水文模擬替代模型方法對(duì)比探究

李小蘭，曾獻(xiàn)奎，王 棟，吳吉春

（南京大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京 210023）

水文模型是定量描述水文過(guò)程和認(rèn)識(shí)水文要素響應(yīng)機(jī)制的重要工具。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，分布式水文模型受到廣泛重視，已在全球范圍內(nèi)的水資源、水環(huán)境與水生態(tài)領(lǐng)域得到成功應(yīng)用［1］。隨著流域水安全問(wèn)題受到越來(lái)越多的關(guān)注，大尺度水文模擬成為流域水問(wèn)題綜合整治的重要工具。通常情況下，大尺度水文模擬是指研究空間尺度面積大于10 000 km2或長(zhǎng)度大于100 km的水文模擬［2］，其具有水文過(guò)程復(fù)雜、模型運(yùn)行耗時(shí)長(zhǎng)、參數(shù)多等特點(diǎn)。參數(shù)識(shí)別是進(jìn)行水文模擬的重要環(huán)節(jié)，通常需多次調(diào)用水文模型，如幾千至幾萬(wàn)次，而大尺度水文模擬運(yùn)行一次一般需幾小時(shí)至幾天，從而導(dǎo)致嚴(yán)重的計(jì)算負(fù)荷問(wèn)題［3］。

替代模型是指具有和原始模型幾乎相同的模擬精度并且運(yùn)行時(shí)間可以忽略不計(jì)的模型，用于替代原始的水文模型，是解決水文模擬參數(shù)識(shí)別計(jì)算耗時(shí)問(wèn)題的有效手段。替代模型方法已廣泛用于水文領(lǐng)域，如水文模型的校正、多目標(biāo)優(yōu)化、參數(shù)敏感性分析［4］、不確定性分析［5］。本次研究選擇當(dāng)前主要的3種替代模型方法，如稀疏網(wǎng)格（Sparse Grid，SG）、Elman-NN、RBF-NN，以長(zhǎng)江流域上游水文模擬為案例，從替代成本、替代精度等方面系統(tǒng)對(duì)比分析了不同替代模型方法的特點(diǎn)。研究成果可為大尺度水文模擬的替代模型的構(gòu)建及參數(shù)識(shí)別過(guò)程提供參考。

1 研究方法

1.1 VIC模型

VIC（Variable Infiltration Capacity）模 型 是 由Liang 等［6］開(kāi)發(fā)的基于物理機(jī)制的大尺度分布式水文模型，已廣泛應(yīng)用于全球范圍內(nèi)的徑流模擬、氣候變化影響和水文變異性研究。該模型將空間分布網(wǎng)格化，每個(gè)網(wǎng)格具有對(duì)應(yīng)的地表高程、土壤性質(zhì)、植被覆蓋、降水、氣溫等信息。VIC 模型的模擬過(guò)程分為產(chǎn)流和匯流2 個(gè)階段，產(chǎn)流階段每個(gè)網(wǎng)格獨(dú)立計(jì)算天氣、土壤、地形、植被綜合作用下的徑流和基流，匯流階段將各個(gè)網(wǎng)格的徑流深轉(zhuǎn)化成流域出口斷面流量。

1.2 稀疏網(wǎng)格替代模型方法

稀疏網(wǎng)格（Sparse Grid，SG）技術(shù)是一種基于Smolyak 規(guī)則的分層拉格朗日插值算法，最早由Smolyak在1963年提出［7］。SG的基本原理為在參數(shù)分布空間生成插值節(jié)點(diǎn)，再進(jìn)行拉格朗日插值。

1.2.1 維數(shù)局部自適應(yīng)稀疏網(wǎng)格

維數(shù)局部自適應(yīng)稀疏網(wǎng)格（Dimensional Adaptive-Local Adaptive-SG，LA-DA-SG）是維數(shù)自適應(yīng)和局部自適應(yīng)的耦合技術(shù)［8］。維數(shù)自適應(yīng)的原理是不斷找出對(duì)替代對(duì)象有顯著影響的級(jí)數(shù)向量，并生成對(duì)應(yīng)的插值節(jié)點(diǎn)，但當(dāng)目標(biāo)函數(shù)變化區(qū)域集中在較小參數(shù)空間區(qū)域時(shí)效率較低。局部自適應(yīng)的原理是不在已滿足替代精度的父節(jié)點(diǎn)生成子節(jié)點(diǎn)，其對(duì)于線性程度高的區(qū)域效率高，但不能考慮不同維度級(jí)數(shù)向量的敏感性。因此，將兩種自適應(yīng)方法耦合可以顯著提高替代模型的構(gòu)建效率。DALA-SG 的應(yīng)用步驟是先對(duì)替代對(duì)象進(jìn)行維數(shù)自適應(yīng)，再對(duì)生成的插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行局部自適應(yīng)。

