突出本質(zhì) 發(fā)展量感
——《平行四邊形的面積》教學(xué)實踐與思考

文|林艷萍

【教學(xué)過程】

一、經(jīng)驗喚醒，回顧舊知

師：（出示長方形框架）誰會計算它的面積？

生：長方形的面積=長×寬，所以14×10=140（平方厘米）。

師：長方形的面積為什么用長×寬，誰還記得？

生1：有14 行，10 列。

生2：有14 個10。

生3：用1 平方厘米的小正方形去測量，長要擺14 個，寬要擺10 個。

師：（邊板書邊小結(jié)）剛剛這幾位同學(xué)都說得很好。他們讓我們想起來為了求面積，數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造了面積單位，有了面積單位我們就可以測量長方形的面積。

【設(shè)計意圖：回到知識的原點是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的重要手段。上課伊始，教師通過創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的問題“長方形的面積為什么用長×寬”，引發(fā)學(xué)生深度思考，喚醒學(xué)生對面積及面積測量（數(shù)格子）方法的記憶，為本節(jié)課研究平行四邊形面積的方法埋下伏筆?！?/p>

二、制造沖突，形成猜想

教師推動黑板上的長方形框架，將它變成一個平行四邊形。

師：請試著算出這個平行四邊形的面積。有困難的同學(xué)可以到前面找老師，看看有什么問題，老師幫助解決。

【設(shè)計意圖：由于長方形、正方形面積計算經(jīng)驗的負遷移，很多學(xué)生會想當(dāng)然地覺得平行四邊形的面積是鄰邊相乘，更多的學(xué)生會因為題目中只有鄰邊分別是14cm 和10cm 這兩個條件，而直接將這兩個數(shù)相乘。只有深入思考的同學(xué)才會發(fā)現(xiàn)這里條件是不足的，在這里，教師提供了非常規(guī)的問題。如果給學(xué)生“高”這個條件,出錯的學(xué)生會比較少。然而，實踐證明，讓學(xué)生經(jīng)歷由差錯走向正確，認知會更深刻?！?/p>

師：誰來說說你是怎么算的？為什么這么算？

生1：我是用14×10=140（平方厘米）。因為把它推回來就變成長方形，它的面積還是長×寬。

生2：我認為不可以這么算，這么算會改變面積。

師：現(xiàn)在問題的焦點是往下推面積到底變不變，如果面積變了，就不可能是14×10，討論一下。

大部分同學(xué)認為，這么一推，變矮了，面積會改變。

課件出示下圖：

師：面積單位可以測量長方形的面積，也可以測量平行四邊形的面積，我們現(xiàn)在就把它放在面積單位里。大家數(shù)一數(shù)。

生：我是這么數(shù)的，把左邊多出來的部分切下來平移到右邊，這樣平行四邊形就變成了長方形。所以平行四邊形的面積等于14×8=112（平方厘米）。

師：大家有什么疑問嗎？

生1：8 是哪來的呢？

生2：8 是長方形的寬，也就是平行四邊形的高。

師：也就是大家猜想平行四邊形的面積不是兩條鄰邊相乘，而是什么？

生：底乘高。

【設(shè)計意圖：這里的學(xué)習(xí)是充滿張力的，因為同一個平行四邊形，學(xué)生算出了140 平方厘米和112 平方厘米兩個結(jié)果，這對學(xué)生來說是很大的沖擊，讓他們將目光聚焦在轉(zhuǎn)化前后“面積是否改變”這一本質(zhì)特征上，回到“數(shù)格子”，學(xué)生最終形成“底乘高”的猜想?！?/p>

三、實踐操作，驗證猜想

師：現(xiàn)在大家有一個大膽的猜想：平行四邊形的面積=底×高。

師：是不是所有平行四邊形的面積都是底乘高？在你們的信封里有剪刀和平行四邊形, 我們一起來驗證。

課件出示操作要求：（如下圖）

學(xué)生動手驗證，匯報。（如下圖）

師：通過操作，我們發(fā)現(xiàn)只要沿著平行四邊形的高剪開，就可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：老師發(fā)現(xiàn)有一組同學(xué)沒辦法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，為什么？

生：因為他們沒有沿著平行四邊形的高剪。

師：為什么要沿著平行四邊形的高剪？不沿著高剪行嗎？

生：長方形有四個直角，平行四邊形的高和底垂直，不沿著高剪就沒辦法拼成長方形。

師：沿著這條高剪可以嗎？這條呢？

生：沿著平行四邊形的任何一條高剪都可以。

師：如果用S 表示平行四邊形的面積，a 表示平行四邊形的底，h 表示平行四邊形的高，它的面積計算公式可以怎么表示？

生：S=ah。

師：我們要知道平行四邊形的面積，必須知道什么條件？

生：底和高。

【設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開學(xué)生的動手操作，離不開同學(xué)之間的合作交流，更離不開學(xué)生自己的獨立思考。教師給學(xué)生準(zhǔn)備大小不一的平行四邊形，學(xué)生在經(jīng)歷、體驗、思考、分享的過程中，思維不斷拓展，最終將新知轉(zhuǎn)化成舊知，根據(jù)長方形的面積計算公式推導(dǎo)出了平行四邊形的面積計算公式?！?/p>

