考慮荷載P-Δ 效應(yīng)的陡坡段橋梁基樁變形計(jì)算

楊明輝，李俊儒，付大喜

（1.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410082；2.北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044）

隨著西部山區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施（如高速公路、高速鐵路等）的大力修建，出現(xiàn)了越來(lái)越多的位于陡坡上的橋梁樁基礎(chǔ).由于特殊的地形特點(diǎn)，相比平地基樁，陡坡基樁具有以下三個(gè)突出特點(diǎn)［1-7］：1）橫向承載能力弱，邊坡一側(cè)土體的缺失造成土體的抗力顯著降低，且淺層尤為明顯；2）具有較長(zhǎng)的自由段，樁頂與邊坡垂直距離大而形成較長(zhǎng)自由段；3）承載復(fù)雜，承受豎向自重荷載、橫向邊坡荷載等荷載的耦合作用.因而陡坡基樁的P-Δ效應(yīng)將更為顯著，從而造成安全隱患.可見(jiàn)，合理考慮P-Δ放大效應(yīng)成為陡坡段基樁設(shè)計(jì)計(jì)算的關(guān)鍵問(wèn)題.

P-Δ效應(yīng)即結(jié)構(gòu)的側(cè)向位移與豎向荷載引起的二階效應(yīng)，屬于經(jīng)典的結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題［1］.對(duì)于基樁結(jié)構(gòu)P-Δ效應(yīng)，考量的關(guān)鍵則在于土體作用力的合理模擬.近年來(lái)，已有大量國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了研究.一方面，如Sastry 和Meyerhof 等［8-10］對(duì)傾斜荷載下基樁承載力性能進(jìn)行了大量的室內(nèi)模型試驗(yàn)研究，從而給出單樁承載力的半經(jīng)驗(yàn)公式，該公式中包含了P-Δ效應(yīng)的影響；趙明華等［11-12］分別采用m法和C 法考慮P-Δ效應(yīng)，推導(dǎo)得到了傾斜荷載作用下單層均質(zhì)土中基樁內(nèi)力及位移的冪級(jí)數(shù)解；邢康宇等［13］通過(guò)引入雙曲線型水平荷載傳遞模型考慮樁-土體系的非線性變形情況，導(dǎo)得可考慮P-Δ效應(yīng)與橫向荷載共同作用下高樁基礎(chǔ)水平響應(yīng)的非線性有限差分解；欒魯寶等［14］給出了黏彈性土中考慮P-Δ效應(yīng)時(shí)基樁水平振動(dòng)的解析解答；Zhang 等［15］、Zhu等［16］和Zhang 等［17］分別采用水平彈簧和豎向彈簧來(lái)模擬樁-土相互作用，導(dǎo)得了軸、橫向荷載同時(shí)作用時(shí)單樁響應(yīng)的半解析解等.另一方面，不少學(xué)者直接采用半數(shù)值方法建立剛度矩陣來(lái)考慮該問(wèn)題.如鄒新軍等［18］基于地基加權(quán)剛度的概念考慮地基土成層、非均勻性及大變形，建立了傾斜荷載下基樁的有限元-有限層模型；趙明華、李微哲等［19-20］則計(jì)入土體剪切變形，建立了可考慮二階效應(yīng)的桿單元?jiǎng)偠确匠?，并基于MATLAB程序給出了解答.

上述方法均僅針對(duì)平地上的基樁，關(guān)于陡坡基樁的P-Δ效應(yīng)問(wèn)題，目前研究較少.僅有尹平保等［21-22］基于彈性地基梁的假設(shè)，給出了陡坡樁樁基承載力的冪級(jí)數(shù)解答，趙明華等［23］在類(lèi)似假定條件下給出了相應(yīng)的有限差分解答，但二者均假定土體為支撐彈簧，從而無(wú)法考慮土體連續(xù)性以及樁土之間復(fù)雜的三維相互作用，而數(shù)值方法雖可避開(kāi)該問(wèn)題，但顯然求解過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，不便于實(shí)際工程應(yīng)用.鑒于此，本文基于變分原理，考慮樁周土體連續(xù)性、樁土整體系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)換及P-Δ效應(yīng)導(dǎo)得陡坡段基樁復(fù)雜荷載作用下樁身響應(yīng)的半解析解，并開(kāi)展室內(nèi)小模型試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證與對(duì)比分析；最后，對(duì)影響陡坡段基樁P-Δ效應(yīng)的主要因素進(jìn)行了探討，供工程設(shè)計(jì)參考.

