基于環(huán)境溫度的數(shù)控機(jī)床熱誤差模型研究

劉政， 周俊榮， 何靈， 王瑞超， 李會(huì)軍， 楊健

（1.五邑大學(xué)智能制造學(xué)部，廣東江門 529000；2.深圳市創(chuàng)世紀(jì)機(jī)械有限公司，廣東深圳 518101）

0 引言

在數(shù)控機(jī)床實(shí)際加工過(guò)程中，絲桿因受熱產(chǎn)生的變形將直接影響到三軸進(jìn)給系統(tǒng)的定位精度。絲桿熱變形是由進(jìn)給系統(tǒng)電流大小、絲桿轉(zhuǎn)速、絲桿受力情況等諸多因速綜合決定[1]。伺服驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)電流大小反映了絲桿轉(zhuǎn)速和絲桿受力情況，電動(dòng)機(jī)的電流越大，絲桿轉(zhuǎn)速越快，摩擦做功產(chǎn)生的熱量就越多，熱變形也就越明顯。Z軸滾珠絲桿與螺母座之間因相對(duì)位置變化而使得摩擦產(chǎn)生大量的熱能，最終通過(guò)熱傳導(dǎo)和熱對(duì)流的方式影響整個(gè)絲桿溫度場(chǎng)的分布，從而影響機(jī)床加工精度[2]。

本文的實(shí)驗(yàn)研究對(duì)象是某款鉆攻加工中心。在應(yīng)用領(lǐng)域方面，機(jī)床具有高精度、高速度及高剛度，集鉆孔、攻牙、銑削等加工為一體，廣泛用于3C行業(yè)、汽車零部件、小型模具加工、醫(yī)療器械等行業(yè)中的小型板零件、盤形零件、殼體類加工。

加工中心鑄件的裝配如圖1所示。由于Z軸方向有主軸箱自重、工作時(shí)來(lái)自刀具的切削力等因素，與其余兩軸相比，該軸進(jìn)給系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量更多，所以本文主要研究并構(gòu)建Z軸進(jìn)給系統(tǒng)的熱誤差模型。

圖1 鉆攻加工中心裝配示意

1 基于環(huán)境溫度和實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的熱誤差建模方法

絲桿熱變形的主要影響因素有環(huán)境溫度的改變及機(jī)床的摩擦生熱[3]。機(jī)床所處的環(huán)境溫度因季節(jié)不同而發(fā)生改變；機(jī)床因加工過(guò)程中往復(fù)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了大量的熱，在內(nèi)外熱源的協(xié)同作用下，機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中形成了非均勻分布的溫度場(chǎng)，從而導(dǎo)致熱變形情況產(chǎn)生。本文以一臺(tái)小型高端鉆銑攻牙機(jī)作為研究對(duì)象（如圖2），在此機(jī)床上采集2組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集設(shè)備

1）實(shí)驗(yàn)1。測(cè)量環(huán)境溫度與Z軸熱變形的影響。機(jī)床熱變形測(cè)試工具有千分表和對(duì)刀儀。千分表實(shí)驗(yàn)開(kāi)始時(shí)，保持Z軸絲桿和主軸不動(dòng)，利用對(duì)刀儀每隔1 min完成對(duì)刀動(dòng)作，此時(shí)記錄Z軸坐標(biāo)值，當(dāng)前坐標(biāo)值Li與上一坐標(biāo)值L0之差ΔL即為此時(shí)的絲桿變形量，經(jīng)過(guò)90 min的機(jī)床靜置，測(cè)得所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2）實(shí)驗(yàn)2。保持主軸靜止，測(cè)量在環(huán)境溫度和運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦產(chǎn)生的熱量導(dǎo)致的Z軸熱變形。Z軸的極限行程為320 mm，測(cè)量機(jī)床在300 mm行程內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)的熱變形情況，實(shí)驗(yàn)的對(duì)刀方式、對(duì)刀時(shí)間及測(cè)量總時(shí)間與實(shí)驗(yàn)1一致。

