)的聲速更新方法

上述基于WLS的定位方法只能求解目標(biāo)位置,事實(shí)上,可以聯(lián)合時(shí)間觀測(cè)和聲速觀測(cè)進(jìn)一步更新聲速。本節(jié)將利用ML估計(jì)法更新聲速。時(shí)間測(cè)量和聲速的聯(lián)合分布密度函數(shù)可寫為

(,)=(|)()

(18)

式中:表示時(shí)間測(cè)量的似然函數(shù);表示聲速的分布函數(shù)。對(duì)式(18)取對(duì)數(shù)后并忽略常數(shù)項(xiàng),可得

(19)

定義未知變量=[(),],對(duì)其進(jìn)行變形可得關(guān)于未知變量的目標(biāo)函數(shù):

(20)

對(duì)于式(20),可以采用Gauss-Newton迭代法求解,迭代公式可寫為

(21)

式中:

式(21)中的初始值可通過前文基于WLS的目標(biāo)定位方法以及聲速測(cè)量給出,即=[,]。

事實(shí)上,在ML估計(jì)法中,除了可以返回聲速估計(jì)外,也可以返回位置估計(jì)。該位置估計(jì)結(jié)果和WLS的估計(jì)結(jié)果幾乎不存在差異,并且根據(jù)大量仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,二者在小噪聲條件下均可以達(dá)到克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB)。另一方面,ML估計(jì)法也可以直接實(shí)現(xiàn)兩個(gè)參數(shù)的同時(shí)聯(lián)合估計(jì),但是ML估計(jì)受限于初始值的選取。本文利用WLS方法提供位置估計(jì),作為算法初始值,以獲得聲速的更新。

4 理論性能

理論性能主要包括理論定位精度和提出算法的復(fù)雜度分析。理論定位精度主要通過CRLB來描述,算法復(fù)雜度主要通過涉及的乘法運(yùn)算次數(shù)衡量。

4.1 CRLB

CRLB建立了無(wú)偏估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的下界。下面推導(dǎo)位置向量和聲速的CRLB。定義未知變量的CRLB矩陣為

(22)

代入式(19),并取期望可得

(23)

式中:

?()?的第列和??的第個(gè)元素為

對(duì)式(23)利用分塊矩陣求逆公式,可得目標(biāo)位置和聲速的CRLB分別為

(24)

4.2 算法復(fù)雜度

WLS方法的計(jì)算效率主要受到第一步中矩陣求逆的影響,其復(fù)雜度可近似表示為(),其中表示應(yīng)答器數(shù)目。ML估計(jì)法主要受到迭代次數(shù)和每次迭代中的求逆運(yùn)算影響,其復(fù)雜度可近似表示為((+1))。可以看出,ML估計(jì)法的復(fù)雜度較大,特別是當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí)。

5 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

仿真中,采用9個(gè)應(yīng)答器,其坐標(biāo)位置詳見表1。

表1 應(yīng)答器坐標(biāo)位置Table 1 Positions of transponders m

(25)

式中:()表示對(duì)真實(shí)值的估計(jì)量;表示蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)。除非特別說明,本文中一般取=5 000。在仿真中，對(duì)文獻(xiàn)[25]中的聯(lián)合(位置和聲速)估計(jì)法。文獻(xiàn)[23]中的運(yùn)動(dòng)航行器定位近似解以及文獻(xiàn)[24]中的運(yùn)動(dòng)航行器定位修正解的性能進(jìn)行了對(duì)比。

5.1 定位結(jié)果和分析

圖2 500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)定位結(jié)果分布圖Fig.2 The output distribution of different methods obtained from 500 Monte Carlo simulations

圖3給出了各個(gè)方法在距離測(cè)量方差增加時(shí)的定位性能。聲速標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置為=5 m/s,航行器運(yùn)動(dòng)速度為10 m/s?？梢钥闯?本文所提的方法,即基于WLS的目標(biāo)定位方法,在距離測(cè)量噪聲不大(小于10m)時(shí)都可以達(dá)到CRLB,而文獻(xiàn)中已有方法的性能均不理想,特別是在小噪聲時(shí),3種方法都不能達(dá)到CRLB。具體原因如下:文獻(xiàn)[25]中的聯(lián)合估計(jì)法,可以通過時(shí)間測(cè)量同時(shí)估計(jì)目標(biāo)位置和信號(hào)傳播速度(聲速)。但是該方法是基于靜態(tài)的定位情景提出來的,即在定位模型中忽略了航行器的運(yùn)動(dòng),從而導(dǎo)致面向運(yùn)動(dòng)航行器定位時(shí),定位精度不高。盡管文獻(xiàn)[23]的修正解和文獻(xiàn)[24]的近似解都是針對(duì)運(yùn)動(dòng)航行器的定位解,但是二者均未考慮聲速不確定性對(duì)求解方法的影響,因此定位性能較差。

圖3 距離測(cè)量方差對(duì)定位性能的影響Fig.3 Effect of range measurement variance to localization performance

圖4給出了聲速標(biāo)準(zhǔn)差增加時(shí),不同方法的定位性能,其中距離測(cè)量噪聲參數(shù)設(shè)置為=1 m,航行器運(yùn)動(dòng)速度為10 m/s?？傮w可以看出,本文所提方法在圖中所示的參數(shù)變化范圍內(nèi),都可以達(dá)到CRLB。而定位近似解和定位修正解由于在模型中沒有考慮聲速的不確定性,所以RMSE隨著聲速標(biāo)準(zhǔn)差的增大而明顯增大。當(dāng)聲速標(biāo)準(zhǔn)差接近于0時(shí),二者性能接近于本文所提方法的定位性能。聯(lián)合估計(jì)法將聲速視為未知量,其定位性能不會(huì)受到聲速標(biāo)準(zhǔn)差的影響。