四、幾何直觀，反思論證

師：回到剛才的問題，為什么把平行四邊形框架這么一推，面積就變小了？

生：這么一推，底不變，高變短了，所以面積就變小了。

師：如果把平行四邊形推回長方形，會把平行四邊形的面積算多了，我們來看個視頻。老師在平行四邊形的框架里鋪滿了幸運星，我們一起來看會發(fā)生什么變化？

生：平行四邊形的底不變，高變長，面積就變大。里面就會空出來一塊。

師：現(xiàn)在這個框架已經(jīng)推成了長方形，想一想，老師如果再往下推，面積會怎么樣？為什么？

生1：如果再往下推，底不變，高變短了，平行四邊形的面積就變小了。

生2：推成長方形，面積最大。

師：現(xiàn)在把這個長方形拉回來，里面的幸運星會怎么樣？為什么？

生：底不變，高變短了，面積變小了，里面的幸運星會被擠出來。

師：這么一推，面積變小了，小了哪部分的面積？

【設(shè)計意圖：教學(xué)峰回路轉(zhuǎn)，回到一開始的矛盾沖突,讓學(xué)生直面這一沖突，并追究、深究為什么不能用“推”的方法進行轉(zhuǎn)化。借助直觀演示，從鋪滿幸運星的面積模型的動態(tài)變化中，學(xué)生再次回到知識的原點，借助“面積單位”（幸運星）的“平鋪”（面積的測量方法），結(jié)合圖形變換中量的變與不變來理解。】

五、即時練習(xí)，鞏固提升（略）

【課后思考】

一、追本溯源，突出本質(zhì)

課堂伊始，教師設(shè)計了兩個問題：一是面積是什么？二是長方形面積的計算公式是如何得到的？這兩個問題直擊“面積”及其測量的數(shù)學(xué)本質(zhì),為探究平行四邊形的面積提供了知識與方法的準(zhǔn)備。眾所周知，探究平行四邊形的面積至少需要以下兩個方面的認知準(zhǔn)備：一方面是要理解平行四邊形的面積“在哪里”；另一方面是要知道面積這個量是怎樣測量得到的。課前的兩個問題有效地喚醒了學(xué)生對面積這個量的意義表象，值得一提的是，用“一行的面積單位數(shù)”乘“行數(shù)”求面積的方法，實實在在為學(xué)生合理猜想平行四邊形的面積計算方法做好鋪墊。

二、聯(lián)結(jié)融通，形成結(jié)構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，整體地、系統(tǒng)地對教材和教學(xué)流程進行合理安排，把已經(jīng)學(xué)的、現(xiàn)在學(xué)的、未來學(xué)的知識或方法建立一個結(jié)構(gòu)性的聯(lián)系，以使其充分遵循學(xué)生的心理認知結(jié)構(gòu)和知識發(fā)生規(guī)律的教學(xué)觀念和方法。結(jié)構(gòu)化教學(xué)可以保留知識的本質(zhì)以及曾經(jīng)建立的知識關(guān)系，把抽象難懂的知識內(nèi)容變成具體且立體的知識體系，進而在學(xué)生腦海中形成一個完整的知識鏈。具體在本課中，教師把面積、面積單位、長方形和平行四邊形的面積計算方法等內(nèi)容串聯(lián)起來，這是知識的結(jié)構(gòu)化。長乘寬對應(yīng)底乘高，進而讓學(xué)生直觀感知長方形和平行四邊形面積的計算是“相互垂直的一組線段的乘積”，這是方法的結(jié)構(gòu)化。在知識與方法上幫助學(xué)生建構(gòu)結(jié)構(gòu)，同時為以后的面積計算學(xué)習(xí)埋下種子。

三、方法統(tǒng)整，提升能力

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“圖形度量的相關(guān)知識對于每個學(xué)生的學(xué)習(xí)和適應(yīng)未來的生活都是有用的，測量過程中蘊涵的方法和思想有助于學(xué)生提高分析問題和解決問題的能力?！倍攘渴菙?shù)學(xué)的本質(zhì)，也是人們認識數(shù)學(xué)，進而認識現(xiàn)實世界的工具。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》更是將“量感”作為一個新的核心概念加以強調(diào)。面積計算是圖形所包含的面積單位的個數(shù)，實質(zhì)是單位面積度量的結(jié)果。教學(xué)中，將二維平面做成的“面積尺”作為計量單位，通過數(shù)方格的方式測量面積。而后，更是將“割補”的方式作為一種快捷地“數(shù)單位”的方法。在不知不覺中將“割補”與“數(shù)單位”統(tǒng)一起來，讓學(xué)生在不同的方法中尋找并感受相同，其本質(zhì)是讓學(xué)生洞悉面積作為一個量，其本質(zhì)是面積單位個數(shù)，是計量的結(jié)果，也是計數(shù)的結(jié)果。

四、幾何直觀，發(fā)展量感

平行四邊形為什么不能用“推”的辦法轉(zhuǎn)化為長方形？將一個平行四邊形“推”成長方形時，面積真的變了嗎？是增加還是減少？增加與減少的部分在哪里？這些問題，學(xué)生的感覺都是模糊的。為此，教師設(shè)計了如下的環(huán)節(jié)：在平行四邊形框架里鋪滿幸運星，用視頻生動地展示了面積的動態(tài)變化過程，當(dāng)“推”成長方形時，多出了空間，說明面積變大了，當(dāng)長方形“推”回平行四邊形時，幸運星再次密鋪了圖形，繼續(xù)推，幸運星被擠出框架之外……幸運星將平行四邊形框架圍成的面積變化直觀地展示在學(xué)生的眼前。在這樣的過程中，學(xué)生對面積這個量的感覺具體了，且具有某種“畫面感”，這種“畫面感”是對面積最形象而真實的記憶與感覺，是量感。