含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器動(dòng)力學(xué)特性研究

朱冬梅，肖凱莉，劉海平

（北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083）

與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器相比，三參數(shù)隔振器在阻尼元件上串聯(lián)了輔助剛度元件，相當(dāng)于整個(gè)系統(tǒng)與基礎(chǔ)彈性連接.與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器相比，可以在抑制共振峰的同時(shí)顯著改善其高頻隔振效果.三參數(shù)隔振器最早由Ruzicka 等提出［1-2］.王杰等［3-4］針對(duì)三參數(shù)流體阻尼器模型提出一種確定模型阻尼系數(shù)的機(jī)械阻抗等效理論與測(cè)試方法.王超新等［5］給出三參數(shù)隔振系統(tǒng)最優(yōu)阻尼的設(shè)計(jì)方法，為后續(xù)微振動(dòng)減振平臺(tái)設(shè)計(jì)提供理論支持.

為了進(jìn)一步提升隔振器的減隔振效果，非線性隔振器受到研究人員持續(xù)廣泛的關(guān)注［6-9］.一些研究人員將負(fù)剛度元件引入隔振系統(tǒng)中，使其具備“高靜低動(dòng)”的力學(xué)特性［10-13］.Lorrain［11］將正負(fù)剛度并聯(lián)的低頻隔振原理用于隔振器和地震儀；Liu等［14］將歐拉壓桿作為一種負(fù)剛度元件與線性彈簧并聯(lián)安裝在隔振系統(tǒng)中；王保勵(lì)［15］利用水平彈簧連桿機(jī)構(gòu)提供負(fù)剛度，提出一種具備仿生特征的非線性低頻隔振器；劉彥琦等［16］利用兩組傾斜布置的彈簧和一根豎直彈簧分別實(shí)現(xiàn)隔振系統(tǒng)的負(fù)剛度和正剛度特性；董光旭等［17］利用磁性負(fù)剛度彈簧與機(jī)械彈簧的組合設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)超阻尼輸出；邢昭陽(yáng)等［18］以Voigt 型動(dòng)力吸振器為基礎(chǔ)提出一種將杠桿機(jī)構(gòu)應(yīng)用于含負(fù)剛度彈簧元件的動(dòng)力吸振器模型；Wang等［19］提出一種新型的負(fù)剛度放大阻尼器，并將其應(yīng)用到地震工程研究中.因此，引入負(fù)剛度元件成為提升隔振器減隔振性能的熱點(diǎn)研究方向之一.

除了負(fù)剛度元件可以提供非線性特性以外，一些具有特殊性能的結(jié)構(gòu)∕機(jī)構(gòu)由于其自身優(yōu)越的幾何非線性特性也被廣泛應(yīng)用到減隔振系統(tǒng)中，例如：X 形機(jī)構(gòu)［20-23］，薄片結(jié)構(gòu)等.Liu 等［24］充分利用X 形機(jī)構(gòu)的幾何非線性特性，將n層X(jué)形機(jī)構(gòu)與杠桿系統(tǒng)組合應(yīng)用到被動(dòng)隔振或者半主動(dòng)隔振中，實(shí)現(xiàn)較好的低頻寬帶隔振.受到自然界中動(dòng)物肢體形狀的啟發(fā)，Wu等［25］提出一種包含不同桿長(zhǎng)和不同線性剛度的仿生結(jié)構(gòu).Bian等［26］、Feng等［27］提出一系列基于X形機(jī)構(gòu)的非線性隔振器，研究表明，X 形機(jī)構(gòu)可以利用自身的幾何非線性特性對(duì)隔振系統(tǒng)的剛度和阻尼特性實(shí)現(xiàn)放大.Wang等［28］提出一種基于仿生學(xué)的垂直非對(duì)稱X 形隔振器，研究表明，此類非對(duì)稱布置結(jié)構(gòu)比對(duì)稱布置的結(jié)構(gòu)擁有更低的固有頻率和傳遞率.劉海平等［29］、Liu 等［30］基于傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器和X 形機(jī)構(gòu)在減隔振方面的優(yōu)良性能，提出一種含幾何非線性三參數(shù)隔振器模型.

