人造霍爾管中的基態(tài)手性流*

關(guān)欣 陳剛 潘婧 游秀芬 桂志國

1)(太原學(xué)院材料與化學(xué)工程系,太原 030032)

2)(山西大學(xué)激光光譜研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

3)(山西大學(xué)極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

4)(山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,光場調(diào)控及應(yīng)用中心,濟(jì)南 250358)

霍爾管是模擬量子霍爾效應(yīng)的重要模型,卻至今沒有在超導(dǎo)量子電路中實(shí)現(xiàn)過.超導(dǎo)量子電路是宏觀調(diào)控量子效應(yīng)的優(yōu)秀平臺.本文利用超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)的高度可調(diào)性,在超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中設(shè)計(jì)出了具有周期性邊界條件的三條超導(dǎo)比特鏈.之后利用交流微波對每個(gè)比特分別進(jìn)行驅(qū)動,構(gòu)造出人造霍爾管.人造霍爾管中的人造規(guī)范場可以通過選擇合適的微波相位來進(jìn)行獨(dú)立調(diào)控.發(fā)現(xiàn)了人造霍爾管中存在不同特征的手性流,分別為Meissner 流和不同面上的渦旋流.為了判別這些流的存在,定義了四個(gè)序參量,并在參數(shù)空間中畫出了不同流之間量子相變的完整相圖.最后,提出了制備人造霍爾管基態(tài)以及探測基態(tài)手性流的可行性實(shí)驗(yàn)方案.這一研究豐富了霍爾管的量子流,并且在已有的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中能夠很快實(shí)現(xiàn),為探索新的量子相提供了新的途徑.

1 引言

系統(tǒng)的不同幾何結(jié)構(gòu)總是會誘導(dǎo)出不同的物理特征.例如對于有磁場的兩鏈晶格系統(tǒng),如果粒子按照正方形兩兩正對耦合,晶格鏈上會出現(xiàn)手性流[1,2],當(dāng)改變耦合形式,使粒子之間交錯耦合形成Creutz ladder 時(shí),除了手性流,在晶格鏈的邊緣還會誘導(dǎo)出孤立的電子態(tài)[3,4].對于有磁場的三鏈晶格系統(tǒng),如果粒子按照正方形兩兩正對耦合,晶格鏈上會出現(xiàn)局域在鏈邊界的手性流[5,6],而粒子按照菱形結(jié)構(gòu)耦合時(shí),系統(tǒng)的能量會局域在兩條邊界鏈的菱形頂點(diǎn),形成著名的平帶結(jié)構(gòu)[7].值得強(qiáng)調(diào)的是,周期性邊界條件是鏈狀晶格的一個(gè)重要幾何結(jié)構(gòu),能夠誘導(dǎo)出豐富的物理現(xiàn)象,如周期性邊界條件會誘導(dǎo)霍爾晶格出現(xiàn)單粒子分?jǐn)?shù)能譜,也就是著名的Hofstadter 蝴蝶能譜[8]、環(huán)面幾何結(jié)構(gòu)的晶格中能夠?qū)崿F(xiàn)Laughlin 泵浦,用來刻畫量子化的霍爾電導(dǎo)[9-11].最近的冷原子實(shí)驗(yàn)在周期性邊界條件下,利用中性費(fèi)米子的三個(gè)自旋態(tài)實(shí)現(xiàn)了人造霍爾管,并通過淬火動力學(xué)測量了該系統(tǒng)的能帶,發(fā)現(xiàn)了能夠預(yù)測拓?fù)湎嘧兊哪軒ч]合點(diǎn)[12].作為模擬二維量子霍爾效應(yīng)的重要模型,霍爾管的實(shí)現(xiàn)引起了廣泛關(guān)注,如在霍爾管中實(shí)現(xiàn)可調(diào)磁通并利用這一磁通實(shí)現(xiàn)拓?fù)潆姾杀闷諿13]、刻畫出費(fèi)米子霍爾管的多體相圖并發(fā)現(xiàn)了拓?fù)浞瞧接沟拇判韵郲14].然而手性作為霍爾效應(yīng)中的重要物理特征,在霍爾管中并沒有進(jìn)行研究.本文就來探索這一問題.