如圖2所示，通過(guò)采集實(shí)驗(yàn)1得到的測(cè)試數(shù)據(jù)可知，在90 min內(nèi)，當(dāng)環(huán)境溫度變化2 ℃時(shí)，機(jī)床Z軸絲桿的變形量可達(dá)0.02 mm。

通過(guò)采集實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2的測(cè)試數(shù)據(jù)，得到的熱變形曲線如圖3所示。

圖3 環(huán)境溫度改變引起的機(jī)床熱變形

機(jī)床Z軸絲桿在自然環(huán)境溫度和運(yùn)動(dòng)摩擦作用下的熱變形量如圖4所示，其中環(huán)境溫度對(duì)機(jī)床熱變形的影響小于機(jī)床運(yùn)動(dòng)摩擦生熱的影響，主要原因是機(jī)床在被測(cè)時(shí)間段中，環(huán)境溫度變化不明顯所致，而在運(yùn)動(dòng)過(guò)程由于摩擦的存在產(chǎn)生了大量的熱能，成為機(jī)床熱變形的主要原因之一[4]。由上述2組實(shí)驗(yàn)可知，機(jī)床在實(shí)際加工過(guò)程中，環(huán)境溫度改變對(duì)絲桿變形量的影響也不應(yīng)被忽視。

圖4 環(huán)境溫度和運(yùn)動(dòng)摩擦作用下的機(jī)床熱變形

2 基于環(huán)境溫度和實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的絲桿熱誤差建模

基于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)研究數(shù)控機(jī)床的熱誤差變化規(guī)律，轉(zhuǎn)而從產(chǎn)生熱誤差的根源上分析機(jī)床的熱致定位誤差。在機(jī)床的實(shí)際加工過(guò)程中，通過(guò)控制電流的大小、方向等方式來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的啟停、正反轉(zhuǎn)進(jìn)行控制，驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)的做功情況可通過(guò)電流加以反映，故機(jī)床產(chǎn)生熱誤差實(shí)質(zhì)與電動(dòng)機(jī)的做功情況相關(guān)[5]。在此規(guī)律的基礎(chǔ)上，如果能通過(guò)實(shí)時(shí)采集機(jī)床運(yùn)行過(guò)程中電流大小等數(shù)據(jù)，并對(duì)采集的數(shù)據(jù)加以分析，構(gòu)建能反映機(jī)床熱變形規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，便能在理論上對(duì)機(jī)床熱誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而達(dá)到對(duì)實(shí)際加工過(guò)程中機(jī)床熱變形情況的補(bǔ)償效果[6]。

在機(jī)床的實(shí)際加工過(guò)程中，因運(yùn)動(dòng)摩擦產(chǎn)生的總熱量Q總計(jì)算公式為

式中：Q總為機(jī)床Z軸驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)從0到t時(shí)刻之間克服摩擦做功的總熱量；Ia和va分別為在任意a時(shí)刻Z軸驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)的電流和速度大小；f為比例系數(shù)，表示系統(tǒng)中除了克服摩擦阻力做功之外，部分熱量還以其他的形式消散。

摩擦產(chǎn)生的總熱量除了作用于絲桿本身外，其余熱量以熱對(duì)流的形式消散。作用在絲桿上的熱量被絲桿吸收轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，導(dǎo)致絲桿主要呈現(xiàn)為沿軸向上的伸長(zhǎng)，累積的內(nèi)能ΔU為

式中：ΔU為絲桿吸收轉(zhuǎn)化的總內(nèi)能；V為絲桿的體積；ρ為絲桿組成材料的密度；c為絲桿組成材料的比熱容；ΔTt為t時(shí)刻與初始時(shí)刻的溫度差。在機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)中，絲桿的材料一定時(shí)，密度ρ、比熱容c、體積V均視為常數(shù)。