1.2.2 優(yōu)化自適應(yīng)稀疏網(wǎng)格

優(yōu)化自適應(yīng)稀疏網(wǎng)格（optimized-DA-LA-SG，O-DA-LA-SG）是在DA-LA-SG 基礎(chǔ)上，將RPSO（斥力粒子群優(yōu)化）算法用于識(shí)別替代對(duì)象的關(guān)鍵區(qū)（如極值區(qū)），進(jìn)行針對(duì)性的SG插值節(jié)點(diǎn)分布，利用RPSO獲取的極值點(diǎn)來(lái)定義極值區(qū)域的范圍。

替代對(duì)象f（x）的極大值區(qū)域Γδ可表示為

式中：δ為閾值，一般取0.001；Γ為參數(shù)x的分布空間；maxx∈Γf(x)為f(x)的最大值。

使用O-DA-LA-SG 技術(shù)構(gòu)建替代模型的過(guò)程包括初期和后期2 個(gè)階段，在初期不啟動(dòng)優(yōu)化算法RPSO，即相當(dāng)于DA-LA-SG 技術(shù)。當(dāng)全局替代誤差超過(guò)某個(gè)閾值后進(jìn)入后期，開(kāi)始啟動(dòng)RPSO 程序并搜尋替代對(duì)象的極值區(qū)域，分區(qū)實(shí)行局部自適應(yīng)操作。在極值區(qū)域外設(shè)置較低的局部自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)，在極值區(qū)域內(nèi)設(shè)置較高的局部自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步優(yōu)化SG替代模型的節(jié)點(diǎn)分布，從而提高替代效率。

1.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代模型方法

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Neural Net，NN）是由大量神經(jīng)元即節(jié)點(diǎn)相互連接、相互傳遞構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，是一種模仿生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型。每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)輸出函數(shù)，稱為激勵(lì)函數(shù)。

1.3.1 拉丁超立方抽樣方法

采用拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，LHS）方法來(lái)獲取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本。LHS 是一種多維分層采樣方法，LHS 方法從變量x（x1，x2，…，xi，…，xn）（1≤i≤n）中抽取樣本的過(guò)程如下。

（1）根據(jù)各變量的分布區(qū)間以及概率密度函數(shù)，將每個(gè)向量分量的子空間劃分為m個(gè)不相交的層空間；

（2）根據(jù)各個(gè)變量的概率密度函數(shù)，從各個(gè)變量的獨(dú)立層空間中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，每個(gè)變量獲得m個(gè)樣本；

（3）各變量xi抽取的m個(gè)樣本之間隨機(jī)組成1個(gè)m組n維樣本，共獲得（m!）n-1種組合方式；

（4）從（m!）n-1種組合方式中以特定的方式篩選出指定數(shù)量的樣本組合。

1.3.2 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Elman-Neural Net，Elman-NN）是一種動(dòng)態(tài)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其包含4層結(jié)構(gòu)，分別是輸入隱、隱含層、承接層和輸出層。其中輸入層和輸出層均為1 層，隱含層和承接層的層數(shù)一致且可設(shè)置為多層。承接層用來(lái)記憶隱含層前一時(shí)刻的輸出值，從而使網(wǎng)絡(luò)具有適應(yīng)變化的能力，增加了網(wǎng)絡(luò)的全局穩(wěn)定性。隱含層的輸出通過(guò)承接層自聯(lián)到隱藏層的輸入，使其對(duì)歷史數(shù)據(jù)具有記憶性，從而進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模［9］。

1.3.3 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Radial basis function-Neural Net，RBF-NN）是一種高效多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，運(yùn)算速度快，具有較強(qiáng)的非線性映射能力。RBF-NN 可以進(jìn)行局部調(diào)整、相互覆蓋接受域的局部逼近，同時(shí)訓(xùn)練方法快速易行，克服了局部最優(yōu)問(wèn)題，這些優(yōu)點(diǎn)使得RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)域，如分類、模型識(shí)別以及信號(hào)處理等領(lǐng)域。

