基于泰勒展開法的結(jié)構(gòu)混合可靠性分析

孟廣偉， 魏彤輝， 周立明， 李鋒

(吉林大學 機械與航空航天工程學院, 吉林 長春 130025)

0 引言

工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中廣泛存在著材料特性參數(shù)、載荷和幾何尺寸等有關(guān)的各種不確定性[1],概率模型是處理上述不確定信息的有效途徑之一。但概率模型對測試數(shù)據(jù)的強依賴性和實際工程中可得數(shù)據(jù)的缺乏，在一定程度上會引起可靠性計算結(jié)果產(chǎn)生較大誤差[2]。近年來發(fā)展起來的非概率區(qū)間分析方法，只需獲取不確定參數(shù)的界限或范圍，得到工程人員的關(guān)注。Ben-Haim等[3]認為由于概率可靠性在概率模型中對小誤差非常敏感,在沒有足夠的信息來支撐概率模型時，宜采用區(qū)間集合模型來描述不確定性。Qiu 等[4]提出了不確定性、非隨機參數(shù)的非概率區(qū)間模型，并采用子區(qū)間攝動技術(shù)對桁架結(jié)構(gòu)進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。郭書祥等[5]通過將不確定參數(shù)進行區(qū)間描述，提出了一種非概率可靠性的度量體系及分析方法。王曉軍等[6]通過將不確定性信息用區(qū)間集合來描述,提出了一種非概率集合的結(jié)構(gòu)可靠性分析模型。邱志平等[7]以區(qū)間數(shù)學為理論基礎(chǔ),提出了結(jié)構(gòu)靈敏度的區(qū)間分析方法。喬心州等[8]通過理論及實例對區(qū)間分析法和凸模型方法的求解結(jié)果進行比較，得出區(qū)間分析法更接近Monte Carlo仿真(MCS)方法的解區(qū)間。云永琥等[9]用區(qū)間變量對梁結(jié)構(gòu)的不確定變量進行描述，建立了梁結(jié)構(gòu)共振非概率可靠性模型，并結(jié)合優(yōu)化方法求解其可靠性指標。

結(jié)構(gòu)的某些不確定性參數(shù)在實際工程中已累積大量的樣本，但另外一些不確定性參數(shù)由于測試難、成本高等問題只能獲得少量的樣本。因此，采用單一的概率或者區(qū)間不確定模型難以進行有效分析。為了解決此類問題，目前已有學者研究了概率與區(qū)間混合不確定性模型及其可靠性分析問題。Du等[10]提出了一種可靠性優(yōu)化方法，以解決概率變量和區(qū)間變量混合的不確定性問題。王軍等[11]提出了一種新的概率- 非概率模型，通過一個典型結(jié)構(gòu)和一個機翼下壁加筋板論證了混合模型的有效性。肖寧聰?shù)萚12]對認知不確定性用區(qū)間變量進行建模，隨機不確定性用隨機變量進行描述，建立了基于均值1階鞍點近似的不確定性統(tǒng)一分析模型。文獻[13-16]基于概率模型和非概率區(qū)間模型，提出了多種高效的混合可靠性分析方法。孫文彩等[17]根據(jù)隨機- 區(qū)間變量耦合性質(zhì)的不同，將問題劃分為4類，并建立了相應(yīng)的可靠度指標。劉帥杰等[18]采用區(qū)間與概率混合可靠性分析方法對星載網(wǎng)狀天線的展開過程可靠性進行了分析和評估。盡管目前已有許多關(guān)于概率與區(qū)間混合模型的可靠性研究，但是，一方面這些方法大多需要對功能函數(shù)迭代以求得最可能失效點，而功能函數(shù)在迭代過程中可能存在不收斂的情況；另一方面在工程實際中，往往需要先已知基本變量的統(tǒng)計矩，再得到其概率分布。但由于信息的缺乏，獲得的數(shù)據(jù)往往只能描述變量的統(tǒng)計參數(shù)，而它們的一些分布概型不能被準確地確定，若分布概型推斷錯誤，則將對失效概率計算結(jié)果會產(chǎn)生較大誤差。

本文結(jié)合區(qū)間泰勒展開法、降維算法、四階矩法進行結(jié)構(gòu)的混合可靠性分析。運用區(qū)間泰勒展開理論和降維算法，將功能函數(shù)展開為只含n個一維隨機變量函數(shù)的和函數(shù)；利用泰勒展開方法并結(jié)合隨機變量的前4階中心矩，計算得到功能函數(shù)的前4階中心矩；借助于四階矩法，最終計算得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的失效概率區(qū)間。