對(duì)流換熱在傳熱學(xué)理論中的定義為：流體在流經(jīng)固體表面時(shí)，流體的熱量會(huì)與固體之間發(fā)生交換。由于機(jī)床的結(jié)構(gòu)所需和安裝要求，在機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中，絲桿直接與外界環(huán)境相接觸，當(dāng)機(jī)床在加工運(yùn)行時(shí)，運(yùn)動(dòng)摩擦使得絲桿產(chǎn)生大量的熱能，絲桿的表面溫度將高于自然環(huán)境溫度，就會(huì)導(dǎo)致絲桿所處的環(huán)境溫度出現(xiàn)對(duì)流散熱的現(xiàn)象[7]。對(duì)流散熱分為自然型和強(qiáng)制型。當(dāng)機(jī)床保持靜止時(shí)，在布朗運(yùn)動(dòng)和空氣間密度差共同作用下，空氣將流經(jīng)絲桿表面，此種現(xiàn)象為自然對(duì)流散熱。當(dāng)機(jī)床運(yùn)動(dòng)時(shí)，絲桿和螺母的移動(dòng)旋轉(zhuǎn)也會(huì)引起空氣流動(dòng)，此類屬于強(qiáng)制對(duì)流散熱。

當(dāng)絲桿與所處環(huán)境發(fā)生自然對(duì)流散熱時(shí)，查閱相關(guān)文獻(xiàn)可知其散熱量計(jì)算公式為

式中：Q1為機(jī)床Z軸絲桿從0時(shí)刻到t時(shí)刻與環(huán)境發(fā)生自然對(duì)流散熱時(shí)散失的熱量；k1為對(duì)流散熱常數(shù)，其值與絲桿表面積A和轉(zhuǎn)速v有關(guān)；T1為絲桿從0時(shí)刻到t時(shí)刻處于靜止?fàn)顟B(tài)下的總時(shí)間，ms；Δti為絲桿與所處環(huán)境在任意時(shí)刻i的溫度差值。

當(dāng)絲桿與所處環(huán)境發(fā)生強(qiáng)制對(duì)流散熱時(shí)，其散熱量計(jì)算公式為

式中：Q2為機(jī)床Z軸絲桿從0時(shí)刻到t時(shí)刻與所周圍環(huán)境發(fā)生強(qiáng)制對(duì)流散熱時(shí)散失的熱量；k2為對(duì)流散熱常數(shù)，其值與絲桿直徑d、轉(zhuǎn)速v和絲桿長(zhǎng)度l有關(guān)；T2為絲桿從0時(shí)刻到t時(shí)刻處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的總時(shí)間，ms；Δti為絲桿與所處環(huán)境在任意時(shí)刻i的溫度差值。

根據(jù)能量守恒定律計(jì)算摩擦產(chǎn)生的總熱量Q總為

式（5）等效為

當(dāng)物體的溫度升高時(shí)，根據(jù)熱脹冷縮的原理，物體的外形體積會(huì)發(fā)生一定的膨脹，從而導(dǎo)致物體形變的產(chǎn)生。熱膨脹系數(shù)用來(lái)描述物體因溫度變化導(dǎo)致其長(zhǎng)度發(fā)生改變的物理量，數(shù)值上的定義為溫度每升高1 ℃，絲桿每米的伸長(zhǎng)量。絲桿軸的熱位移將導(dǎo)致定位精度的下降，熱位移大小的計(jì)算公式為

式中：ΔL為絲桿的熱位移（熱變形）量；γ為絲桿的熱膨脹系數(shù)；Δt為當(dāng)前時(shí)刻與初始時(shí)刻之間的溫度差值；L為初始時(shí)刻的絲桿長(zhǎng)度。

由式（7）可計(jì)算出溫度為t時(shí)的表達(dá)式。

由于體積V、密度ρ、比熱容c均為常數(shù)，則可將其合并在比例系數(shù)f、k1、k2中，那么ΔLi可以表示為

式（8）中，γ=1.2×10-5℃-1，等式右邊各項(xiàng)表達(dá)式的系數(shù)均包含γL，故需先求出系數(shù)γL的值方可進(jìn)一步計(jì)算出絲桿的熱變形量ΔLi。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與熱誤差模型參數(shù)辨識(shí)

