分類思想在小學數學教學中的應用

林 森

(哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校 小學部，黑龍江 哈爾濱 150000)

數學的分類思想方法最早正式提出是在20世紀末，有學者從不同的方面給“分類”下定義。第一種觀點是從概念的性質出發(fā)闡述分類思想，1986年劉忠智在《數學中的思維方法》一書中，根據事物的本質將分類定義為：“分類是根據對象的共同點和差異點，將對象區(qū)分為不同種類的邏輯方法。”第二種是從邏輯學的角度進行闡述，1993年張奠宙、過伯祥在其《數學方法論稿》中說明分類是解決復雜問題的方法之一。第三種是在解題思路中提出分類思想。

我國在《義務教育數學課程標準(2011年版)》中新增了“基本思想”要目，意在讓學生在學習知識的同時也能掌握數學思想。而在眾多思想中又強調了“分類思想”，意在讓學生會用分類的思想去解決問題，但一線教師對于應該如何踐行仍然存在盲區(qū)。本文結合了當前國內研究者的研究成果，進一步思考了分類思想在小學數學教學中如何應用，試圖尋找到在小學數學教學中應用分類思想的較佳途徑，以便讓教師會教，學生愛學，寓教于樂。

一、分類思想的概念及其教育價值

分類思想是眾多數學思想方法中的一種，更是小學階段需要掌握的一種非常重要的思想方法，是根據數學對象的某些共同屬性和不同屬性，將其分成幾個不同種類，從而進行研究問題或解決問題的一種數學思想。它既是一種重要的數學思想，也是一種重要的數學邏輯方法。有關分類思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。分類思想不像有些數學知識那樣，通過幾節(jié)課的教學就可讓學生掌握應用，而是要根據學生的年齡特征，在學生學習的各階段逐步滲透，螺旋上升，不斷豐富其內涵，從而達到利用分類思想來解決問題的目的。分類思想具有以下教育價值：

1.體會分類是認識事物的基本方法

教師在教授學生時，可以結合教材和生活中的分類活動，讓學生體會分類思想。例如，在人教版小學數學一年級上冊準備課中，就引導學生結合自己的生活經驗和對事物的認知將主題圖中的事物先進行分類，再數出每類事物的個數?？梢姀男W生入學的那一刻起就開始接觸分類思想，也正說明分類思想是認識事物的基本方法。

2.通過分類培養(yǎng)思維邏輯的嚴謹性

分類思想是按照一定的標準把事物分為幾類，逐一探討每一類并得出結論，最后把結論匯總得出問題答案的一種數學思想，因此有助于培養(yǎng)小學生思維的嚴謹性。例如，在小學階段有一類題是：“a，b，c三點在一條直線上，a和b相距500米，b和c相距100米，問a和c相距多少米？”想要解決這類問題，需要先將問題分為“a與c在b的同一側”和“a與c在b的不同側”兩類。如果學生只考慮到“同一側”這種情況，那給出的答案一定是不全面的。所以，基于分類思想可以習得化整為零、逐一擊破、聚零為整的方法，為學生日后在初、高中學習分類討論方法打下堅實的基礎。

3.通過分類掌握知識之間的緊密聯系

部分數學知識有多種性質，當研究這類數學知識時，可以從不同的方面進行研究。但是每一次只能選取一個標準進行分類，而不能同時選取幾個不同的標準進行分類，因為分類要做到嚴謹、統(tǒng)一、不反復和不疏漏。同時，能正確對知識進行分類的學生可以更清楚地掌握知識之間的緊密聯系和擁有良好的認知結構。例如，小學階段對自然數的分類，根據不同的分類標準自然數既可以分成奇數和偶數，也可以分成質數、合數和1。也就是說，之所以3既是奇數又是質數，是因為分類標準的不同，這樣的分類有利于學生掌握知識之間的緊密聯系。

4.通過分類將概念細致化

學生理解數學概念，一定會經過概念細致化這一步驟，而分類正是完成這一步驟的重要手段。例如，學生剛初步認識角，教師要幫助學生對角的內涵進一步理解，引導學生知道什么樣的角是直角和比直角小的角叫銳角，比直角大的角就叫鈍角，這樣，自然而然就將這一階段的角分成三類。教材上也會同步出現練習題，如給出一個角，讓學生判斷是銳角、直角還是鈍角。通過這一過程使學生理解不同類型的角，用分類的方式將學生對概念的認識細致化。

二、分類思想在小學數學教學中的體現

筆者對小學數學人教版1-5年級共10冊教材中有關分類思想的內容進行分析和梳理，如下表：

知識名稱教材分布數與代數認識人民幣一年級下冊長度單位二年級上冊克和千克二年級下冊數字編碼三年級上冊公頃和平方千米四年級下冊方程的意義五年級上冊奇數與偶數質數與合數五年級下冊圖形與幾何認識圖形(一)一年級上冊認識圖形(二)一年級下冊角的初步認識二年級上冊四邊形三年級上冊直線、射線、線段角的分類四年級上冊三角形的分類四年級下冊分類與整理分類與整理一年級下冊