1 區(qū)間泰勒展開

若結(jié)構(gòu)中存在隨機變量和區(qū)間變量，則結(jié)構(gòu)功能函數(shù)表達式為

Z=g(x,yI)，

(1)

(2)

直接求解混合結(jié)構(gòu)的失效概率是非常困難的，本文將區(qū)間問題轉(zhuǎn)換為近似的確定性問題。為此，將g(x,yI)在區(qū)間變量yI的中點yc作泰勒展開，并忽略高階項，可得

(3)

(4)

(5)

式中：gR(x,yI)和gL(x,yI)分別表示功能函數(shù)的上界和下界。

2 降維算法

結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(x,yI)可表達為遞增層級的低階函數(shù)的和函數(shù)，其一般形式為

(6)

式中:g0為常數(shù)項；gi(xi,yI)為變量xi和yI共同作用時對結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的1階表達；gij(xi,xj,yI)為變量xi、xj和yI共同作用時對結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的2階表達；隨后各項分別反映了逐漸增加的所有變量共同作用時對結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的影響。

隨機樣本降維(RS-HDMR)方法和中心切面降維(Cut-HMDR)[20-21]方法是兩種常用的降維方法。本文在Cut-HMDR方法的基礎(chǔ)上采用一種基于原始輸入- 輸出關(guān)系的替代模型。在Cut-HDMR方法中，通過g(x)輸入空間中與中心點c=(c1,c2,…,cn)相關(guān)的信息來近似地表達g(x)，則展開的各分項表達式為

(7)

文獻[22]指出，對于充分光滑的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，高階項對其影響要小于低階項，因此，只保留低階項可以近似表示功能函數(shù)。

在矩法計算和可靠性分析中，文獻[23]指出中心點c的最優(yōu)點值為各變量的均值μx.

綜上可得n維函數(shù)g(x,yI)的單變量表達形式為

(8)

式中：g(xi,yI)=g(μx1,…,μxi-1,xi,μxi+1,…,μxn,yI)為一維函數(shù)；g(x0,yI)=g(μx1,…,μxi,…,μxn,yI)為常數(shù)項。

由(8)式可得功能函數(shù)的近似表達，主要是將高維函數(shù)g(x,yI)展開為由n個一維函數(shù)g(xi,yI)疊加的形式。

3 功能函數(shù)統(tǒng)計矩

在工程結(jié)構(gòu)的可靠性分析中，點估計法是求解功能函數(shù)統(tǒng)計矩比較常用的方法。但點估計法只用到隨機變量的前3階矩，改進后也可用到第4階矩，但計算精度都不如泰勒級數(shù)展開[24]，且點估計法也會受到均值、變異系數(shù)等諸多因素的影響導致計算結(jié)果精度下降。因而本文借助于泰勒展開理論，得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的前4階中心矩。

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(12)

4 結(jié)構(gòu)失效概率計算

由第3節(jié)得到功能函數(shù)上界和下界的統(tǒng)計矩后，可基于矩估計法來計算失效概率區(qū)間。Zhao等[25]依據(jù)所研究問題的不同復(fù)雜程度，分別采用極限狀態(tài)函數(shù)的2階矩、3階矩和4階矩來計算失效概率。其中，二階矩法和四階矩法比較容易實現(xiàn)且四階矩法的精度較高。因此，本文結(jié)合功能函數(shù)上界的前4階矩，得到失效概率上界表達式為

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(14)

(15)

(16)

(17)

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5 數(shù)值算例

算例1考慮如下的極限狀態(tài)方程：

(19)

式中:x1、x2和x3為隨機變量，其分布類型和分布參數(shù)如表1所示。y1和y2為區(qū)間變量，其取值范圍分別為[2.821 5,2.878 5]和[1.485,1.515].