另一方面,相比于光晶格和冷原子系統(tǒng),超導(dǎo)量子電路作為全固態(tài)器件,在擴(kuò)展性、集成性、調(diào)控性上都有更大的優(yōu)勢[15-18].近年來,基于超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)進(jìn)行量子模擬在很多領(lǐng)域都受到了廣泛關(guān)注,如動力學(xué)量子相變[19]、多體局域化[20]、磁性[21,22]、拓?fù)浯抛咏^緣體[23]、拓?fù)浒虢饘俨牧蟍24]、強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子行走[25]以及耗散穩(wěn)定的Mott 絕緣體[26]等.最近,中國科技大學(xué)的朱曉波團(tuán)隊(duì)[27]成功研制出了二維鏈狀的 62 比特可編程超導(dǎo)量子計(jì)算處理器,并完成了可編碼的量子行走.這一突破性的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了大尺寸耦合的超導(dǎo)量子比特,降低了尺寸效應(yīng)對觀測多體量子效應(yīng)的影響,為探索多體物理提供了新的途徑.另外,我們注意到,實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了超導(dǎo)比特的次近鄰耦合[28,29],因此對于一個(gè)三鏈的超導(dǎo)比特系統(tǒng),鏈間比特兩兩耦合就會實(shí)現(xiàn)一個(gè)具有周期性邊界條件的管狀結(jié)構(gòu).相比于光晶格冷原子實(shí)驗(yàn)中的人造維度,在真實(shí)空間中實(shí)現(xiàn)霍爾管更加容易調(diào)控和觀測.

本文提出了利用超導(dǎo)量子電路實(shí)現(xiàn)人造霍爾管的可行性實(shí)驗(yàn)方案,首先設(shè)計(jì)出具有周期性邊界條件的三鏈比特模型,然后用交流微波驅(qū)動每一個(gè)超導(dǎo)比特實(shí)現(xiàn)霍爾管所需要的人造規(guī)范場,值得強(qiáng)調(diào)的是,相比于光晶格冷原子,本文所設(shè)計(jì)的人造霍爾管具有獨(dú)立可調(diào)的人造規(guī)范場.接下來探索了人造霍爾管的基態(tài)手性流,發(fā)現(xiàn)了Meissner 流和不同面上的渦旋流及其量子相變,并且定義了四個(gè)序參量來判別這些流的存在及相變的發(fā)生.最后在參數(shù)空間中畫出了不同手性流之間量子相變的完整相圖.另外,提出了制備系統(tǒng)基態(tài)以及探測這些基態(tài)手性流的實(shí)驗(yàn)方案.本文的工作為在超導(dǎo)量子電路中探索量子霍爾效應(yīng)、量子流以及量子相變提供了新的途徑.

2 理論模型

如圖1 所示,本文用transmon 比特[30]設(shè)計(jì)了一個(gè)三鏈結(jié)構(gòu)的超導(dǎo)量子電路來實(shí)現(xiàn)人造霍爾管.沿著每條鏈,transmon 比特都與其最近鄰比特耦合.在每個(gè)元胞中,三條鏈上的比特之間兩兩耦合.這里,比特之間均通過電容進(jìn)行耦合.能夠看到,這個(gè)系統(tǒng)中不僅存在比特間的最近鄰耦合,還存在次近鄰耦合.超導(dǎo)比特系統(tǒng)中這種次近鄰的比特耦合在實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)[28,29].基于圖1(a)的超導(dǎo)電路,能夠?qū)懗鱿鄳?yīng)的拉氏量:

為了實(shí)現(xiàn)圖1(b)所示的人造霍爾管,我們利用交流微波對每個(gè)transmon 比特進(jìn)行驅(qū)動.實(shí)驗(yàn)上[32],每個(gè)微波驅(qū)動都可以通過磁通偏置線來實(shí)現(xiàn).如圖1(a)所示,transmon 比特的約瑟夫森結(jié)是由超導(dǎo)量子干涉儀(SQUID)形成的等效約瑟夫森結(jié).考慮SQUID 的兩個(gè)約瑟夫森結(jié)具有相同的能量則等效約瑟夫森能之后給每個(gè)比特外加一個(gè)磁通偏置Φνj(t),這時(shí)同一個(gè)SQUID 的兩個(gè)約瑟夫森結(jié)之間會產(chǎn)生Φνj(t)/?0的相位差,每個(gè)比特的勢能變?yōu)?/p>