1 計(jì)算模型

1.1 計(jì)算模型分析

如前所述，由于基樁地理位置特點(diǎn)及荷載的復(fù)雜性，基樁水平變形極易引起豎向力附加效應(yīng)（P-Δ效應(yīng)）.因此，建立基樁-土體一體化模型，重點(diǎn)分析樁土變形對(duì)二階效應(yīng)的影響，如圖1 所示.基樁總長(zhǎng)為L(zhǎng)p，截面半徑為rp，樁身抗彎剛度為EpIp，基樁的自由段長(zhǎng)度以L0表示，并在樁頂分別承受水平向荷載P0、豎向荷載N0以及外部彎矩M0，陡坡的坡角為β.為分析樁周巖土體的非均值性，假定土體分為n層.為方便分析，以樁基自由段樁頂中心為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系.

圖1 陡坡段基樁受力模式Fig.1 Force model of single pile in steep slope section

1.2 土體位移模式

在樁-土一體化系統(tǒng)中，計(jì)算土體位移的關(guān)鍵在于確定土體的變形模式.考慮到實(shí)際工程中安全性要求，仍假定樁土始終變形協(xié)調(diào)，受荷過(guò)程中樁土界面接觸緊密.樁土位移場(chǎng)域描述為：受到樁身位移影響的土體位移場(chǎng)是以樁身軸線為圓心的圓柱體位移場(chǎng)，在遠(yuǎn)離樁基礎(chǔ)一定距離后，土體位移遞減至零［24-30］.Sun［28］和Basu等［29］認(rèn)為與側(cè)向荷載相關(guān)的垂直位移uz可以忽略不計(jì)，土體的徑向和切向水平位移可以由柱坐標(biāo)r、θ、z表示.為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文沿用該模式，且認(rèn)定邊坡始終穩(wěn)定，則在樁身影響范圍內(nèi)，土體的位移可以近似寫(xiě)成：

式中：ur和uθ分別為土體單元在徑向及切向的位移分量；?r（r）和?θ（r）是土體位移衰減函數(shù).土體單元到樁身的距離用r表示，顯然，當(dāng)r增大至臨空面時(shí)，土體衰減函數(shù)為零.

由土體位移的方程即可導(dǎo)得土體應(yīng)變和樁身?yè)锨灰频年P(guān)系，見(jiàn)式（2）.

2 陡坡段樁土體系能量方程建立

2.1 系統(tǒng)總能量方程建立

陡坡樁-土體系總勢(shì)能方程由樁身屈曲應(yīng)變能Πpile、陡坡土體應(yīng)變能Πsoil以及外部荷載做功Πl(fā)oad組成：

方程（3）中前三項(xiàng)分別為樁身彈性形變能、成層樁周土體應(yīng)變能以及樁底虛土樁土體應(yīng)變能，后三項(xiàng)則為作用在樁頂?shù)乃胶奢d做功、外加彎矩做功以及樁身豎向軸力做功.εpq、σpq分別為應(yīng)力和應(yīng)變張量.將土體應(yīng)力張量方程（2）代入總勢(shì)能方程（3），根據(jù)最小勢(shì)能原理取總勢(shì)能變分為零，則方程（3）可改寫(xiě)為：

合并所有含有撓度w及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，利用分部積分法將其中高階變分項(xiàng)改寫(xiě)成只含有δw和其一階導(dǎo)數(shù)的方程，可以得到：

再合并總勢(shì)能方程得變分形式（4）中所有含有φθ、φr以及二者相關(guān)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)：

2.2 求解微分控制方程

根據(jù)最小勢(shì)能原理，當(dāng)系統(tǒng)在外力作用下處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，將存在一組滿(mǎn)足邊界條件的位移使系統(tǒng)的總勢(shì)能最小，即存在一組滿(mǎn)足邊界條件的位移使系統(tǒng)總勢(shì)能的變分等于零，使方程（5）中有關(guān)樁身水平位移變分項(xiàng)為零，將δw前系數(shù)均取為0，從而得到不同區(qū)域樁身控制微分方程及其對(duì)應(yīng)的邊界條件.

