一道數(shù)列競賽題的探源、求解與拓展*

山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué)(271400) 張志剛

1 題目呈現(xiàn)

本題考查數(shù)列不等式的證明,重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 試題設(shè)計(jì)簡潔清新,構(gòu)思精妙,解法靈活, 意涵細(xì)膩, 飽含數(shù)學(xué)思想, 凝聚命題專家的智慧.與高考試題相比,本題涉及知識點(diǎn)更多,思維跨度較大,呈現(xiàn)出更強(qiáng)的綜合性與選拔性.

2 題目探源

通過對題設(shè)條件和結(jié)論的比較發(fā)現(xiàn),本題與以下兩道高考試題同宗同源. 我們首先作簡要回顧,并嘗試從中捕獲解題靈感,觸發(fā)思維萌芽.

例1 (2012 年高考廣東卷理科第19 題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n ∈N*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

3 題目解答

4 拓展研究

數(shù)列是一類特殊的函數(shù),是數(shù)學(xué)重要的研究對象,是研究其他類型函數(shù)的基本工具,在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用,無論在高考還是競賽數(shù)學(xué)中都占有重要的地位. 而等差數(shù)列、等比數(shù)列是數(shù)列中兩類具有明確背景、可以給出精確的規(guī)律表達(dá)、在解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題中有重要應(yīng)用價(jià)值的數(shù)列. 很多復(fù)雜的數(shù)列問題往往需要轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題,如本文討論的數(shù)列不等式證明問題,解題的關(guān)鍵就是通過恰當(dāng)?shù)姆趴s技巧(如糖水不等式),將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列這一基本數(shù)列,再利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和,進(jìn)而證明不等式成立,問題錯(cuò)綜復(fù)雜,又妙趣橫生.