基于信源數(shù)目估計(jì)的超定盲信號(hào)分離*

馬 誠，李云紅，陳錦妮

(西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院 西安 710048)

0 引 言

信源數(shù)目估計(jì)是盲信號(hào)分離算法應(yīng)用的前提，也是一個(gè)技術(shù)難點(diǎn)[1-2]。盲信號(hào)分離[3-6]也一直是信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，其可以根據(jù)混合信號(hào)和源信號(hào)的維數(shù)分為欠定[7]、適定[8]、超定[9]三種情況。目前，大多數(shù)盲信號(hào)分離算法屬于適定盲分離[10-11]，即源信號(hào)維數(shù)與混合信號(hào)維數(shù)相等，然而在實(shí)際應(yīng)用中，源信號(hào)維數(shù)往往未知且處于動(dòng)態(tài)變化中，并且信號(hào)在傳播過程中易受噪聲的干擾，因此，信源數(shù)目準(zhǔn)確估計(jì)的難度大幅度提高，并直接影響盲信號(hào)分離效果。

隨著盲信號(hào)分離算法的發(fā)展，出現(xiàn)了一些性能較好的盲信號(hào)分離算法。主分量分析[12]作為其中分離性能較好的方法之一，其假定信號(hào)服從高斯分布，只考慮信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)特性，而無法描述信號(hào)的概率分布特性。非線性主分量分析[13](Nonlinear Principle Component Analysis)方法通過在算法中添加非線性函數(shù)，使得變換后的信號(hào)服從高斯分布，因而算法實(shí)質(zhì)上考慮了信號(hào)的高階統(tǒng)計(jì)特性。核主分量分析方法的提出，進(jìn)一步拓展了其應(yīng)用范圍。

目前，盲信號(hào)分離主要面臨兩個(gè)主要難題：一是傳感器接收到的信號(hào)會(huì)受到信道噪聲的影響；二是混合信號(hào)的維數(shù)不一定和源信號(hào)的維數(shù)相等。這就使得信道噪聲去除和源信號(hào)維數(shù)估計(jì)顯得尤為重要。因此，針對(duì)上述問題，本文提出基于信源數(shù)目估計(jì)的超定盲源信號(hào)分離方法，能有效去除信道中的噪聲，并對(duì)源信號(hào)維數(shù)準(zhǔn)確估計(jì)，實(shí)現(xiàn)盲信號(hào)的準(zhǔn)確分離。

1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

1.1 含噪數(shù)據(jù)的預(yù)白化處理

含信道噪聲的盲信號(hào)分離的數(shù)學(xué)模型如下：

X(m×N)=A(m×n)·S(n×N)+ξ(m×N)。

(1)

式中：S=[s1,s2,…,sn]T為n維源信號(hào)，A是m×n維混合矩陣，ξ表示信道噪聲，N代表信號(hào)樣本個(gè)數(shù)，X=[x1,x2,…,xn]T表示傳感器觀測的m維數(shù)據(jù)向量即混合信號(hào)。

白化是有效的盲源分離預(yù)處理方法。白化不僅可以消除原數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，而且一定程度上可以抑制噪聲。

當(dāng)樣本個(gè)數(shù)N足夠大時(shí)，并且假定源信號(hào)S已經(jīng)經(jīng)過單位化處理，根據(jù)中心極限定理觀測信號(hào)的協(xié)方差矩陣Σ可以表示為

Σ=AAT+ψ。

(2)

式中：Σ=XXT/N，噪聲協(xié)方差矩陣ψ=ξξT/N是對(duì)角矩陣。

標(biāo)準(zhǔn)主分量分析算法用于預(yù)白化處理，當(dāng)公式(1)的噪聲為零時(shí)或者信噪比非常高時(shí)C-AAT應(yīng)該趨近于零。根據(jù)主分量分析思想，可將AAT進(jìn)行特征值分解，如公式(3)所示：

(3)

式中：Λn表示由矩陣C的前n個(gè)最大的特征值組成的對(duì)角矩陣，Un是其對(duì)應(yīng)的特征向量。則有

(4)

令

z=Λn-1/2UnTX，

(5)