在被動(dòng)振動(dòng)控制中，通過(guò)在隔振系統(tǒng)中增設(shè)質(zhì)量元件，可以有效降低系統(tǒng)固有頻率，并且改變系統(tǒng)原始的響應(yīng)特征，使原有質(zhì)量元件的共振轉(zhuǎn)變?yōu)楦郊淤|(zhì)量的共振，生成一個(gè)反共振頻率，從而改善系統(tǒng)的低頻隔振效果.

為了進(jìn)一步改善內(nèi)含X 形機(jī)構(gòu)非線性三參數(shù)隔振器在低頻段的減隔振效果，本文提出一種含中間質(zhì)量的改進(jìn)三參數(shù)隔振器，并建立其動(dòng)力學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上，利用諧波平衡法求解系統(tǒng)的頻響特性，通過(guò)四階龍格庫(kù)塔法和多體動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS 對(duì)系統(tǒng)解析解的正確性進(jìn)行驗(yàn)證.分析系統(tǒng)在不同質(zhì)量比條件下的功率流特性以及最大動(dòng)能，采用力傳遞率作為系統(tǒng)隔振性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，通過(guò)與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器和含X 形機(jī)構(gòu)非線性三參數(shù)隔振器進(jìn)行對(duì)比研究，討論了多頻寬帶穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下不同類型隔振器的減隔振效果.在此基礎(chǔ)上，針對(duì)該類隔振系統(tǒng)的多個(gè)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)開(kāi)展影響分析.最后，從動(dòng)力吸振器角度對(duì)X 形機(jī)構(gòu)非線性特征的影響展開(kāi)討論.相關(guān)工作可為新型隔振器設(shè)計(jì)奠定理論基礎(chǔ).

1 含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器模型

含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器模型如圖1 所示.其中，彈簧kv為主支撐彈性元件，ke為輔助支撐彈簧，附加質(zhì)量塊m和X 形機(jī)構(gòu)依次串聯(lián).X 形機(jī)構(gòu)由4 根長(zhǎng)度均為l的剛性桿鉸接組成，每根桿與水平軸的角度為θi，φ為剛性桿與水平軸的夾角變化量.阻尼元件c和剛度元件kh并聯(lián)并以鉸接方式與X形機(jī)構(gòu)相連.此外，F(xiàn)代表系統(tǒng)所受外部激勵(lì)力，y1和y2分別表示X 形機(jī)構(gòu)左右兩側(cè)活動(dòng)鉸接點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)生的位移，x1和x2分別代表質(zhì)量塊M和m的位移.

圖1 隔振系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of isolation system

為了方便比較，給出含幾何非線性三參數(shù)隔振器模型以及傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器的模型，分別如圖2和圖3 所示.其中，kv和ke表示系統(tǒng)的剛度；c和M分別代表系統(tǒng)的阻尼和質(zhì)量.以上4 個(gè)參數(shù)均與含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器相同.

圖2 含幾何非線性三參數(shù)隔振器模型Fig.2 Three-parameter isolator model with geometrical nonlinearity

圖3 傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of conventional three-parameter isolator

2 動(dòng)力學(xué)建模及計(jì)算驗(yàn)證

2.1 動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，建立隔振系統(tǒng)在力激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)微分方程：

由圖1可知，X形機(jī)構(gòu)內(nèi)部的幾何關(guān)系為：

假設(shè)系統(tǒng)所受外部激勵(lì)力F=F0cosωt，將式（2）中的幾何關(guān)系代入式（1），可得：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，定義以下兩個(gè)函數(shù)：

將函數(shù)f1(x2)和f2(x2)在x=0 處分別進(jìn)行三階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，可得：

其中，β0、β1、β2、β3、β4、β5的詳細(xì)表達(dá)式如下.