3.1 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)求解模型參數(shù)

建立的數(shù)控機(jī)床Z軸絲桿熱誤差模型能適應(yīng)環(huán)境溫度的變化，為了求解模型中的未知參數(shù)，需要在不同環(huán)境溫度下采集機(jī)床Z軸的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（包括電流大小、絲桿運(yùn)轉(zhuǎn)速度快慢、絲桿變形量）和環(huán)境溫度變化，從而獲得熱變形規(guī)律曲線。在自然情況下，由于每天的環(huán)境溫度變化幅度較小，環(huán)境溫度引起的變形量也不太明顯，因而需要人為因素加以干預(yù)。機(jī)床的數(shù)據(jù)測(cè)量選在夏季，時(shí)間選在中午時(shí)段，室外溫度約32 ℃。調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)室溫度至20 ℃，以此刻溫度作為實(shí)驗(yàn)測(cè)試的起點(diǎn)時(shí)間，然后再關(guān)閉空調(diào)，使得車間室溫逐漸達(dá)到與室外相近的溫度，并在此段時(shí)間內(nèi)記錄機(jī)床在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的被測(cè)數(shù)據(jù)。測(cè)試對(duì)象為圖2所示的鉆銑攻牙機(jī)，對(duì)機(jī)器連續(xù)采集3 d的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并做好實(shí)驗(yàn)記錄。

為了提高實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確性，需要快速準(zhǔn)確地測(cè)量出環(huán)境溫度的變化，利用紅外線測(cè)溫儀測(cè)量被測(cè)機(jī)床外圍鈑金的溫度，以此來(lái)替代環(huán)境溫度，利用位移傳感器測(cè)量絲桿的尾端熱變形，從而提高實(shí)驗(yàn)精度。機(jī)床運(yùn)行狀態(tài)下的電流大小、絲桿轉(zhuǎn)速等數(shù)據(jù)可通過(guò)數(shù)控操作面板框直接讀取。

絲桿的變形量測(cè)試方法主要分為直接檢測(cè)和間接檢測(cè)。與間接檢測(cè)法相比，直接檢測(cè)法通過(guò)實(shí)時(shí)反映絲桿的長(zhǎng)度變化來(lái)獲取絲桿由固定端到自由端方向的熱變形情況，避免了間接法測(cè)量刀具時(shí)，因主軸箱部件（如滑塊、主軸箱、主軸）的安裝間隙引起的整個(gè)實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差，測(cè)量準(zhǔn)確度更高，直接實(shí)驗(yàn)的測(cè)量?jī)x器及實(shí)驗(yàn)方式如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)儀器及檢測(cè)方式

3.2 熱誤差模型參數(shù)辨識(shí)

對(duì)式（1）～式（9）所建立的能適應(yīng)環(huán)境溫度變化的機(jī)床Z軸絲桿熱誤差模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，即

通過(guò)采集數(shù)控機(jī)床實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中的各項(xiàng)內(nèi)部參數(shù)，對(duì)上式中的系數(shù)進(jìn)行求解計(jì)算。模型中系數(shù)的標(biāo)定如表1所示。

表1 熱位移模型系數(shù)標(biāo)定

經(jīng)過(guò)系數(shù)標(biāo)定后的熱位移模型為

從熱位移模型中可以看出，γL的值在等式右邊的所有計(jì)算項(xiàng)中均有出現(xiàn)，因此需要確立絲桿的熱膨脹系數(shù)γ與絲桿初始長(zhǎng)度L之間的函數(shù)關(guān)系，才可對(duì)式（9）進(jìn)行累加求和計(jì)算。

利用3.1節(jié)中設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)，獲得機(jī)床在運(yùn)行過(guò)程中絲桿溫度變化與絲桿熱位移的部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表2所示。