則有E(zzT)=In，代表z各個(gè)分量之間相互正交，即各維信號(hào)之間不相關(guān)。

對(duì)于包含信道噪聲的數(shù)據(jù)，特別是當(dāng)信噪比較低時(shí)，公式(2)中的噪聲協(xié)方差矩陣ψ無法忽略，上述方法無法直接應(yīng)用。

采用類似于標(biāo)準(zhǔn)主分量分析方法，由公式(2)可發(fā)現(xiàn)，C-ψ應(yīng)該與AAT相等。式(2)中假定噪聲協(xié)方差矩陣ψ是已知的，然而實(shí)際上噪聲協(xié)方差矩陣ψ未知，因此必須估計(jì)噪聲協(xié)方差矩陣。建立如下的評(píng)價(jià)函數(shù)：

J(A,ψ)=tr[AAT-(C-ψ)][AAT-(C-ψ)]T。

(6)

很顯然，評(píng)價(jià)函數(shù)越小，C-ψ應(yīng)該與AAT越接近。評(píng)價(jià)函數(shù)的微分為

(7)

則可得到

(8)

1.2 噪聲協(xié)方差矩陣的估計(jì)

設(shè)x=Af+ε，其協(xié)方差矩陣具有結(jié)構(gòu)Σ=AAT+ψ。這里A是n×m階矩陣，rank(A)=m，則A和ψ的極大似然估計(jì)滿足下面的方程組：

(9)

式中：矩陣S滿足

(10)

公式(9)方程組的解并不唯一，并且迭代法求解方程組時(shí)算法也有可能不收斂。Joreskog提出了一種求解方法，同時(shí)滿足解的唯一性條件和算法的收斂性要求。

假設(shè)A和ψ滿足唯一性條件ATψ-1A=Δ，則A和ψ的極大似然估計(jì)滿足

(11)

而且tr[(AAT+ψ)S-1]=n。通過公式(11)可得到ψ的估計(jì)。

2 源信號(hào)維數(shù)估計(jì)

(12)

則變換完后新的數(shù)據(jù)為

z=Qx。

(13)

交叉驗(yàn)證法(Cross-validation)是多變量統(tǒng)計(jì)技術(shù)常用的一種方法，其基本思想是，一組數(shù)據(jù)用來提取特征，另一組數(shù)據(jù)來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。本文也將采用該方法對(duì)源信號(hào)的維數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

(14)

根據(jù)上述描述方法，用于噪聲去除和源信號(hào)估計(jì)的方法的簡要步驟如下：

Step1 根據(jù)信號(hào)X計(jì)算其協(xié)方差矩陣C，并設(shè)置噪聲協(xié)方差矩陣ψ的初始值。

Step5 重復(fù)Step 3和Step 4，直至估計(jì)值收斂。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文方法的性能，選擇盲信號(hào)分離中常用的信噪比作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其計(jì)算方式如式(15)所示：

(15)

3.1 輕拖尾與輕拖尾混合信號(hào)的源信號(hào)維數(shù)估計(jì)

圖1是由Matlab的系統(tǒng)函數(shù)生成的正弦波信號(hào)，周期分別為20 s和80 s，采樣點(diǎn)數(shù)為1 000，歸一化峭度分別為-1.297和-1.521。

圖1 源信號(hào)

圖2是線性混合后的信號(hào)?；旌暇仃嘇服從區(qū)間[0,1]上均勻分布的6×2隨機(jī)矩陣，并在信道中添加高斯噪聲，信噪比為-10 dB。從圖2可看出，經(jīng)過線性混合之后，由于包含較強(qiáng)的高斯白噪聲，源信號(hào)已經(jīng)淹沒在噪聲信號(hào)中，無法看出原始信號(hào)。

圖2 線性混合信號(hào)

圖3 源信號(hào)維數(shù)估計(jì)

圖4是針對(duì)輕拖尾與輕拖尾混合信號(hào)采用擴(kuò)展最大熵、Kernel ICA與高斯混合模型三種盲信號(hào)分離算法的信號(hào)分離結(jié)果。圖4(a)為擴(kuò)展最大熵的信號(hào)分離效果，圖4(b)為Kernel ICA的信號(hào)分離效果，圖4(c)是經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理后采用基于高斯混合模型盲信號(hào)分離算法的分離結(jié)果。通過對(duì)比可看出，經(jīng)過預(yù)處理后，可以很好地分離信號(hào)，并且分離信號(hào)與源信號(hào)較為接近。

