基于觀測器的馬爾科夫跳變系統(tǒng)的滑?？刂茊栴}

胡顯偉

（沈陽市藝術(shù)幼兒師范學校，遼寧 沈陽 110015）

由于Markov跳變系統(tǒng)具有廣泛的適用性和簡單的數(shù)學描述，使其在控制領(lǐng)域得到了越來越多的關(guān)注［1-2］。而半Markov 跳變系統(tǒng)比Markov 跳變系統(tǒng)有更加廣泛的實際應(yīng)用，如航空航天系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和電力控制系統(tǒng)等［3-6］，這使得半Markov 跳變系統(tǒng)逐漸成為當前的研究熱點，并出現(xiàn)了許多重要的理論成果［7-8］。

在現(xiàn)實世界的系統(tǒng)中存在時滯，時滯存在于觀測的信號、控制輸入和系統(tǒng)的狀態(tài)等系統(tǒng)的各個部分。時滯分為兩種：不變時滯和時變時滯。時變時滯的應(yīng)用更加廣泛，并且有更低的保守性，使得關(guān)于時變時滯的研究得到了廣大學者的關(guān)注［9-11］。

滑?？刂圃隰敯艨刂品椒ㄖ衅鹬e足輕重的作用，是非常高效的非線性控制方式，具有控制結(jié)構(gòu)簡單、反應(yīng)迅速等優(yōu)點?；？刂品绞降脑恚菏紫仍O(shè)計了一種理想的滑模面，然后設(shè)計一種理想的控制器使系統(tǒng)狀態(tài)在有限的時間內(nèi)到達滑模面上?；诨？刂?，文獻［12］考慮了半Markov 跳變模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定問題，文獻［13］研究了Markov跳變中立系統(tǒng)。

針對基于滑模觀測器的Markov跳變系統(tǒng)的混合H∞和無源控制問題，本文設(shè)計了1 個觀測器來測量1 個未知系統(tǒng)的狀態(tài)，設(shè)計的反饋控制器和滑模面可以使閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定并且滿足混合H∞和無源的性能指標。最終通過仿真，證明了所提理論的優(yōu)越性和合理性。

1 問題描述

考慮以下帶有外部干擾的非線性系統(tǒng)：

式中，x(t)∈Rn、u(t)∈Rm、?(t)∈Rq、y(t)∈Rp和z(t)∈Rq分別是系統(tǒng)狀態(tài)、控制器、外部擾動、系統(tǒng)輸出和控制輸出；f(r(t),t,x(t),x(t-Γ(t,rt)))∈Rm是連續(xù)的非線性函數(shù)；Γ2為時變時滯的上界；φ(θ)是初值，θ∈[-Γ2,0]；為了方便計算，Λ(rt=i)用矩陣Λi來表示，i∈S；Ai、Adi、Bi、Hi、Cxi、Ci、D?i分別為常數(shù)矩陣；未知項ΔAi和ΔAdi范數(shù)有界。Mi、Ni、Ndi為常數(shù)矩陣；Ξ(i,t)滿足Ξ(i,t)TΞ(i,t)≤I，?i∈S且[ΔAiΔAdi]=MiΞ(i,t)[Ni Ndi]成立，其中{rt,t≥0} 是Markov過程。

在集合S={1,2,…,s} 中，概率矩陣為

假設(shè)1 非線性函數(shù)f(r(t),t,x(t),x(t-Γi(t)))滿足

式中，?1=max{?1i}；?2=max{?2i}；?1i和?2i為非負常數(shù)。

假設(shè)2 時變時滯滿足Γ1i(t)≤Γi(t)≤Γ2i(t)，≤μi≤1，μi(i=1,2)是已知的常數(shù)。

引理1 矩陣D和E具有合適的維數(shù)，當ε＞0、0＜P∈Rn×n、Γ(t)TΓ(t)≤I時，下面不等式成立：

引理2 常數(shù)?＜β，矩陣M＞0，向量x:[?,β]→Rn，則下式成立：

若矩陣Q＞0，向量函數(shù)x:[?,β]→Rn，則：

定義1 對于Tp≥0 和非零?(t)∈L2[0,∞)，γ(γ＞0)是混合H∞與無源的性能指標。當初值為0時，下式成立：

備注2：當性能指標α=1 時，稱為H∞性能指標；當性能指標α=0 時，稱為無源性能指標；當性能指標α∈(0,1)時，稱為混合H∞和無源性能指標。

2 主要結(jié)果

考慮一個合適的觀測器來估計非線性系統(tǒng)的未知狀態(tài)，該觀測器為

令e(t)=x(t)-，e(t)代表測量誤差，則：

式中，ey(t)表示測量的輸出誤差。

2.1 積分滑模面設(shè)計

設(shè)計一類積分滑模面：

式中，Ki是控制器增益；是觀測器初值；當S(t)=0 和=0 時，狀態(tài)估計能夠到達滑模面。因此，可得等效控制器Ueq(t)=-(GiBi)-1GiLiCie(t)。