為了驗證本文方法的有效性，此算例中給定了隨機變量的分布類型，以便與區(qū)間MCS方法[26]進行對比，圖3是區(qū)間MCS方法計算流程圖。

表1 基本變量的統(tǒng)計特征值

在結(jié)構(gòu)可靠度計算中，區(qū)間MCS方法被認為是一種準確的計算方法。在操作系統(tǒng)為Windows 7、處理器為Intel Core i7、安裝內(nèi)存為8 GB的配置環(huán)境下運行，表2是算例1的失效概率計算結(jié)果。由表2可得，本文區(qū)間MCS方法的樣本數(shù)為107，其中區(qū)間變量的劃分數(shù)目為20，且在運行時間遠低于區(qū)間MCS方法的基礎(chǔ)上，本文失效概率上界和下界的相對誤差僅為1.59%和0.95%，與區(qū)間MCS方法計算所得結(jié)果基本一致。

表2 算例1失效概率結(jié)果

算例2某型號貨車車架為邊梁式結(jié)構(gòu)，由主縱梁、副縱梁各1根，橫梁共6根所組成，各梁之間主要通過螺栓、鉚釘和部分焊接連接而成。該車型的額定載重是2.5 t，長度是4.633 m，寬度是1.69 m，高度是0.17 m，使用的材料是Q235-A鋼。車架相應(yīng)的荷載參數(shù)如表3所示[27]。

表3 某型貨車車架荷載參數(shù)

車架的垂直剛度對于車架的整體性能非常重要，因此需要進行可靠性分析。用垂向最大位移來代表垂直剛度，可以得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)如下：

Z=dmax-d(x,yI)，

(20)

式中:dmax=0.92 mm和d分別表示垂向可允許最大位移和垂向?qū)嶋H位移。假設(shè)：駕駛室的重量為F1；儲油箱的重量為F2；貨物的重量為F3；彈性模量為E.F1、F2和F3為隨機變量，其分布參數(shù)如表4所示。E為區(qū)間變量，其取值范圍為[207.9 GPa,212.1 GPa]。其中，隨機變量F1、F2和F3因樣本容量不足，無法準確獲知其分布類型，因此只給定其統(tǒng)計矩。為更真實地獲得車架的受力情況，建立了貨車車架的有限元模型，如圖4所示。

表4 某型貨車車架參數(shù)統(tǒng)計表

依據(jù)本文方法，首先利用降維算法，將結(jié)構(gòu)功能函數(shù)進行單變量降維表達，再將所得降維表達式進行泰勒展開，利用(4)式和(5)式，獲得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)上界和下界的表達式；由于降維后的功能函數(shù)上界和下界表達式仍然是隱性函數(shù)，因此，本文調(diào)用貨車車架結(jié)構(gòu)的有限元程序，得到其相應(yīng)的最大位移；結(jié)合給定的隨機變量前4階中心矩，利用(9)式～(12)式，最終獲得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)上界的統(tǒng)計矩，同理可得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)下界的統(tǒng)計矩；將所獲矩信息作為系數(shù)代入(13)式～(18)式中，即可獲得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)下界的失效概率，同理可得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)上界的失效概率區(qū)間。在較短運行時間的情況下，本文計算所得失效概率區(qū)間為[0.064 53, 0.089 24].

若將本算例中區(qū)間變量E的取值范圍表示為[Ec-βEc,Ec+βEc]，其中中心值Ec=2.1×105，β為偏離中心值的偏差系數(shù)。圖5中給出了β取0.005、0.010、0.015、0.020、0.025時概率分析方法和本文分析方法的失效概率變化趨勢。從圖5中可以看出，隨著β的增大，本文分析方法的失效概率區(qū)間也越來越大。

若采用概率分析方法，將區(qū)間變量E設(shè)為隨機變量，均值取Ec，標準差為βEc/3. 從圖5中可以看出，概率分析方法的失效概率值介于本文分析方法失效概率上界和下界之間，表明本文方法的正確性。另外，本文分析方法失效概率上界大于概率分析方法的失效概率值，說明本文方法更安全，且更符合工程實際。

6 結(jié)論

本文提出了一種帶區(qū)間變量的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，并在工程實際中得到了應(yīng)用。所得主要結(jié)論如下：

1)利用泰勒展開和降維算法建立結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的一維隨機變量降維表達式，無需運用多重積分對功能函數(shù)的統(tǒng)計矩進行計算，無需迭代搜素最可能失效點。

2)結(jié)合四階矩概率分析方法，給出求解隨機- 區(qū)間混合模型最大失效概率的具體步驟，可對變量分布類型未知的混合模型進行可靠性分析。

3)數(shù)值算例表明本文方法不僅具有計算時間少、收斂速度快等優(yōu)點，而且可處理功能函數(shù)為隱式或高維非線性的失效概率計算問題。