一維歐拉液滴模型的局部適定性

郭嘉敏，魏 龍

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

自然界中，經(jīng)常遇到攜帶顆粒的空氣流，人們把對這種空氣流的預(yù)測應(yīng)用到工業(yè)和醫(yī)療領(lǐng)域，例如對顆粒在口咽或肺內(nèi)氣道中的傳播和沉積的預(yù)測有助于設(shè)計吸氣器[1]。飛機飛行過程中，大氣中的液滴撞擊機翼，足夠低的外界溫度致使機翼結(jié)冰，如果一些碎冰被卷進發(fā)動機的燃燒室，可能導致熄火，嚴重影響正常飛行。Bourgault等[2]提出一種空氣流歐拉模型，用于預(yù)測飛機飛行中液滴對機翼的撞擊。目前，關(guān)于歐拉液滴模型的研究大多集中在兩方面：一是研究模型本身的性質(zhì)，例如對模型的解進行穩(wěn)定性分析等[2]；二是利用模型的性質(zhì)解決航空航天和工業(yè)生產(chǎn)等實際問題，例如運用歐拉液滴模型模擬機翼結(jié)冰，開發(fā)飛行結(jié)冰的仿真[3]。近幾年，關(guān)于一維歐拉液滴模型的理論研究取得了一些成果。Keita等[4]分別求解帶有源項的無粘Burgers方程及其子系統(tǒng)的黎曼問題，解決了歐拉液滴模型的黎曼問題；Zhang等[5]引入一種特殊的變量代換，得到一維歐拉液滴模型的三角沖擊波和真空解，相比文獻[4]的方法，更有利于工程人員理解和解決實際問題；Shen[6]對歐拉液滴模型的黎曼問題展開研究，在更一般的空間內(nèi)獲得了三角沖擊波等不連續(xù)的顯式解。本文主要研究一維歐拉液滴模型的具體形式，證明其在Sobolev空間中的局部適定性。

1 一維歐拉液滴模型

假設(shè)忽略重力的一維歐拉液滴模型為：

(1)

式中，α是液滴的體積占比，u是顆粒(液滴)的速度，ua是載流體(通常情況下為空氣)的速度，μ是顆粒和載流體之間的阻力系數(shù)，μ>0。Bourgault等[2]在1999年提出了歐拉液滴模型，主要用于預(yù)測飛機飛行時液滴對機翼的撞擊。為了便于研究，通常將ua和μ取為常數(shù)。對一維歐拉液滴模型的理論研究更多的是獲得黎曼解，而解的適定性、爆破等方面的分析較少。為此，本文主要研究一維歐拉液滴模型解的局部存在性和唯一性。

令v=ua-u，將方程組(1)轉(zhuǎn)化為如下形式：

(2)

2 局部適定性

為了研究一維歐拉液滴模型的局部適定性，介紹如下引理。

為了簡便書寫，下文用Hs表示Hs(R)，L∞表示L∞(R)，L2表示L2(R)。

引理1[7]令f，?xu∈Hs∩L∞，s是非負整數(shù)，則有

引理2[8]令?xf∈Hs∩L∞，?xg∈Hs-1∩L∞，s>0，則有

或者

一維歐拉液滴模型的解在Hs空間中的局部適定性有如下結(jié)論。

運用經(jīng)典的能量方法和輸運方程理論來證明定理。這些方法廣泛應(yīng)用于研究其他方程的適定性問題[10-11]。

證明首先，運用能量方法證明一維歐拉液滴模型解的存在性。能量方法的關(guān)鍵在于得到解關(guān)于時間的局部先驗估計，而近似方程解序列的逼近是一個標準的過程[12]，本文不多加贅述。

對所有項求和，其中k=1,2,…,s-1，得到如下等式：

(3)

式(3)左邊兩項分別為：

(4)

(5)

運用引理1估計式(3)右邊項，得到：

因此有：

(6)

將式(4)—式(6)代入式(3)，得到：

(7)

將算子Λs作用在方程組(2)中第2個方程的兩邊，再與Λsv作L2內(nèi)積，得到：

(8)

對式(8)的第1，2，4項分別估計，得到：

(9)

估計式(8)的第3項，由引理2知

(10)

結(jié)合式(8)—式(10)得到

(11)

將式(7)和式(11)相加，得到：

從而有：

最終得到：

(12)

然后，證明方程組(2)解的唯一性。令(α1,v1)，(α2,v2)是式(2)的2個解，且定義α12=α1-α2，v12=v1-v2，則有：

對2個方程分別運用引理4，得到如下估計：

(13)

(14)

運用引理2，對式(13)、式(14)中的項做估計，得到：

將式(13)和式(14)相加，得到：

(15)

對式(15)運用Gr?nwall不等式，得到：

(16)

綜上2部分證明可知，一維歐拉液滴模型的解在Hs(R)空間上是局部適定的。證畢。

3 結(jié)束語

本文針對一維歐拉液滴模型的解在Hs(R)空間上的局部適定性展開研究，運用經(jīng)典的能量方法和輸運方程理論得到一維歐拉液滴模型解的存在唯一性結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，后續(xù)將繼續(xù)研究該模型解的全局適定性、爆破準則以及持續(xù)衰減等問題。