(a)擴(kuò)展最大熵分離信號(hào)

表1為三種方法的分離性能、運(yùn)算時(shí)間的對(duì)比。從表中可知，高斯混合模型盲信號(hào)分離方法的信噪比最高，說明該方法的分離效果最好；同時(shí)，該方法運(yùn)算時(shí)間也較少。

表1 三種方法分離輕拖尾與輕拖尾信號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2 重拖尾與輕拖尾混合信號(hào)的源信號(hào)維數(shù)估計(jì)

圖5是兩個(gè)正弦波信號(hào)和一段真實(shí)語音信號(hào)，三個(gè)源信號(hào)的歸一化峭度分別為0.373 9、-1.297和-1.521，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為1 000個(gè)。

圖5 源信號(hào)

圖6是線性混合后的信號(hào)，混合矩陣A為服從區(qū)間[0,1]上均勻分布的6×3隨機(jī)矩陣，并在信道中添加高斯噪聲，信噪比為-12 dB。從圖中可看出，經(jīng)過混合之后，各維信號(hào)混合較為明顯，已經(jīng)無法看出原始信號(hào)。

圖6 線性混合信號(hào)

圖7是采用本文預(yù)處理方法對(duì)源信號(hào)維數(shù)進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果，橫坐標(biāo)為源信號(hào)數(shù)目的估計(jì)值，范圍為1～6。從圖中可以看出，當(dāng)估計(jì)的維數(shù)為3時(shí)誤差值最小，也就是源信號(hào)的維數(shù)為3，這與真實(shí)信號(hào)數(shù)目是一致的。

圖7 源信號(hào)維數(shù)估計(jì)

圖8是針對(duì)重拖尾與輕拖尾混合信號(hào)采用擴(kuò)展最大熵、Kernel ICA與高斯混合模型三種盲信號(hào)分離算法的信號(hào)分離結(jié)果。圖8(a)為擴(kuò)展最大熵對(duì)重拖尾與輕拖尾混合信號(hào)的分離效果，圖8(b)為Kernel ICA的分離結(jié)果，圖8(c)是經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理后采用基于高斯混合模型盲信號(hào)分離算法的分離結(jié)果。從圖中可看出，采用基于高斯混合模型盲信號(hào)分離算法經(jīng)過預(yù)處理后可以很好地分離信號(hào)，并且分離信號(hào)與源信號(hào)較為接近，該方法還可以有效地恢復(fù)出源信號(hào)。

(a)擴(kuò)展最大熵分離信號(hào)

表2為三種方法的實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果。從運(yùn)算時(shí)間和恢復(fù)效果來看，本文方法能在相對(duì)較短的時(shí)間內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效恢復(fù)。

表2 三種方法對(duì)比實(shí)驗(yàn)性能

從兩組實(shí)驗(yàn)的仿真結(jié)果可得出，對(duì)于多種類型的混合信號(hào)，本文提出的噪聲去除和源信號(hào)維數(shù)估計(jì)方法能對(duì)源信號(hào)維數(shù)準(zhǔn)確估計(jì)，根據(jù)估計(jì)結(jié)果可對(duì)盲信號(hào)準(zhǔn)確分離。

4 結(jié)束語

本文提出了一種用于信道噪聲去除和源信號(hào)維數(shù)估計(jì)的數(shù)據(jù)預(yù)處理方法。采用本文算法對(duì)含噪聲的輕拖尾與輕拖尾、重拖尾與輕拖尾兩組混合信號(hào)的源信號(hào)個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì)，仿真結(jié)果表明，該算法能去除信道中的噪聲并準(zhǔn)確估計(jì)盲源個(gè)數(shù)，平均信噪比增加了2.4 dB，平均運(yùn)行時(shí)間提高了近50%。但是，該方法主要適合于服從高斯分布的噪聲，對(duì)于其他分布類型噪聲去除效果并不理想，這一點(diǎn)還有待進(jìn)一步改進(jìn)。