圖4 聲速標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)定位性能的影響Fig.4 Effect of sound speed standard deviation to localization performance

圖5給出了航行器運(yùn)動(dòng)速度增加時(shí),不同方法的定位性能,其中距離測(cè)量噪聲參數(shù)設(shè)置為=1 m,聲速標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置為=5 m/s。同樣,本文所提方法在所示速度范圍內(nèi),均可達(dá)到CRLB。由于聯(lián)合估計(jì)法基于靜態(tài)定位情景,忽略了航行器的運(yùn)動(dòng),其定位性能主要受到航行運(yùn)動(dòng)速度的影響,且隨著運(yùn)動(dòng)速度的增大,定位性能下降。當(dāng)航行器運(yùn)動(dòng)速度接近于0時(shí),聯(lián)合估計(jì)方法的定位性能接近于本文所提方法的性能。由于定位近似解和定位修正解都是針對(duì)運(yùn)動(dòng)航行器的定位解,因此二者性能并未受到航行器運(yùn)動(dòng)速度變化的影響。

圖5 航行器運(yùn)動(dòng)速度對(duì)定位性能的影響Fig.5 Effect of vehicle motion speed to localization performance

5.2 聲速更新結(jié)果和分析

上述涉及的3種已有算法中,只有聯(lián)合估計(jì)法可以估計(jì)聲速。因此,本小節(jié)對(duì)比聯(lián)合估計(jì)法,研究本文所提基于ML估計(jì)的聲速更新性能。聲速仿真結(jié)果圖例中的“CRLB”表示本文第4節(jié)中推導(dǎo)的CRLB,而圖例中“聲速完全未知的CRLB”是在假設(shè)聲速完全未知的定位情景下,僅通過時(shí)延測(cè)量信息同時(shí)估計(jì)目標(biāo)位置和聲速時(shí),聲速所對(duì)應(yīng)的CRLB。

圖6給出了距離測(cè)量噪聲對(duì)聲速更新的影響,仿真參數(shù)設(shè)置與圖3相同?？梢钥闯?本文所提方法在所示噪聲方差變化范圍內(nèi)都可以達(dá)到CRLB,并且在噪聲不大(小于10m)時(shí),聲速更新的RMSE優(yōu)于原始聲速標(biāo)準(zhǔn)差(5 m/s)。而聯(lián)合估計(jì)法未能達(dá)到CRLB,但是其聲速估計(jì)性能在噪聲較小時(shí)保持恒定,在噪聲較大時(shí)接近于聲速未知時(shí)的CRLB。

圖6 距離測(cè)量方差對(duì)聲速更新的影響Fig.6 Effect of range measurement variance to sound speed update

圖7展示了聲速標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)聲速更新的影響,其仿真參數(shù)設(shè)置與圖4相同。聯(lián)合估計(jì)法的聲速估計(jì)性能未能達(dá)到CRLB,但性能維持恒定。本文所提方法的聲速估計(jì)性能受聲速標(biāo)準(zhǔn)差影響不明顯,特別是在聲速標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)較大時(shí),此時(shí)的性能接近于聲速未知時(shí)的CRLB。也就是說,在聲速標(biāo)準(zhǔn)差很大時(shí),相比于時(shí)間測(cè)量,由聲速測(cè)量獲得的信息幾乎可以忽略不計(jì),此時(shí)可將聲速視為未知量。

圖7 聲速標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)聲速更新的影響Fig.7 Effect of sound speed standard deviation to sound speed update

圖8展示了航行器運(yùn)動(dòng)速度對(duì)聲速更新的影響,其仿真參數(shù)設(shè)置與圖5相同。聯(lián)合估計(jì)法的速度估計(jì)主要受到航行運(yùn)動(dòng)速度的影響,且隨著運(yùn)動(dòng)速度的增大性能下降。當(dāng)航行器運(yùn)動(dòng)速度接近于0時(shí),聯(lián)合估計(jì)方法的性能接近于本文所提方法的速度估計(jì)性能。這一結(jié)論與圖5所得定位性能結(jié)論一致。

圖8 航行器運(yùn)動(dòng)速度對(duì)聲速更新的影響Fig.8 Effect of vehicle motion speed to sound speed update

6 結(jié) 論

本文針對(duì)聲速不確定條件下的運(yùn)動(dòng)水下航行器自定位問題,構(gòu)建了運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的時(shí)間測(cè)量定位模型,并對(duì)聲速不確定性建模。推導(dǎo)了基于WLS的目標(biāo)定位方法和基于ML的聲速更新方法。仿真結(jié)果驗(yàn)證了相比于文獻(xiàn)已有的聯(lián)合估計(jì)法、定位近似解和定位修正解,本文所提定位方法在各種仿真條件下性能突出,均能達(dá)到相應(yīng)的位置估計(jì)CRLB;而相比于聯(lián)合估計(jì)法給出的聲速估計(jì)結(jié)果,基于ML的聲速更新方法也能達(dá)到聲速估計(jì)的CRLB。綜上所述,本文所提方法提升了現(xiàn)有方法的定位性能。