將式（6）代入式（3）并忽略高次項(xiàng)，可得：

引入以下無(wú)量綱參量：

ωn=τ=ωnt，ξ=，γ1=kh∕kv，γ2=ke∕kv，Ω=ω∕ωn，u1=x1∕l，u2=x2∕l，f0=μ=m∕M.τ為無(wú)量綱時(shí)間；γ1和γ2為剛度比；Ω為頻率比；u1和u2代表無(wú)量綱長(zhǎng)度；ξ為阻尼比；f0為無(wú)量綱激勵(lì)力；μ為質(zhì)量比.將以上無(wú)量綱參數(shù)代入式（7），可得：

此處，采用諧波平衡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行求解，設(shè)u1和u2穩(wěn)態(tài)解的形式為：

將式（9）代入式（8），略掉高次項(xiàng)，并假設(shè)一次諧波項(xiàng)系數(shù)相等，可得：

定義A、B、C、D4個(gè)參數(shù)：

則系統(tǒng)在力激勵(lì)條件下的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別表示為：

2.2 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

2.2.1 與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比

為了驗(yàn)證含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器所得解析解的正確性，利用四階龍格庫(kù)塔法給出系統(tǒng)的數(shù)值解并進(jìn)行驗(yàn)證.

為了便于對(duì)比，根據(jù)參考文獻(xiàn)［29］暫定kv=2 000 N∕m，l=0.1 m，M=1 kg，c=1 Ns∕m，γ1=kh/kv=0.05，γ2=ke/kv=3，θi=60°，μ=m∕M=4.

隔振系統(tǒng)質(zhì)量塊M的位移幅頻響應(yīng)如圖4 所示.同時(shí)，圖4 中還給出相應(yīng)模型的數(shù)值解.由圖4可見(jiàn)，該隔振系統(tǒng)的數(shù)值解和解析解結(jié)果基本吻合.

圖4 解析解與龍格庫(kù)塔法所得數(shù)值解對(duì)比Fig.4 Comparison between analytical solution and numerical solution solved by Runge-Kutta

2.2.2 與仿真計(jì)算結(jié)果對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所建模型及解析解的正確性，利用多體動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS 進(jìn)行仿真計(jì)算，所建模型如圖5所示.利用ADAMS 現(xiàn)有的鉸接桿模型建立四桿結(jié)構(gòu)，4 個(gè)鉸接桿兩兩鉸接，且在其內(nèi)部水平連接彈簧和阻尼單元，表征模型中的水平彈簧和阻尼；在四桿機(jī)構(gòu)頂部鉸接點(diǎn)與附加質(zhì)量塊鉸接，并在該質(zhì)量塊上添加垂向移動(dòng)副，在附加質(zhì)量塊與頂部矩形塊之間連接一個(gè)彈簧，表征模型中的垂向彈簧ke；頂部質(zhì)量塊與底部質(zhì)量塊用彈簧連接，表征模型中的彈簧kv.

圖5 隔振系統(tǒng)的3D模型Fig.5 3D model of the isolation system

本部分仿真模型參數(shù)與2.2.1 節(jié)相同.利用所建模型，在上端主質(zhì)量施加激勵(lì)幅值為1 N 的正弦激勵(lì)，計(jì)算得到質(zhì)量塊M在1～1 000 Hz 頻段內(nèi)，步長(zhǎng)為2 000 條件下的位移響應(yīng)，如圖6 所示.由圖6 可知，該隔振系統(tǒng)的解析結(jié)果與利用ADAMS 仿真計(jì)算所得結(jié)果基本一致.

圖6 解析解與ADAMA所得數(shù)值解對(duì)比Fig.6 Comparison between analytical solution and numerical solution solved by ADAMS

3 不同類型隔振器隔振特性對(duì)比分析

3.1 力傳遞率對(duì)比分析

用力傳遞率評(píng)價(jià)含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器的隔振性能，采用簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加方式，得到傳遞到基礎(chǔ)的力為：

傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器的力傳遞率Tf1和含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器的力傳遞率Tf2分別為：

另外，含X 形機(jī)構(gòu)非線性三參數(shù)隔振器的力傳遞率參見(jiàn)文獻(xiàn)［29］.