其中,

3 基態(tài)手性流

手性是霍爾效應(yīng)中十分重要的物理特征.基于手性,Meissner 到渦旋流的相變[33-35]、相互作用誘導(dǎo)的動力學(xué)手性流[36]、手性自旋束[37]、光子分?jǐn)?shù)拓?fù)浣^緣體[38]、拓?fù)涑鱗39]以及拓?fù)涑瑢?dǎo)體[40]等物理現(xiàn)象都被觀測到.作為一個(gè)模擬整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的最小模型,霍爾管的手性是一個(gè)值得關(guān)注的問題.為了研究本文中人造霍爾管的手性,需要先給出流的概念和定義.首先,沿著A鏈、B鏈以及C鏈,第j和第j+1 個(gè)比特之間的流可以定義為

另外,還需要考慮沿著鏈之間的的流,A鏈和B鏈、B鏈和C鏈以及C鏈和A鏈上第j個(gè)比特之間的流可以定義為

基于以上流的定義,圖2 給出了在不同的參數(shù)下比特鏈上局域的基態(tài)手性流以及比特的基態(tài)態(tài)密度分布.從圖2 可以看到,這里一共有四種流,圖2(a)和圖2(b)中的流只在xy平面中,并且圖2(a)中為xy平面上的Meissner 流(下文簡稱xy-M),圖2(b)中為xy平面上的渦旋流(下文簡稱xy-V).圖2(c)中的流不僅在xy面上有渦旋流在xz面上也有渦旋流,本文稱其為雙面渦旋流(下文簡稱DV),圖2(d)中只有xz面上有渦旋流,xy面上沒有流(下文簡稱xz-V).由此可以看到,不同參數(shù)下,系統(tǒng)會出現(xiàn)不同的手性流,也就是說這里存在不同流之間的量子相變.接下來在參數(shù)空間中討論這一量子相變.

圖2 霍爾管上的流以及比特的態(tài)密度分布.箭頭的粗細(xì)表示流的強(qiáng)弱,紅色、藍(lán)色和黑色實(shí)心小球的大小分別表示A 鏈、B 鏈和C 鏈上比特態(tài)密度分布的多少.參數(shù)選擇分別為 (a)=1.1 和tCA=4.5;(b)=0.4 和tCA=1.8;(c)=4和tCA=4.4;(d)=2 和tCA=2 .這四個(gè)圖共同的參數(shù)是φ0=2π/3,并且所有參數(shù)均以 t0 為單位Fig.2.Currents and densities distributions on the Hall tube with (a)=1.1 and tCA=4.5;(b)=0.4 and tCA=1.8;(c)=4 and tCA=4.4;(d)=2 and tCA=2.The thicknesses of the arrow denote the currents strength.The size of the red,black,and blue filled circles indicate the densities on the A,B,and C legs respectively.Here t0 is used as the unit.The common parameter is φ0=2π/3.

首先,通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),B鏈上的流總是0,因此不再對B鏈上的流進(jìn)行討論.那么,為了進(jìn)一步分析流在參數(shù)空間中的變化,需定義幾個(gè)物理量,分別為

其中〈·〉G表示的是物理量的基態(tài)值.JC//表示的是系統(tǒng)處于基態(tài)時(shí),A鏈和C鏈上流的差值,因此JC//的值可以用來判斷xy平面中手性流的存在,當(dāng)JC//=0 時(shí),xy平面沒有手性流,反之JC//=0時(shí),xy平面內(nèi)有手性流.JAB,JBC,JCA分別表示系統(tǒng)處于基態(tài)時(shí),所有元胞中A鏈和B鏈間、B鏈和C鏈間、C鏈和A鏈間流的總和.它們的值可以用來判斷xz平面內(nèi)渦旋流的存在,即當(dāng)JAB,JBC,JCA不等于0 且具有相同的正負(fù)號時(shí),xz平面存在渦旋流,否則xz平面不存在渦旋流.另外,在JC//0的情況中,如果JCA=0,xy平面的手性流是Meissner 流,如果JCA0,xy平面的手性流是渦旋流.另外,通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),在整個(gè)參數(shù)空間中,JAB和JBC的值始 終相 等,并 且JAB和JBC以及JCA的正負(fù)號始終相同.綜上,把系統(tǒng)中四種流的判別條件總結(jié)在表1 中.

表1 不同手性流的判別Table 1.Discriminant of the chiral currents.