1.“方程的意義”案例分析

小學生初次接觸方程，還不清楚什么叫做方程，但是頭腦中已經對“等號”“大于號”“小于號”和“未知數”這些感念及符號有了認知。我們可以通過學生對這些知識的基礎認知，將其進行分類：根據符號可以分為“是等式”和“不是等式”，根據未知數可以分為“含有未知數的式子”和“不含未知數的式子”。知道了這些，學生就能清楚地知道，將式子按照這兩個標準分類后，只要這個式子既屬于“等式”一類，又屬于“含有未知數”一類，那它就是方程。這是小學高年段接觸到的復雜一些的分類思想。

2.“三角形的分類”案例分析

在對三角形進行分類的時候，教師完全放手，讓學生自由發(fā)揮。個別學生可能會將三角形分為五類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，等腰三角形和等邊三角形，這是因為學生沒有搞清楚分類標準。教師應及時引導學生思考它是按照什么標準進行分類的，并且告訴學生進行分類每次只能夠選取一個標準，對于三角形來說要么選取“角”作為分類標準，要么選取“邊”作為分類標準，不能同時選擇。

在后面的練習題中也加強了對這一知識點的鞏固，教材71頁練習十六第5題給出四句話：有一個直角，有兩條邊相等；只有兩個銳角，沒有直角；三個角相等；沒有直角和鈍角。讓學生選擇這四句話描述的三角形。以“有一個直角，有兩條邊相等”為例，“有直角”所以我們判斷它是直角三角形，可“同時有兩條邊相等”那么它也是等腰三角形。正是因為根據不同的標準進行分類，所以一個三角形才可能既是直角三角形又是等腰三角形。同時也要提醒學生在做這類題時，一定要根據不同的分類標準進行思考，不要根據一種標準有了答案后就不思考其他標準，所以說學習分類思想也有助于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性。

3.“分類與整理”案例分析

“分類與整理”一課是小學生學習統(tǒng)計與概率部分的第一課，可見分類思想的重要性。同時“分類與整理”一課也是小學生第一次接觸分類思想，意在讓學生根據事物的表面特征(如顏色、形狀等)進行分類。但要想使學生能根據事物的隱性特征對事物進行分類還需要進一步的學習。除此之外，案例中幫助商店阿姨將氣球分類，以便于顧客更加方便的找到自己想買的東西，也使學生明白將學習用品和生活用品分類整理，會使學習和生活更加規(guī)律，這都是分類思想帶給我們的好處。

三、小學數學教學中應用分類思想的原則

只有了解分類思想的原則才能更好地進行數學教學。分類思想包含如下原則：

1.層次性原則

作為小學教師首先要明確小學教材中所有含有分類思想的知識點；其次要細化分類思想，清楚它們的層次；最后要爭取讓分類思想更多的體現在課堂上，盡可能讓分類思想與本身的教學內容相呼應，將二者整合為一體，使學生更加容易接受。對于學生來說，分類思想的形成要比對知識的理解和掌握難得多，所以分類思想教學應與學生的自身水平相匹配，遵循層次性原則，層層遞進，直到學生掌握。

2.滲透性原則

分類思想一定是同數學知識一起進行教學，但又不同于數學知識教學。在進行分類思想教學時，需要以數學知識為載體，以滲透的方式進行教學。任何數學思想方法都是數學知識的精髓，它們藏于數學知識之中，需要教師從數學知識中將分類思想提煉出來。要想這一過程正確而完整，就要求教師必須要認真鉆研教材，這是數學知識教學中滲透分類思想的一大前提。對學生來說，分類思想的學習要難于數學知識的學習，所以要想學生能夠更好的掌握分類思想，教師應創(chuàng)造一個合理又有趣的情境，在情境中將分類思想滲透給學生，使學生感受到應用分類思想的快樂。

3.概括性原則

所謂概括性原則就是將教材中的分類思想概括出來，這樣做可以使學生更加清晰地知道什么時候可以用或必須用分類思想解決問題，加強學生應用分類思想的意識，形成獨立分析問題、解決問題的能力。概括分類思想一般有兩步：一是指出分類思想的作用，使學生明白運用分類思想是為了更好、更快地解決問題，從而愿意去用分類思想解決問題；二是指出分類思想與已知數學知識的內在聯系，當我們看見什么樣的信息時才會用分類思想來解決問題，加強提煉分類思想的練習，使學生在頭腦中對應用分類思想有更加清晰的認識。