為了評(píng)價(jià)本文所提含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器的隔振效果，將該模型與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器（參見(jiàn)圖3）和非線性三參數(shù)隔振器（參見(jiàn)圖1）進(jìn)行對(duì)比，具體設(shè)計(jì)參數(shù)分別為kv=2 000 N∕m，l=0.1 m，M=1 kg，c=1 Ns∕m，γ1=kh/kv=0.05，γ2=ke/kv=3，θi=60°，μ=m∕M=4，3種隔振器中相同元件的參數(shù)相同.3種不同類型隔振器的力傳遞率計(jì)算結(jié)果如圖7 所示.圖7中，“M-M”表示含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器，“XM”表示非線性三參數(shù)隔振器，“R-M”表示傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器.

圖7 不同類型隔振器力傳遞率Fig.7 Force transmissibility for different isolators

由圖7 可知，與其他兩種隔振器不同，含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器可形成一個(gè)反共振頻率.當(dāng)激勵(lì)頻率等于反共振頻率時(shí)，含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器的隔振效果最好；當(dāng)激勵(lì)頻率處于反共振頻率附近時(shí)，含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器的隔振效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器和非線性三參數(shù)隔振器.因此，可通過(guò)調(diào)整隔振器的設(shè)計(jì)參數(shù)，使反共振頻率接近設(shè)備的振動(dòng)頻率，從而使隔振器最大限度地發(fā)揮減隔振效果.而且，受中間質(zhì)量影響，隔振系統(tǒng)諧振頻率向低頻移動(dòng).

另外，與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器相比，引入X 形機(jī)構(gòu)后非線性三參數(shù)隔振器的諧振振幅減小了8.64 dB，頻率比由1 增大到1.08，且在頻率比約4.6～19.4 頻段內(nèi)，含中間質(zhì)量隔振器的傳遞率與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器基本一致；在頻率比大于19.4的隔振頻段，含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器的力傳遞率較低，證明在高頻范圍含中間質(zhì)量隔振器的減隔振性能更優(yōu).

綜上，受中間質(zhì)量影響，三參數(shù)隔振器諧振頻率向低頻移動(dòng)，在原隔振系統(tǒng)諧振頻率附近的響應(yīng)幅值顯著減小，在高頻段減隔振性能得到提升.

3.2 時(shí)域特性對(duì)比分析

在工程實(shí)際中，系統(tǒng)所受的環(huán)境激勵(lì)一般為多頻寬帶激勵(lì)，為了研究含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器的振動(dòng)抑制效果，假設(shè)系統(tǒng)所受激勵(lì)頻率分別為22、34、42、52、63、71、85 rad·s-1.

圖8 給出含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器在多頻力激勵(lì)條件下的時(shí)域位移響應(yīng)曲線.由圖8 可知，在0～3 s 內(nèi)，傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器的最大位移響應(yīng)幅值為8.4×10-3m，非線性三參數(shù)隔振器的最大位移響應(yīng)幅值為5.3×10-3m，含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器的最大位移響應(yīng)幅值為1.3×10-3m.結(jié)合計(jì)算結(jié)果可知，與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器相比，含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器以及非線性三參數(shù)隔振器的隔振效果均有不同程度的提升.但是，含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器的減隔振效果最優(yōu).

圖8 主振系穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線Fig.8 Stability response curves of the main vibration system

4 含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器動(dòng)力學(xué)特性

4.1 不同質(zhì)量比對(duì)功率流與能量特性的影響

從系統(tǒng)內(nèi)部振動(dòng)能量分布情況出發(fā)，采用功率流方法評(píng)價(jià)隔振器對(duì)慣性質(zhì)量動(dòng)態(tài)響應(yīng)的控制效果.在進(jìn)行振動(dòng)功率流特性分析時(shí)，往往對(duì)該隔振系統(tǒng)單位時(shí)間內(nèi)的平均功率流進(jìn)行求解計(jì)算.對(duì)于本文提出的隔振系統(tǒng)，采用剛性基礎(chǔ)，在一個(gè)振動(dòng)周期T=2π∕Ω內(nèi)，系統(tǒng)的無(wú)量綱平均輸入功率與無(wú)量綱平均耗散功率相等.

