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    基于近似技術(shù)的雙層規(guī)劃進(jìn)化算法

    2022-08-24 06:30:26沈瑜李和成陳黎娟
    計(jì)算機(jī)應(yīng)用 2022年8期
    關(guān)鍵詞:下層算例雙層

    沈瑜,李和成,陳黎娟

    (青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西寧 810008)

    0 引言

    在工程和經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域,經(jīng)常出現(xiàn)具有遞階結(jié)構(gòu)的決策問題,這類問題中決策者處在不同的層次上。首先,處在上層的決策者為了優(yōu)化自己的目標(biāo),提出一個決策方案;處在下層的決策者根據(jù)上層提供的方案,選擇一個下層問題的最優(yōu)決策方案并反饋上層;上層結(jié)合下層反饋的方案評價自己給出的方案,該過程持續(xù)進(jìn)行,直到使上層目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。這類具有遞階嵌套結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題稱為多層優(yōu)化問題[1],其中雙層規(guī)劃問題(BiLevel Programming Problem,BLPP)最為常見,一般模型可表示如下:

    式(1)和式(2)分別稱為上層問題和下層問題。其中:x=(x1,x2,…,xn) ∈Rn和y=(y1,y2,…,ym) ∈Rm分別稱為上、下層問題的決策變量;F(x,y):Rn+m→R 是上層問題的目標(biāo)函數(shù),f(x,y):Rn+m→R 是下層問題的目標(biāo)函數(shù);G(x,y):Rn+m→Rp和g(x,y):Rn+m→Rq分別為上層和下層問題的約束函數(shù)。式(1)的決策過程可以表述如下:首先上層決策者在上層可行區(qū)域選擇一個變量值x。將x作為一個參數(shù),求解下層規(guī)劃問題(2),得到下層規(guī)劃問題(2)的最優(yōu)解y。如果得到的(x,y)滿足上層問題(1)的約束條件,則稱(x,y)為雙層規(guī)劃問題(1)~(2)的一個雙層可行點(diǎn)。求解式(1)~(2)的目的就是在可行解集中選擇使上層目標(biāo)F(x,y)最小的雙層可行點(diǎn)。如果對于一個給定的上層變量x,下層問題存在多個最優(yōu)解y與其對應(yīng),這種情況涉及下層最優(yōu)解的選擇,不同的選擇模式有不同的雙層規(guī)劃模型[2]。為了使雙層規(guī)劃問題結(jié)構(gòu)簡潔,在設(shè)計(jì)算法時更多地關(guān)注問題的遞階結(jié)構(gòu),現(xiàn)有的文獻(xiàn)通常假設(shè)下層問題的最優(yōu)解是唯一的[3]。本文的目的是提高算法處理遞階結(jié)構(gòu)的能力。因此,仍然保留下層問題最優(yōu)解唯一的假設(shè)。

    雙層模型的應(yīng)用領(lǐng)域很廣泛。在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中,使用化肥可以提高生產(chǎn)率,但過度使用會導(dǎo)致環(huán)境污染,針對這類問題,文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一個雙層模型研究化肥對環(huán)境的影響;文獻(xiàn)[5]討論了核武器攔截、關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施捍衛(wèi)等安全問題,建立了相應(yīng)的雙層規(guī)劃模型;文獻(xiàn)[6]開發(fā)了一種基于雙層互補(bǔ)模型的決策工具,用于確定貧乏市場中最有利的交易;文獻(xiàn)[7]針對整車物流服務(wù)供應(yīng)鏈的訂單分配問題,提出了考慮多種運(yùn)輸方式的雙層訂單分配模型。雙層優(yōu)化模型的其他應(yīng)用,參見文獻(xiàn)[8-11]。

    目前求解雙層規(guī)劃問題的方法主要可分為三大類:

    1)基于梯度的經(jīng)典優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[12-13]利用K-K-T(Karush-Kuhn-Tucker)條件將雙層規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單層規(guī)劃問題,但轉(zhuǎn)化后的模型具有復(fù)雜的約束域;針對整數(shù)線性雙層規(guī)劃,文獻(xiàn)[14]提出了一個分支定界法;文獻(xiàn)[15]利用K-K-T 條件和最優(yōu)值條件將雙層模型轉(zhuǎn)化為單層優(yōu)化模型,通過求解單層問題獲得原問題的最優(yōu)解;對于弱線性雙層規(guī)劃問題,文獻(xiàn)[16]給出了一個罰函數(shù)法;文獻(xiàn)[17]利用罰函數(shù)法和K-K-T 條件設(shè)計(jì)了求解非線性雙層規(guī)劃問題的算法。這些經(jīng)典的優(yōu)化方法在求解速度上相對較快,但大部分算法要求函數(shù)具有凸可微或線性等性質(zhì),普適性不高。另外,分支定界方法在問題規(guī)模較大時,計(jì)算量增長很快,很難推廣到大規(guī)模問題。