圖3 參數(shù)空間中的相圖 (a)JC//;(b)JCA;(c)JAB和JBC;(d)參數(shù)空間中 -tCA 不同的相.這四個(gè)圖共同的參數(shù)是φ0=2π/3,并且所有參數(shù)均以 t0 為單位Fig.3.Phase diagram of (a)JC//,(b)JCA,(c)JABand JBCas functions of and tCA .Different phases are indicated in (d).Here t0 is used as the unit.The common parameter is φ0=2π/3 .

綜上,本文在人造霍爾管中發(fā)現(xiàn)了xy-M相、xy-V相、xz-V相和DV相以及它們之間的相變.

在真實(shí)的實(shí)驗(yàn)中,往往無法將耦合強(qiáng)度的值調(diào)節(jié)到非常精確,考慮到這種情況的隨機(jī)影響,首先給出系統(tǒng)受到隨機(jī)影響的哈密頓量:

其中,δ ?tνj和δ ?tνν′j等于Wδ.W是隨機(jī)強(qiáng)度,δ∈[-0.5,0.5]是隨機(jī)數(shù).圖4 給出了考慮隨機(jī)影響后,xy-M 相(圖4(a))、xy-V相(圖4(b))、DV相(圖4(c))和xz-V相(圖4(d))中序參量JC//,JAB,JBC和JCA的值.從圖4 可以發(fā)現(xiàn),隨著 l gW的增加,這些序參量一開始變化很小,直到lgW＞-1時(shí),這些序參量才會發(fā)生大幅的增加或減小.這說明,在一定程度的隨機(jī)誤差下,序參量的值幾乎不會受到影響,圖3 中所展示的結(jié)果依然存在.

圖4 不同參數(shù)取值下序參 量 JC//,JAB,JBC和JCA隨 l g W的變化 (a)=1 和tCA=4;(b)=0.5 和tCA=2.5;(c)=2.5和tCA=3;(d)=2 和tCA=2 .這四個(gè)圖共同的參數(shù)是φ0=2π/3,并且所有參數(shù)均以 t0 為單位Fig.4.JC//,JAB,JBC,and JCAas functions of l g Wwith (a)=1 and tCA=4,(b)=0.5 and tCA=2.5),(c)=2.5 and tCA=3,(d)=2 and tCA=2 .The common parameter is φ0=2π/3.Here t0 is used as the unit.

4 實(shí)驗(yàn)觀測方案

圖5 第ν 條鏈的第j 個(gè)比特的態(tài)|ψ〉νj 在布洛赫球上的表 示.θνj和χνj分別表 示|ψ〉νj 在布洛赫球上與z 軸和x 軸的夾角Fig.5.The jth qubit located on the ν leg described in Bloch sphere.θνj (χνj)is the angle between the state|ψ〉νj and z (x)axis in the Bloch sphere.

5 結(jié)論

本文提出了在超導(dǎo)量子電路系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)人造霍爾管的可行性實(shí)驗(yàn)方案,發(fā)現(xiàn)了人造霍爾管的基態(tài)存在不同的手性流,分別為xy-M,xy-V,xz-V 以及DV.定義了四個(gè)序參量JC//,JAB(JBC)以及JCA來判別這些流的存在.之后在參數(shù)空間t?-tCA中給出了不同流之間發(fā)生量子相變的完整相圖,并闡述了由于耦合強(qiáng)度和tCA競爭誘導(dǎo)的不同量子手性流之間的相變.人造霍爾管的基態(tài)中存在的Meissner 流和渦旋流都存在于第二類超導(dǎo)體中,能夠抵抗外磁場,因此Meissner 流和渦旋流的出現(xiàn)使人造霍爾管能夠成為很好的抗磁體.最后,提出了實(shí)驗(yàn)探測基態(tài)手性流的可行性方案,具體為,利用微波脈沖對比特進(jìn)行旋轉(zhuǎn)首先制備出基態(tài),之后可以直接探測比特的態(tài)密度并利用量子態(tài)層析技術(shù)得到系統(tǒng)密度算符,進(jìn)一步通過求跡得到比特之間的基態(tài)流以及序參量的值.本文的結(jié)果給出了霍爾管的基態(tài)手性行為,填補(bǔ)了霍爾管研究中手性物理的空白,同時(shí)為實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)霍爾管提供了新的方案,為量子相的探索提供了新的途徑.