系統(tǒng)的瞬時(shí)輸入功率為系統(tǒng)輸入的激勵(lì)與系統(tǒng)響應(yīng)的乘積，即

式中：Pin為系統(tǒng)的瞬時(shí)輸入功率；Pd為系統(tǒng)的瞬時(shí)耗散功率.系統(tǒng)在單位時(shí)間周期內(nèi)的無(wú)量綱平均輸入功率與無(wú)量綱平均耗散功率可以表示為分貝的形式：

將本文所提隔振系統(tǒng)中的質(zhì)量塊M在正弦諧波激勵(lì)下的最大動(dòng)能以分貝形式表示：

圖9和圖10分別為不同質(zhì)量比對(duì)應(yīng)的功率流曲線和最大動(dòng)能曲線.由圖9和圖10可以看出，改變質(zhì)量比，對(duì)隔振系統(tǒng)在高頻段及低頻段處的動(dòng)態(tài)特性無(wú)明顯影響；但隨著質(zhì)量比不斷增大，系統(tǒng)的功率流及最大動(dòng)能曲線對(duì)應(yīng)的兩個(gè)峰值均向低頻移動(dòng)；隨著質(zhì)量比增大，兩個(gè)峰值之間的低谷頻率不斷降低，兩峰之間的頻段逐漸變寬.

圖9 不同質(zhì)量比對(duì)應(yīng)的功率流曲線Fig.9 Power flow curves for different mass ratio

圖10 不同質(zhì)量比對(duì)應(yīng)的最大動(dòng)能曲線Fig.10 Maximum kinetic energy for different mass ratio

4.2 不同參數(shù)對(duì)力傳遞率影響分析

重點(diǎn)針對(duì)在隔振器中引入中間質(zhì)量后，阻尼比ζ、剛度比γ1和γ2、初始角度θi和質(zhì)量比μ對(duì)力傳遞率的影響進(jìn)行研究.初始設(shè)計(jì)參數(shù)與2.2.1節(jié)相同.

保持其他設(shè)計(jì)參數(shù)不變，選擇不同初始阻尼比ζ對(duì)應(yīng)系統(tǒng)力傳遞率，如圖11所示.由圖11可知，當(dāng)阻尼比ζ=0 時(shí)，在頻率比Ω=1.2 兩側(cè)出現(xiàn)新的諧振峰，且隨著阻尼比增大諧振幅值減??；受中間質(zhì)量影響，在頻率比Ω=0.9 附近，隔振系統(tǒng)的力傳遞率出現(xiàn)一低谷，且隨著阻尼比增大谷值增大；阻尼比增大，隔振系統(tǒng)的第2 個(gè)諧振峰的諧振頻率向低頻移動(dòng)且頻帶變寬.當(dāng)阻尼比大于0.84 時(shí)，隨著阻尼比繼續(xù)增大，系統(tǒng)由于引入中間質(zhì)量所產(chǎn)生的低谷逐漸消失.因此，阻尼比的最優(yōu)值為［0，0.84］.

圖11 不同阻尼比ζ對(duì)應(yīng)的力傳遞率Fig.11 Force transmissibility for different damping ζ

僅考慮剛度比γ1變化對(duì)隔振系統(tǒng)力傳遞率的影響，如圖12所示.由圖12可知，當(dāng)-1＜γ1＜0時(shí)，隔振系統(tǒng)中的水平彈簧呈現(xiàn)負(fù)剛度特征，此時(shí)系統(tǒng)的諧振峰對(duì)應(yīng)的頻率比Ω＞2 且僅呈現(xiàn)一個(gè)諧振峰；隨著剛度比增大且大于0 時(shí)，兩個(gè)諧振峰出現(xiàn)在頻率比Ω=1.6兩側(cè)，隨著剛度比增大峰值增大，且第2個(gè)諧振峰對(duì)應(yīng)的諧振頻率向高頻移動(dòng)，頻帶變窄；在頻率比Ω＜3 的高頻范圍，隔振系統(tǒng)的力傳遞率衰減特性良好.當(dāng)剛度比γ1為［0.01，0.08］時(shí)，系統(tǒng)的低谷頻率位于Ω=1 附近，且對(duì)應(yīng)位于低頻段的第1 個(gè)諧振峰值較小.因此，剛度比的最優(yōu)值為［0.01，0.08］.