    2)進(jìn)化方法。文獻(xiàn)[18]針對分類特征選擇的雙層規(guī)劃設(shè)計(jì)了一種新的遺傳算法;文獻(xiàn)[19]針對下層為線性分式的非線性雙層規(guī)劃問題提出了一種基于二進(jìn)制編碼的遺傳算法;文獻(xiàn)[20]研究了一類區(qū)間雙層規(guī)劃問題,提出了一種基于線性分式最優(yōu)性條件的進(jìn)化算法;針對一般的非線性雙層規(guī)劃問題,文獻(xiàn)[21]提出了一種協(xié)同進(jìn)化算法;文獻(xiàn)[22]基于新的選擇方式和混沌搜索方法,設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的遺傳算法;為了求解隨機(jī)雙層規(guī)劃問題,文獻(xiàn)[23]提出了一種基于空間系統(tǒng)采樣技術(shù)的元啟發(fā)式算法。單一的進(jìn)化算法雖然不需要函數(shù)凸可微,具有較好的普適性,但是往往會涉及過多的適應(yīng)度函數(shù)評估,產(chǎn)生較大的計(jì)算量。

    3)混合方法。文獻(xiàn)[24]提出了一種基于模擬退火Metropolis 準(zhǔn)則的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法,該算法設(shè)計(jì)的目的是解決粒子群優(yōu)化算法求解雙層規(guī)劃問題時易陷入局部最優(yōu)解的問題;文獻(xiàn)[25]提出了一種混合啟發(fā)式方法求解p中值雙層問題;對于單目標(biāo)雙層規(guī)劃問題,文獻(xiàn)[26]提出了一種將全局搜索和局部搜索結(jié)合的模因算法;文獻(xiàn)[27]提出了基于多種群的多正弦余弦算法;文獻(xiàn)[28]提出了采用靈敏度分析技術(shù)的粒子群分布估計(jì)算法?;旌戏椒ńY(jié)合多種算法的優(yōu)勢處理雙層問題,整體搜索效果好。然而,由于算法的復(fù)合結(jié)構(gòu),嵌入算法的節(jié)點(diǎn)、參數(shù)的調(diào)試是個比較復(fù)雜的問題,直接影響算法的求解效率。

    眾所周知,導(dǎo)致雙層規(guī)劃問題計(jì)算量大的原因是頻繁計(jì)算下層問題。因此,要想顯著降低雙層規(guī)劃的計(jì)算量,必須減少下層問題的求解次數(shù)。Sinha 等[29]利用多值映射的方式近似下層解函數(shù),Liu 等[30]利用插值函數(shù)近似下層問題的最優(yōu)解,這些近似技術(shù)極大地提高了算法的計(jì)算效率,但不足的是需要構(gòu)造插值函數(shù)或映射,且更新過程的計(jì)算量隨問題規(guī)模的增加快速增長,本身也會產(chǎn)生較大的計(jì)算量。

    為了解決上述問題,本文針對具有上下層約束的一般雙層規(guī)劃,基于參數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解理論,提出了一種基于下層解近似技術(shù)的進(jìn)化算法。與現(xiàn)有的近似技術(shù)相比,本文算法不需要設(shè)計(jì)近似函數(shù),在獲得下層最優(yōu)解方面能真正減少計(jì)算量。

    1 基本概念

    本文討論的雙層規(guī)劃問題中,上下層函數(shù)沒有特殊限制,這一點(diǎn)與線性、二次等特殊模型不同,更有一般性。為了敘述方便,引進(jìn)一些符號和概念[3]。

    2 本文算法

    本文算法采取了多種群協(xié)同進(jìn)化的模式。協(xié)同進(jìn)化不僅考慮了局部個體信息的充分交換,而且為下層解的近似估計(jì)提供了便利。下面分別給出算法的各個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

    步驟1 種群初始化。

    首先在上層可行區(qū)域內(nèi)均勻產(chǎn)生K個點(diǎn)xck(k=1,2,…,K),即K個上層變量值;然后,在以這K個點(diǎn)為中心的鄰域內(nèi)均勻產(chǎn)生-1 個點(diǎn)。共得到M個點(diǎn),不妨設(shè)這M個點(diǎn)均在上層決策空間的投影區(qū)域內(nèi),如若不然,重新產(chǎn)生即可。這些點(diǎn)組成規(guī)模為M的初始種群,個體記為xi(i=1,2,…,M)。同時,這些個體根據(jù)與K個中心個體xck的距離聚類為K組,即,初始種群P(0)由K個子種群P1、P2、…、PK組成,每個小種群包含個個體。將xi(i=1,2,…,M)代入下層問題中解出下層問題的最優(yōu)解yi(i=1,2,…,M)。令代數(shù)t=0。