RBF-NN結(jié)構(gòu)主要包含3層，即輸入層、隱含層和輸出層，輸入層到隱含層之間沒(méi)有權(quán)值連接，輸入向量直接被反饋到隱含層，通過(guò)激活函數(shù)進(jìn)行非線性映射。RBF-NN的激活函數(shù)是具有多變量插值功能的徑向基函數(shù)。徑向基函數(shù)是一種沿徑向?qū)ΨQ的標(biāo)量函數(shù)，是表示樣本到數(shù)據(jù)中心之間的徑向距離的單調(diào)函數(shù)，如高斯函數(shù)。隱含層到輸出層之間有權(quán)值連接，為線性映射關(guān)系，即輸出層的結(jié)果是隱含層結(jié)果的線性加權(quán)和。

1.4 替代模型精度的評(píng)價(jià)指標(biāo)

（1）相對(duì)均方根誤差NRMSE

相對(duì)均方根誤差NRMSE的計(jì)算式為

式中：n為測(cè)試點(diǎn)的數(shù)量；yi和y?i分別為第i（i=1，2，…，n）個(gè)測(cè)試點(diǎn)的原始模型輸出值和替代模型輸出值；|f|max為所有測(cè)試點(diǎn)替代模型輸出的最大絕對(duì)值，NRMSE越小表示替代模型的精度越高。

（2）決定系數(shù)R2

決定系數(shù)R2的計(jì)算式為

式中：n為測(cè)試點(diǎn)的數(shù)量；yi和y?i分別為第i（i=1，2，…，n）個(gè)測(cè)試點(diǎn)的原始模型輸出值和替代模型輸出值；yˉ和y?ˉ分別表示測(cè)試點(diǎn)的原始模型和替代模型輸出值的平均值；R2值為0 到1 之間，越接近1 表示替代模型精度越高。

2 水文模型的構(gòu)建

2.1 研究區(qū)概況

本次研究選擇長(zhǎng)江源頭至干流寸灘站的區(qū)域?yàn)檠芯繀^(qū)，面積約95萬(wàn)km2，范圍約為90.5°E~108.5°E、25.0°N~36.0°E，屬于長(zhǎng)江流域上游區(qū)域。本研究將建立該區(qū)域的VIC 水文模型，進(jìn)行替代模型方法的對(duì)比研究。

2.2 模型數(shù)據(jù)

高程數(shù)據(jù)來(lái)源于地理空間數(shù)據(jù)云平臺(tái)的“SRTMDEMUTM 90M 分辨率數(shù)字高程數(shù)據(jù)產(chǎn)品”。氣象數(shù)據(jù)包括日降水量、最高氣溫、最低氣溫和風(fēng)速數(shù)據(jù)等4項(xiàng)，本次研究使用區(qū)域內(nèi)氣象站（1961—1975年）氣象數(shù)據(jù)。土壤參數(shù)數(shù)據(jù)包括飽和導(dǎo)水系數(shù)、田間持水量、土壤水?dāng)U散系數(shù)等多個(gè)用來(lái)代表土壤質(zhì)地類型、土壤顆粒配比的參數(shù)，本文中的土壤參數(shù)數(shù)據(jù)來(lái)自空間分辨率為5′的全球土壤數(shù)據(jù)庫(kù)。植被覆蓋數(shù)據(jù)包括植被類型數(shù)目、比例、根系分布和逐月葉面積指數(shù)（LAI），這些數(shù)據(jù)采用陸面覆蓋類型資料。

2.3 模型構(gòu)建

2.3.1 流域提取及網(wǎng)格剖分

根據(jù)研究區(qū)的數(shù)字高程數(shù)據(jù)和研究區(qū)內(nèi)的水文站點(diǎn)坐標(biāo)，借助ARCGIS 軟件，依次通過(guò)填洼、流向計(jì)算、匯流累積、捕捉傾瀉點(diǎn)來(lái)提取研究流域范圍。模型單元格剖分大小設(shè)置為0.5°×0.5°，研究區(qū)總共被劃分為324個(gè)網(wǎng)格。