圖12 不同剛度比γ1對(duì)應(yīng)的力傳遞率Fig.12 Force transmissibility for different stiffness ratio γ1

考慮剛度比γ2變化對(duì)隔振系統(tǒng)力傳遞率的影響，計(jì)算結(jié)果如圖13 所示.由圖13 可知，當(dāng)γ2=0 時(shí)，隔振系統(tǒng)力傳遞率僅呈現(xiàn)一個(gè)諧振峰且對(duì)應(yīng)的頻率比Ω＜1；隨著剛度比γ2增大，第1 個(gè)諧振峰對(duì)應(yīng)的頻率向低頻移動(dòng)，峰值逐漸降低；在頻率比Ω＞2附近出現(xiàn)另一個(gè)幅值較小的諧振峰，且該諧振峰的峰值增大，頻帶逐漸變寬，導(dǎo)致高頻段的力傳遞率衰減效果變差；隨著剛度比γ2增大，隔振系統(tǒng)受中間質(zhì)量反共振特征影響出現(xiàn)的谷值增大.剛度比γ2存在最優(yōu)值為［2，5］，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的低谷頻率處于Ω=1附近.

圖13 不同剛度比γ2對(duì)應(yīng)的力傳遞率Fig.13 Force transmissibility for different stiffness ratio γ2

圖14給出不同初始角度θi對(duì)應(yīng)隔振系統(tǒng)的力傳遞率.由圖14 可知，當(dāng)初始角度為［0°，45°］時(shí)，隔振系統(tǒng)的力傳遞率在頻率比Ω=1.2 的兩側(cè)呈現(xiàn)出新的諧振峰以及反共振特征引起的谷值；當(dāng)初始角度為［45°，75°］時(shí)，隨著初始角度增大，位于低頻段的第1個(gè)諧振峰對(duì)應(yīng)的頻率向高頻移動(dòng)，且原有的兩個(gè)諧振峰的峰值逐漸減??；當(dāng)初始角度大于75°時(shí)，隨著角度的進(jìn)一步增大，中間質(zhì)量引起的谷值減小，隔振系統(tǒng)僅呈現(xiàn)一個(gè)諧振峰且頻帶變寬，高頻范圍的力傳遞率衰減性能變差.因此，該初始角度的最優(yōu)值為［45°，75°］.

圖14 不同初始角度θi對(duì)應(yīng)的力傳遞率Fig.14 Force transmissibility for different initial angle θi

考慮隔振系統(tǒng)選擇不同質(zhì)量比μ對(duì)其力傳遞率的影響，如圖15所示.由圖15可知，當(dāng)質(zhì)量比μ＜0.25時(shí)，系統(tǒng)存在2 個(gè)諧振峰，第1 個(gè)諧振峰出現(xiàn)在Ω=1處；當(dāng)質(zhì)量比μ＞0.25 時(shí)，頻率比Ω=1 處的諧振峰逐漸減小并逐漸消失，僅保留Ω=1 的右側(cè)的第2 個(gè)諧振峰，峰值隨著質(zhì)量比的增大而增大.當(dāng)質(zhì)量比為［0.1，0.3］時(shí)，系統(tǒng)存在反共振特性，且2個(gè)諧振峰值較低.因此，質(zhì)量比也存在最優(yōu)值，為［0.1，0.3］.

圖15 不同質(zhì)量比μ對(duì)應(yīng)的力傳遞率Fig.15 Force transmissibility for different mass ratio μ

4.3 非線性特征及連接方式對(duì)主振系動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的影響

在建立理論模型中，相對(duì)于主振系，中間質(zhì)量及附屬元件可視為動(dòng)力吸振器.本節(jié)進(jìn)一步討論相比常規(guī)線性動(dòng)力吸振器，X 形機(jī)構(gòu)引入的非線性特征及連接方式的變化對(duì)主振系動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的影響.