    步驟2 個體評估。

    以上層目標(biāo)函數(shù)F(x,y)為適應(yīng)度函數(shù)。根據(jù)評估結(jié)果,選出種群中最好的個體,并存儲在最優(yōu)解集合A中。

    步驟3 交叉操作。

    由于參數(shù)優(yōu)化理論,最優(yōu)解對參數(shù)具有一定的依賴性,因此,本文算法中交叉后代盡可能在距離較近的個體之間產(chǎn)生。在子種群Pk(k=1,2,…,K)中,以交叉概率Pc隨機(jī)選擇兩個距離較近的個體xi和xj進(jìn)行交叉操作,產(chǎn)生的后代個體為:

    其中:λ∈(0,1)。根據(jù)產(chǎn)生的xc,對應(yīng)的下層最優(yōu)解通過如下方式近似:

    交叉過程如圖1(a)所示。交叉父代個體處于上層決策空間中,實(shí)心圓點(diǎn)和空心圓點(diǎn)表示隨機(jī)選擇的父代個體,小三角表示交叉后代。下層決策空間中,實(shí)心圓點(diǎn)和空心圓點(diǎn)表示父代個體對應(yīng)的下層最優(yōu)解,小三角表示交叉后代的下層近似解。子種群的設(shè)計(jì)限定了交叉父代個體之間的距離,在一定程度上保證了近似解的準(zhǔn)確性。

    步驟4 變異操作。

    在種群P(t)中,以變異概率Pm隨機(jī)選擇個體xi進(jìn)行高斯變異操作,其后代個體為:

    并給出其對應(yīng)的近似下層最優(yōu)解:

    其中:β~N(0,1)。

    計(jì)算后代個體xm與K個中心個體(k=1,2,…,K)的距離,并將變異后代放入距離近的子種群。

    變異過程如圖1(b)所示:上層決策空間中,實(shí)心圓點(diǎn)表示父代個體空心圓點(diǎn)通過高斯變異產(chǎn)生的后代個體;下層決策空間中,空心圓點(diǎn)表示父代個體對應(yīng)的下層最優(yōu)解,該點(diǎn)進(jìn)行同樣的變異操作產(chǎn)生的后代個體是對應(yīng)的下層近似最優(yōu)解(實(shí)心圓點(diǎn))。在種群中進(jìn)行的變異會在這個約束域內(nèi)產(chǎn)生點(diǎn),具備全局搜索的功能,有助于保持算法的開采能力。

    圖1 交叉操作和變異操作示意圖Fig.1 Schematic diagrams ofcrossover operation and mutation operation

    步驟5 后代個體預(yù)評估。

    對于產(chǎn)生的后代個體,包括交叉?zhèn)€體和變異個體,計(jì)算下層近似最優(yōu)解yi,然后將(xi,yi)代入上層目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)。若(xi,yi)不滿足約束,則賦予較大的目標(biāo)函數(shù)值;否則,以上層目標(biāo)函數(shù)值為該個體的預(yù)評估值,之所以稱之為預(yù)評估值,是因?yàn)橄聦硬]有獲得精確的最優(yōu)解。

    步驟6 驗(yàn)證后代種群的擬合程度。

    在子種群Pk(k=1,2,…,K)中,隨機(jī)選擇M3K個較好個體進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證過程如下:將經(jīng)過交叉或變異操作后的個體xi代入下層問題中,得到其精確最優(yōu)解,則對應(yīng)的精確可行解為(xi,)。比較F(xi,yi)與F(xi,)的大小關(guān)系。若式(8)成立,則認(rèn)為擬合程度好;反之,則認(rèn)為擬合程度不好。

    γ為充分小的正數(shù);α為擬合系數(shù),α值越小說明擬合程度越好,反之亦然。根據(jù)擬合程度檢驗(yàn),通過設(shè)定閾值,可得到擬合程度較好的子種群和擬合程度較差的子種群。