將Ueq(t)帶入式（7），可得動態(tài)滑模方程：

式中，BGi=I-Bi(GiBi)-1Gi。

2.2 穩(wěn)定性分析

定理1 對于常數(shù)γ＞0，0＜Γ1＜Γ2，0＜k＜1，0＜μi＜1，其中i=1,2。如果存在對稱正定矩陣Pi、Si、Q1、Q2、Q3、Q4、Q5、Q7、Q8和參數(shù)ε1i、ε2i、ε3i、ε4i，?i∈S，使得下列不等式成立：

證明：首先，設(shè)計一個新的李雅普諾夫函數(shù)：

從李雅普諾夫函數(shù)中可得?V1：

則?V2和?V3分別為

式中，πij≥0。

當i≠j，πii≤0時：

將式（9）引入?V3可得：

基于牛頓萊布尼茲公式可知：

基于上述分析，當t＞0 時，可得J(t)≤0，系統(tǒng)具有混合H∞和無源的性能，證畢。值得注意的是當?(t)=0時，閉環(huán)系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。

基于schur 引理，式（11）左右分別乘對角陣diag{Xi Xi Xi Xi Xi Xi Xi I I I Xi I}和其轉(zhuǎn)置?？芍剑?1）等價于式（25）。

2.3 滑?？刂坡实脑O(shè)計

定理3滑?？刂坡蕿?/p>

式中，h為特別小的常數(shù)且滿足h＞0，則可以到達滑模面S(t)=0上。

證明：選擇李雅普諾夫函數(shù)

對式（28）進行求導可得：

由式（29）可推出

3 數(shù)值仿真

通過仿真證明理論的可行性和合理性。

其他參數(shù)為ε1i=ε2i=0.5、ε3i=0.4、ε4i=0.2、a=0.5、d1=0.1sint、d2=0.6 cost；時滯導數(shù)的最大上界為μ1=0.2、μ2=0.25，且參數(shù)γ1=1；外部擾動?(t)=0.2?exp(-100t)；非線性函數(shù)fi(t,x(t),x(t-Γi(t,rt)))=0.05sin(100x1(t))。

基于線性不等式，可得K1=[11.215 6-3.966 8]、K2=[8.572 2-3.324 2]、。

圖1 至圖5 分別為例1 的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)圖、切換函數(shù)、系統(tǒng)的控制輸入、觀測系統(tǒng)狀態(tài)并包含系統(tǒng)的切換信號和系統(tǒng)的誤差軌跡。

圖1 例1的狀態(tài)軌跡

圖2 例1的切換函數(shù)

圖3 例1的控制輸入

圖4 例1的觀測狀態(tài)

圖5 例1的估計誤差

表1 參數(shù)在不同模態(tài)下的取值

表1 參數(shù)在不同模態(tài)下的取值

表2 單連桿機器人手臂模型中參數(shù)的意義和大小

表2（續(xù)）

圖6 至圖10 分別為例2 的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)圖、切換函數(shù)、系統(tǒng)的控制輸入、觀測系統(tǒng)狀態(tài)并包含系統(tǒng)的切換信號和系統(tǒng)的誤差軌跡。

圖6 例2的狀態(tài)軌跡

圖7 例2的切換函數(shù)

圖8 例2的控制輸入

圖9 例2的觀測狀態(tài)

圖10 例2的估計誤差

4 結(jié)論

針對一類具有時變時滯、擾動和不確定因素的非線性半Markov 跳變系統(tǒng)，本文研究了觀測器設(shè)計和滑模控制問題。所得結(jié)論如下：

1）設(shè)計了一類模態(tài)依賴的Lyapunov 函數(shù)，得到了充分條件，使半Markov 跳變系統(tǒng)實現(xiàn)漸進穩(wěn)定，在存在外部干擾并具有混合H∞和無源的性能的情況下得到的充分條件有更低的保守性；

2）基于線性矩陣不等式，得到了控制器的增益矩陣，最終通過仿真證明了該方法的優(yōu)越性和合理性。