4.實踐性原則

學生能否熟練地運用分類思想，在于平時進行的數學練習。實踐性原則就是先讓學生自己發(fā)現一類題的不同解法，并在不同解法里找出最好的一種，通常這一種解法就是蘊含數學思想方法的解法。所以教師在教授分類思想時，可以先尋找出這類題，自己加以變換，比如更改成對學生有吸引力的情景、改變題中的數據等，這樣多練幾道。所謂實踐出真知，學生自己在實踐中發(fā)現的知識記得一定更牢，用起來也得心應手，同時還能培養(yǎng)學生自己尋找問題最優(yōu)解法的能力。

四、學生在分類思想習得中存在的問題

通過了解小學生對于分類思想的掌握程度，不難發(fā)現其存在的問題。

1.分類意識的發(fā)展較弱

學生應用分類思想的意識還不夠成熟。具體來說，學生在分析問題時，想到的知識還比較狹隘，注意不到問題中的關鍵字或關鍵詞，從而想不到應用分類思想解題。部分學生當面對上學期學過的知識時，也只是能在專項訓練時才能夠想到使用分類思想解題，甚至有的學生根本沒有應用分類思想的意識，說明應用分類思想的意識水平有待提高。

2.學生描述分類標準的能力一般

大多數學生能根據各事物的特點找出它們的相同點和不同點，并且能用準確的語言描述出將事物分類的標準，但是還有極少同學難以描述幾何圖形的分類標準。

3.缺乏解決實際問題的能力

很多學生都是為了分類而分類，而完成分類后，卻沒有考慮到有的情況不符合題意需要排除；有的學生對分類思想有恐懼心理，容易將簡單的題目復雜化，從而遺漏了最基本的分類。

4.分類的條理性和全面性不足

面對清晰的生活問題時，學生能夠進行有條理的分析，可是一旦面對復雜的數學問題，部分學生的分類就會很混亂，甚至出現重復的現象。在這個維度中，由于具體形象思維占主導地位，學生在面對“圖形與幾何“部分的題進行分類時會比較吃力，大部分學生沒能進行完整的分類；而在解決具體情境中的分類問題時，大部分學生卻能無遺漏的分類。

5.沒有興趣很難掌握分類思想

數學興趣對學生掌握分類思想有一定的影響。雖然有數據顯示，不是對數學學習的興趣越高，數學分類思想的發(fā)展就會越好，但是幾乎對數學學習不感興趣的學生，對分類思想的掌握程度都不好，所以對數學學習不感興趣是學生學習分類思想的一大障礙。

6.未掌握分類思想的學生成績低

學生對分類思想的掌握情況與學生平時的數學成績有關，數學成績越好的學生，對分類思想的掌握情況就越好，總體呈正相關。從中也表明分類思想對于小學生非常重要。小學的知識是環(huán)環(huán)相扣的，學生能否對分類思想掌握并熟練的運用會影響學生的數學成績。

五、學生應用分類思想的策略

1.抽象分類的標準

學生要先搞清楚運用分類思想是有標準的，針對不同的問題會有不同的分類標準。低年級的學生更擅長于對具體形象事物進行分類，比如可以把已學的四邊形分成長方形和正方形，等到了中年級依舊有這一特點。可是這時的學生已經會接觸到抽象的分類標準，所以就需要在這一學段結合已有的對圖形的分類標準加強對抽象分類標準的訓練。

2.完善分類的條理性及全面性

學生進行分類時，很重要的一點就是需要有條理。有調查發(fā)現，低年級的部分學生在進行分類時條理性較弱，很多學生能迅速進行分類的都是簡明的問題，一旦面對稍復雜的問題就會出現重復或遺漏等現象，這正是條理性較弱的表現。為使學生在運用分類思想時可以有條理，在一年級學習數的分解或組成時就應有條理的進行。學生應用分類思想不單要有條理，還要全面。沒能全面的將問題進行分類，相當于沒有分類。如何才能使學生全面、完整地進行分類呢？這就需要學生找出問題中的全部顯性條件以及隱性條件，條件找全了，分類自然就容易完整而全面了。

3.增強學習分類思想的興趣

低年級的學生都愛幫大人做事情，教師和家長可以利用這一點，請學生將生活中的常見物品分類擺放，并說出學生分類擺放“好在哪里”來表揚學生，使學生既愛分類，又能分好類。

4.培養(yǎng)分類意識,提高學習成績

當學生分析問題時，發(fā)現問題不能夠被整體解決，這時就要想到運用分類思想來解決，將大問題分成各類小問題，再逐一解決。雖然看似簡單，但也是需要一定的練習量才能做到。在分類的過程中會有顯性分類和隱性分類，顯性分類幾乎所有學生都能完成，所以真正需要注意的是隱性分類。隱性分類沒用明顯的分類標準，但是遇到這類題時往往題干中會有明顯的字眼來提示學生，這和平常的問題有所不同，因此就需要學生格外細心去注意隱性分類。長此以往，學生運用分類思想的意識得到了發(fā)展，學習成績也會隨之提高。