    步驟7 選擇操作。

    步驟8 算法停止。

    如果滿足停止標(biāo)準(zhǔn),則輸出集合A中的解;反之,令t=t+1,執(zhí)行步驟3。

    本文算法流程如圖2 所示。

    圖2 本文算法的流程Fig.2 Flowchart of the proposed algorithm

    本文算法的主要目的是減少下層問題的計(jì)算頻次,最終達(dá)到提高計(jì)算效率的目的。首先根據(jù)歐氏距離對種群個體進(jìn)行聚類形成子種群,其次交叉在子種群內(nèi)部進(jìn)行。由于個體間的距離較近,因此,兩個父代個體交叉產(chǎn)生的后代在父代個體附近??紤]到上層變量的不同只導(dǎo)致下層問題參數(shù)的不同,基于靈敏度分析理論,最后采用比例近似技術(shù)估計(jì)后代個體對應(yīng)的下層最優(yōu)解。這個技術(shù)有效避免了對下層問題的頻繁求解,減少了計(jì)算量,這是與現(xiàn)有算法的本質(zhì)不同。

    本文算法對問題涉及的函數(shù)、變量等無特殊要求,具有較好的普適性,因此,可用于處理線路優(yōu)化、軟件設(shè)計(jì)、資費(fèi)設(shè)置等領(lǐng)域內(nèi)的雙層規(guī)劃模型。

    在雙層規(guī)劃常見的算例中任選一個,具體如下:

    對于?x∈[0,5],式(10)的誘導(dǎo)區(qū)域?yàn)椋?/p>

    在圖3 中,實(shí)線部分為式(10)的誘導(dǎo)區(qū)域。在種群進(jìn)化過程中,抽取了10 對父代個體,給出了對應(yīng)后代及近似下層解,并對每個后代計(jì)算了精確的下層最優(yōu)解。所有數(shù)據(jù)見表1。

    圖3 式(10)的誘導(dǎo)域Fig.3 Inducible region of Equation(10)

    表1 近似下層解和精確下層解Tab.1 Approximate and precise follower solutions

    表1 數(shù)據(jù)顯示,大部分下層最優(yōu)解小數(shù)點(diǎn)后兩位是一致的,僅僅最后一個個體出現(xiàn)了大于10-2的誤差,說明由近似技術(shù)得到的后代個體準(zhǔn)確性較高。表2 給出了近似解的目標(biāo)函數(shù)值和精確解的目標(biāo)函數(shù)值,它們的絕對誤差均小于給定的閾值(最后一列,取γ=0.01)。根據(jù)表1~2 中的數(shù)據(jù)分別繪制擬合曲線,見圖4~5。從圖4~5 的曲線和點(diǎn)的擬合程度可知,由近似技術(shù)得到的近似后代個體與精確后代個體的位置大部分是重合的,意味著本文提出的近似技術(shù)是可行有效的。

    圖4 下層解的散點(diǎn)圖Fig.4 Scatter diagram of follower solutions

    表2 目標(biāo)函數(shù)值的誤差Tab.2 Errors of objective function values

    圖5 目標(biāo)函數(shù)曲線圖Fig.5 Curves of objective functions

    3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

    3.1 測試函數(shù)與應(yīng)用算例

    算例1[31]:

    本文選取了10 個算例作為測試函數(shù),其中,算例1~2 是整數(shù)線性雙層規(guī)劃,選自文獻(xiàn)[31];算例3~5 是混合整數(shù)雙層規(guī)劃,選自文獻(xiàn)[32];算例6~10 是一般類型的雙層規(guī)劃,選自文獻(xiàn)[29]。算例1 的上層決策變量的維數(shù)是4,下層決策變量的維數(shù)是2;算例2 的上層決策變量的維數(shù)是4,下層決策變量的維數(shù)是3,并且上層規(guī)劃問題是一個0-1 規(guī)劃問題。算例6~8 的上層或下層目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)。算例10的上層目標(biāo)函數(shù)是不可微的,下層目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)。這些算例是雙層規(guī)劃算法常見的測試函數(shù)。本文算法在這10個算例上分別進(jìn)行了仿真測試。

    為了說明本文算法在求解實(shí)際應(yīng)用問題方面的有效性,考慮實(shí)踐常見的資費(fèi)設(shè)置問題,該問題的模型如下:

    其中:集合G表示起點(diǎn)-終點(diǎn)的組合;集合D表示網(wǎng)絡(luò)圖中點(diǎn)的集合;集合B表示的是網(wǎng)絡(luò)圖中弧(路)的集合。B1表示收取通行費(fèi)的弧(路)的集合,B2表示不收取通行費(fèi)的?。罚┑募?。在雙層規(guī)劃模型中,上層決策變量xa表示道路a∈B1的通行費(fèi)用,由上層決策者直接控制;下層決策變量表示起點(diǎn)到終點(diǎn)的車流量。i+(i-)表示以i作為起點(diǎn)(終點(diǎn))的路的集合。每一條路a∈B都提供了駕駛這條路的行駛成本ca,該成本不包括通行費(fèi)用。對于每一組g∈G,從起點(diǎn)o(g)到終點(diǎn)d(g)的需求車輛數(shù)為ng。上層目標(biāo)函數(shù)(12)需要使收費(fèi)站的收益最大化,下層目標(biāo)函數(shù)(13)傾向于使用戶的支出最小化。