2.3.2 模型輸入

氣象輸入數(shù)據(jù)包括研究區(qū)內(nèi)每個(gè)網(wǎng)格1961—1975 年逐日的降水、最高氣溫、最低氣溫和風(fēng)速數(shù)據(jù)。采用反距離加權(quán)法將原始?xì)庀髷?shù)據(jù)插值到0.5°×0.5°網(wǎng)格單元。土壤數(shù)據(jù)輸入包含各網(wǎng)格的土壤參數(shù)，其中大多數(shù)參數(shù)可以直接獲取或通過(guò)計(jì)算獲取，如水力系數(shù)、飽和導(dǎo)水率、田間持水量、凋萎含水率。其中，深層土壤深度、可變下滲曲線方程的冪指數(shù)、基流最大流速、非線性基流產(chǎn)生的因子值和非線性基流產(chǎn)生時(shí)最大土壤含水量因子等參數(shù)為待識(shí)別參數(shù)。植被覆蓋輸入數(shù)據(jù)包括各網(wǎng)格的植被覆蓋種類數(shù)目、各種類植被覆蓋比例、葉面積指數(shù)等信息。根據(jù)Maryland 大學(xué)全球1 km的陸面覆蓋類型資料，計(jì)算各個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的植被類型及其在網(wǎng)格內(nèi)所占的比例。

3 替代模型方法對(duì)比分析

3.1 替代對(duì)象

本次案例分析中，VIC 模型的待識(shí)別參數(shù)包括可變下滲曲線方程的冪指數(shù)b、基流最大流速Dsmax、非線性基流產(chǎn)生的因子值Ds、非線性基流產(chǎn)生時(shí)土壤含水量因子Ws、第二層土壤厚度D2、第三層土壤厚度D3 共6 個(gè)參數(shù)，參數(shù)的識(shí)別范圍如表1所示。

表1 待識(shí)別的VIC參數(shù)及其分布范圍

通過(guò)貝葉斯方法（如MCMC 等）識(shí)別模型參數(shù)的概率分布時(shí)，需要計(jì)算參數(shù)的似然函數(shù)L，用于搜索參數(shù)的概率分布空間，計(jì)算式為

式中：y為觀測(cè)數(shù)據(jù)；θ為模型的待識(shí)別參數(shù)；f（θ）為模型模擬值；n為觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；∑為觀測(cè)誤差的協(xié)方差矩陣；| |∑為其行列式。

因此，本次研究所建立的替代模型為6 個(gè)待識(shí)別參數(shù)θ與對(duì)應(yīng)似然函數(shù)L的響應(yīng)關(guān)系。傳統(tǒng)方法是通過(guò)運(yùn)行水文模型f（θ）獲得模型輸出，進(jìn)而計(jì)算L（θ），而替代模型是直接構(gòu)建L（θ）~θ關(guān)系，省去運(yùn)行模型的環(huán)節(jié)，從而解決模型運(yùn)行計(jì)算耗時(shí)問(wèn)題。

3.2 DA-LA-SG替代模型

DA-LA-SG 替代模型的插值級(jí)數(shù)設(shè)置為L(zhǎng)=9，采用500個(gè)樣本測(cè)試替代模型的精度。替代模型的NRMSE和R2隨樣本數(shù)量的變化如圖1 所示，其中樣本數(shù)量表示用于構(gòu)建替代模型所需的運(yùn)行原始水文模型的次數(shù)。隨著替代成本的增加，替代精度逐漸升高，當(dāng)樣本數(shù)量為1 998 個(gè)時(shí)，R2=0.9920，對(duì)應(yīng)的NRMSE=0.0134。

圖1 DA-LA-SG替代模型的相對(duì)均方根誤差和決定系數(shù)隨樣本數(shù)量的變化

3.3 O-DA-LA-SG替代模型

O-DA-LA-SG 替代模型的插值級(jí)數(shù)設(shè)為L(zhǎng)=9，全局NRMSE≤0.025 時(shí)開(kāi)始啟動(dòng)優(yōu)化程序。替代模型的NRMSE和R2隨樣本數(shù)量的變化如圖2 所示，隨著替代成本的增加，替代精度在不斷升高，當(dāng)樣本數(shù)量為1 469 個(gè)時(shí)，R2=0.9945，對(duì)應(yīng)的NRMSE=0.0115。