為了便于對(duì)比，給出安裝線性動(dòng)力吸振器的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖16 所示，并研究其受外部激勵(lì)力F=F0cosωt時(shí)對(duì)應(yīng)主振系的頻響特性.其中，x1和x2分別為質(zhì)量塊M和m的振動(dòng)位移，kv和ke均為線性彈簧，以上所有參數(shù)均與2.2.1節(jié)相同.

圖16 安裝線性動(dòng)力吸振器系統(tǒng)模型Fig.16 System model with linear vibration dynamic absorber

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，安裝線性動(dòng)力吸振器系統(tǒng)受力激勵(lì)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

引入以下無(wú)量綱變量：

計(jì)算得到主振系的位移幅值x10為：

圖17 為不同模型對(duì)應(yīng)主振系的位移頻響曲線.其中，“M-M”表示含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器（參見(jiàn)圖2），“T-M”表示安裝線性動(dòng)力吸振器系統(tǒng)（參見(jiàn)圖16）.為了便于對(duì)比，分別給出未安裝動(dòng)力吸振器系統(tǒng)模型（w∕o VDA）和不考慮阻尼時(shí)對(duì)應(yīng)含中間質(zhì)量改進(jìn)三參數(shù)隔振器（M-M，c=0）的主振系位移頻響曲線.

圖17 主振系頻響曲線Fig.17 Frequency-response curves of the main vibration system

由圖17 可知，安裝動(dòng)力吸振器后線性系統(tǒng)諧振頻率附近峰值變?yōu)楣戎?，且在兩?cè)引入新的諧振峰；受X形機(jī)構(gòu)引入非線性特征影響，第1個(gè)諧振頻率高于線性吸振器且峰值降低；考慮阻尼影響，連接X(jué) 形機(jī)構(gòu)動(dòng)力吸振器引起的諧振峰值被進(jìn)一步降低；第2個(gè)諧振頻率對(duì)應(yīng)峰值受X 形機(jī)構(gòu)（不含阻尼）影響較小，與安裝線性動(dòng)力吸振器對(duì)應(yīng)頻響結(jié)果相近；當(dāng)考慮阻尼影響時(shí)，第2個(gè)諧振頻率對(duì)應(yīng)峰值得到有效抑制.除了上述諧振頻率附近頻段，在Ω＜0.2 的低頻范圍和Ω＞4的高頻范圍不同模型對(duì)應(yīng)頻響曲線一致.

5 結(jié)論

本文建立了含中間質(zhì)量的改進(jìn)三參數(shù)隔振器動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了相關(guān)動(dòng)力學(xué)特性研究，得到以下主要結(jié)論：

1）隨著質(zhì)量比不斷增大，系統(tǒng)的平均輸入功率流以及最大動(dòng)能特性對(duì)應(yīng)的兩個(gè)峰值以及兩峰之間的低谷向低頻移動(dòng)，且兩峰之間的頻段逐漸變寬.因此，增大質(zhì)量比可以有效改善系統(tǒng)的隔振性能.

2）頻域力傳遞率和時(shí)域位移響應(yīng)對(duì)比表明，中間質(zhì)量進(jìn)一步改善了非線性三參數(shù)隔振器的減隔振性能，含中間質(zhì)量的非線性三參數(shù)隔振器不僅可以改善系統(tǒng)的高頻隔振性能，而且可以充分利用其反共振特性，使得激勵(lì)頻率為某一固定范圍時(shí)的隔振性能顯著提高.

3）在非線性三參數(shù)隔振器中引入中間質(zhì)量，使隔振系統(tǒng)的固有頻率向低頻移動(dòng)且原隔振系統(tǒng)的諧振峰受反共振特征影響而得到極大衰減；受中間質(zhì)量影響，隔振系統(tǒng)各關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)的影響主要集中于低頻范圍，且存在最優(yōu)值.

4）將線性動(dòng)力吸振器與接地X 形機(jī)構(gòu)連接，受其非線性特征影響，第1 個(gè)諧振頻率被提高且峰值得到有效抑制.