表2 絲桿在不同溫度下的熱位移數(shù)據(jù)

由物體的熱脹冷縮原理可知，隨著溫度的變化，絲桿的長(zhǎng)度也會(huì)發(fā)生改變。假設(shè)絲桿在初始時(shí)刻的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，任意時(shí)刻的長(zhǎng)度為L(zhǎng)i。絲桿熱膨脹系數(shù)的定義為當(dāng)溫度每升高1 ℃時(shí)，絲桿每米的伸長(zhǎng)量，據(jù)此可以得到絲桿熱膨脹系數(shù)的表達(dá)式為

設(shè)在Ti時(shí)刻絲桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)i，變形量為ΔLi，則

設(shè)在Ti+1時(shí)刻絲桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)i+1，變形量為ΔLi+1，則

由式（10）～式（12）可知熱膨脹系數(shù)的計(jì)算公式為

將熱膨脹系數(shù)的計(jì)算由測(cè)量絲桿的實(shí)時(shí)位置轉(zhuǎn)變?yōu)闇y(cè)量絲桿的實(shí)時(shí)熱位移，從而簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)步驟。由式（13）可知絲桿熱位移變化與絲桿溫度變化的比值則為熱膨脹系數(shù)，即直線斜率。利用表2中采集的數(shù)據(jù)擬合溫度與熱位移之間的線性關(guān)系，如圖6所示，經(jīng)計(jì)算可得熱膨脹系數(shù)γ=4.651×10-3℃。

圖6 熱膨脹系數(shù)線性擬合結(jié)果

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集時(shí)將車間的測(cè)試環(huán)境溫度下限設(shè)置在20 ℃，將此時(shí)的溫度定義為標(biāo)準(zhǔn)溫度，此溫度時(shí)刻我們認(rèn)為物體處在標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度下。由式（10）可知標(biāo)準(zhǔn)溫度下的絲桿原始長(zhǎng)度L為

綜合上述熱膨脹系數(shù)γ的取值大小及絲桿原始長(zhǎng)度L的計(jì)算公式，利用3.1節(jié)采集得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以求出式（9）中熱位移模型的各個(gè)累加項(xiàng)A、B、C，再根據(jù)最小二乘法原理計(jì)算各系數(shù)fk、ka、kb的值。經(jīng)計(jì)算各系數(shù)的取值為fk=1.6511×10－7，ka=2.5458×10－7，kb=1.3801×10－7。利用最小二乘法所得的系數(shù)fk、ka、kb及實(shí)驗(yàn)采集參數(shù)所求得的累加項(xiàng)Y、A、B、C，通過(guò)MATLAB 反求出模型（式（9））中熱位移的預(yù)測(cè)值。

4 模型預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果分析

由圖7 可以得知，在數(shù)控機(jī)床運(yùn)行過(guò)程中，Z軸絲桿的實(shí)際熱位移量與模型計(jì)算所得的預(yù)測(cè)熱位移量的誤差范圍在0.01 mm以內(nèi)，表明了基于空氣對(duì)流散熱和絲桿內(nèi)能變化所構(gòu)建的熱位移模型能適應(yīng)環(huán)境溫度的改變。

圖7 熱位移的試驗(yàn)結(jié)果與模型預(yù)測(cè)結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

為了提高機(jī)床的加工精度，較大的環(huán)境溫度變化對(duì)機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)熱位移的影響不容忽視。本文首先分析了環(huán)境溫度變化對(duì)數(shù)控機(jī)床Z軸絲桿熱位移的影響，構(gòu)建了基于環(huán)境溫度和實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)（電流、速度、位置）的Z軸絲桿熱位移模型，在模型的參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中，無(wú)需在機(jī)床溫度敏感部件上安裝多個(gè)溫度傳感器，節(jié)省了大量成本。該模型創(chuàng)造性地將環(huán)境溫度納入到影響機(jī)床熱誤差的因素之中，并通過(guò)在較大環(huán)境溫度變化的條件下驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。