圖2 O-DA-LA-SG替代模型的相對(duì)均方根誤差和決定系數(shù)隨樣本數(shù)量的變化

3.4 Elman-NN替代模型

利用LHS 方法抽取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代模型的訓(xùn)練樣本，參數(shù)范圍中每次抽取10 個(gè)樣本點(diǎn)，連續(xù)抽取200 次，總共抽取2 000 個(gè)點(diǎn)作為訓(xùn)練樣本。Elman-NN 替代模型的NRMSE和R2隨樣本數(shù)量的變化如圖3 所示，隨著替代成本的增加，替代精度在不斷升高。當(dāng)樣本數(shù)量達(dá)到790 個(gè)時(shí)，R2= 0.9936，對(duì)應(yīng)的NRMSE=0.0143；當(dāng)樣本數(shù)量為1 205 個(gè)時(shí)，R2=0.9971，對(duì)應(yīng)的NRMSE=0.0095；當(dāng)樣本數(shù)量為1 695 個(gè)時(shí)，R2=0.9982，對(duì)應(yīng)的NRMSE=0.0075。

圖3 Elman-NN替代模型的相對(duì)均方根誤差和決定系數(shù)隨樣本數(shù)量的變化

3.5 RBF-NN替代模型

RBF-NN 替代模型的樣本抽樣同Elman-NN，其NRMSE和R2隨樣本數(shù)量的變化如圖4 所示，隨著用于替代模型構(gòu)建的樣本增加，前期替代精度迅速升高，后期替代精度變化趨于平緩。當(dāng)樣本數(shù)量為850 個(gè)時(shí)，R2=0.96628，對(duì)應(yīng)的NRMSE=0.0275；當(dāng)樣本數(shù)量為1 950 個(gè)時(shí)，R2=0.9752，對(duì)應(yīng)的NRMSE=0.0236。

圖4 RBF-NN替代模型的相對(duì)均方根誤差和決定系數(shù)隨樣本數(shù)量的變化

3.6 替代模型方法對(duì)比分析

圖5所示為DA-LA-SG、O-DA-LA-SG、Elman-NN和RBF-NNp這4種方法對(duì)于長(zhǎng)江流域上游水文模擬替代模型表現(xiàn)的對(duì)比。從圖5 中可以看出，當(dāng)樣本數(shù)較少時(shí)（如400 個(gè)），RBF-NN 替代模型的替代誤差降低最快，DA-LA-SG與O-DA-LA-SG替代模型的誤差相對(duì)RBF-NN 較大，Elman-NN 替代模型的誤差降低最慢。當(dāng)樣本數(shù)較大時(shí)（如1 000個(gè)），Elman-NN 替代模型的誤差快速降低，最先達(dá)到目標(biāo)精度NRMSE=0.01，所需的替代成本最少；O-DALA-SG 達(dá)到替代精度所需的成本小于DA-LA-SG，兩者達(dá)到目標(biāo)精度NRMSE=0.01 時(shí)的成本均小于RBF-NN。

圖5 4種替代模型的替代精度對(duì)比

4 結(jié) 論

本次研究以長(zhǎng)江流域上游大尺度水文模擬為案例，系統(tǒng)對(duì)比分析了DA-LA-SG、O-DA-LA-SG、Elman-NN、RBF-NN等4種常見(jiàn)的替代模型方法。

（1）在樣本數(shù)量相對(duì)較小的條件下，針對(duì)水文模擬替代模型的精度，隨著樣本數(shù)增加，RBF-NN替代模型的誤差降低最快，DA-LA-SG 與O-DA-LASG 替代模型的誤差下降速度居中，Elman-NN 替代模型的誤差降低最慢。

（2）在樣本數(shù)量相對(duì)較多的條件下，針對(duì)水文模擬替代模型的精度，RBF-NN 替代模型的誤差降低相對(duì)平緩，O-DA-LA-SG替代模型的誤差逐漸小于DA-LA-SG 替代模型，并優(yōu)于RBF-NN，Elman-NN替代模型的誤差降低相對(duì)最快。

（3）根據(jù)實(shí)際條件下水文模擬的計(jì)算耗時(shí)特征，判斷所能承擔(dān)的用于構(gòu)建替代模型的成本，從而選擇相應(yīng)最合適的替代模型方法，解決水文模擬參數(shù)識(shí)別中的計(jì)算耗時(shí)問(wèn)題。