    該模型對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見圖6,其中:

    圖6 道路網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銯ig.6 Road network topology

    為了簡潔,記該應(yīng)用算例為算例11[33]。

    3.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

    實(shí)驗(yàn)中用到的參數(shù)取值如表3 所示,對每個測試函數(shù)算法獨(dú)立運(yùn)行20 次,記錄得到的最優(yōu)解。

    表3 相關(guān)參數(shù)及取值Tab.3 Related parameter and their values

    3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

    表4 中測試算例1~10 為獨(dú)立運(yùn)行20 次后上層目標(biāo)函數(shù)的最好值、最差值和均值,對比算法為文獻(xiàn)[31-32,29]算法;算例11(應(yīng)用實(shí)例)的對比算法為文獻(xiàn)[33]算法。

    從表4 可看出:

    表4 上層目標(biāo)函數(shù)值的最好值、最差值和均值Tab.4 Best values,worst values and mean values of leader objective functions

    1)前10 個算例中,本文算法相較于對比算法,找到的最優(yōu)解相同或更好(算例8 為更好)。本文算法找到每個算例上層目標(biāo)函數(shù)值的最好值、最差值和均值都一致,說明算法穩(wěn)定可行。在測試算例8 上,本文找到的上層目標(biāo)函數(shù)值(最好值、最差值和均值)都比相應(yīng)文獻(xiàn)中的最好值好,說明本文算法有較強(qiáng)的全局搜索能力。

    2)對于算例11(應(yīng)用實(shí)例),本文算法找到了比文獻(xiàn)[33]算法更好的上層目標(biāo)函數(shù)值,并且上層目標(biāo)函數(shù)最好值、最差值和均值一致,說明用該算法求解應(yīng)用實(shí)例——資費(fèi)設(shè)置問題是可行有效的。

    表5 為10 個測試算例上獲得的最優(yōu)解對比,表6 為最優(yōu)解對應(yīng)的下層目標(biāo)函數(shù)值對比。從表5~6 可看出,本文算法在算例8 中均能找到更好的最優(yōu)解。

    表5 本文算法和比較算法的最優(yōu)解對比Tab.5 Best solutions comparison of the proposed algorithm and compared algorithms

    表6 最優(yōu)解對應(yīng)的下層目標(biāo)函數(shù)值Tab.6 Follower objective function values corresponding to best solutions

    為了檢測算法的計(jì)算時間,以算法找到最優(yōu)解為停止標(biāo)準(zhǔn),記錄了算法找到最優(yōu)解時的平均CPU 時間(CPU)。為了顯示近似技術(shù)的有效性和比較的公平性,以本文算法為框架,對每個上層變量均求解下層問題,同樣以該算法找到最優(yōu)解為停止標(biāo)準(zhǔn),獲得下層最優(yōu)解,記錄算法所需的CPU 時間(Update All CPU,UACPU),所有數(shù)據(jù)見表7。由表7 可知,UACPU 時間較長,CPU 時間較短,說明近似技術(shù)能有效提高找到最優(yōu)解的速度,減少運(yùn)行時間。對于求解資費(fèi)設(shè)置問題,本文算法能提高計(jì)算效率。

    表7 本文算法的CPU時間和UACPU時間比較Tab.7 Comparison of CPU time and UACPU time of the proposed algorithm

    4 結(jié)語

    為了減少雙層規(guī)劃的計(jì)算量,本文提出了一種基于近似技術(shù)的進(jìn)化算法。本文算法通過多種群協(xié)同進(jìn)化的方式,僅僅求解部分下層問題,由近似技術(shù)得到下層問題的近似最優(yōu)解,并根據(jù)小種群的擬合程度選取下一代個體,最終獲得問題的全局最優(yōu)解。本文算法在保證計(jì)算精度的同時,節(jié)約了大量的下層計(jì)算量。本文算法未構(gòu)造插值函數(shù)和映射,在計(jì)算框架上更簡潔。

    下一步,將研究算法中一些關(guān)鍵參數(shù)的取法,在自適應(yīng)分組、近似技術(shù)改進(jìn)等方面開展工作,提高算法在解決復(fù)雜優(yōu)化問題方面的效率。

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