當(dāng)0＜z＜L0時(shí)，控制方程如式（9）：

當(dāng)0＜z＜Lp時(shí)控制方程如式（10）（下標(biāo)表示對(duì)應(yīng)的土體分層）所示：

邊界條件：當(dāng)z=0時(shí)（即頂部自由），

當(dāng)z=L0（基樁與陡坡交接處）時(shí)，

當(dāng)z=Hi（土層交接處）時(shí)，

當(dāng)z=Lp時(shí)，則有：

同樣通過(guò)將方程（7）中與衰減函數(shù)相關(guān)項(xiàng)的變分取為0 的方式得到關(guān)于土體徑向和切向衰減函數(shù)的控制微分方程以及其邊界條件：

土體徑向和切向位移在樁身處與樁身位移相等，衰減函數(shù)取值為1，隨著與樁身距離增大，位移逐漸減小至0.由于陡坡斜角β的存在，衰減函數(shù)的邊界條件會(huì)隨著不同土層變化，臨空面以外的土體位移全部視為0，由此可得土體衰減函數(shù)的邊界條件如式（17）：

其中rsi為當(dāng)前所在土層Hi中某深度z處對(duì)應(yīng)的基樁節(jié)點(diǎn)到陡坡臨空面的距離.由基樁和陡坡面的幾何關(guān)系可知rsi=（z-L0）/tanβ.

2.3 迭代求解

樁身控制方程和土體衰減函數(shù)的控制方程不是通常的高階微分方程，兩個(gè)方程存在一定程度的耦合，利用一般方法無(wú)法得到準(zhǔn)確解析解.因此，采用差分方法寫(xiě)出差分形式的方程，同時(shí)利用軟件MATLAB 編寫(xiě)計(jì)算程序進(jìn)行迭代計(jì)算得到控制方程的半解析解.

如圖2 所示，將樁周土體分為n段，土層以上自由段長(zhǎng)為L(zhǎng)0，同時(shí)將自由段分為k0個(gè)節(jié)點(diǎn)，每段長(zhǎng)度為h0，在樁頂以上和地面以下分別取虛擬節(jié)點(diǎn)-2、-1、k0+1、k0+2.將地面以下每個(gè)土層中的樁體劃分為ki段，每段長(zhǎng)度為hi，在每層土層的上下交界處也設(shè)置4個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)-2、-1、ki+1、ki+2.基于上述的節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格劃分，將式（9）和式（10）寫(xiě)成如式（18）和式（19）所示差分形式.

圖2 基樁離散過(guò)程Fig.2 Discrete process of foundation pile

當(dāng)0＜z＜L0時(shí)，

當(dāng)L0＜z＜Lp時(shí)，

樁身控制微分方程在各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的邊界條件［式（11）～式（14）］，同樣寫(xiě)成差分方程的形式.樁頂以及樁端的邊界條件差分形式為：

土層交界處考慮虛擬節(jié)點(diǎn)的邊界條件為：

通過(guò)邊界條件將虛擬節(jié)點(diǎn)用內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移表示，進(jìn)而可得關(guān)于樁身水平位移的變系數(shù)齊次方程組，即組成Kw=F的形式，其中w為各節(jié)點(diǎn)位移組成的位移向量，K為系數(shù)矩陣，其階數(shù)與網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量相同.同樣，土體水平位移衰減函數(shù)φr（r）和φθ（r）的控制微分方程亦可寫(xiě)成相同差分形式進(jìn)行求解.

樁身位移解與土體衰減函數(shù)的解兩者相互關(guān)聯(lián)，式（6）與式（16）分別由衰減函數(shù)和撓度函數(shù)決定，因此需要采取迭代算法求解耦合微分方程.在第一次迭代計(jì)算中，將出現(xiàn)在撓度方程組中的系數(shù)γ1至γ6初步假設(shè)為1，通過(guò)上述解法求解出一個(gè)中間解，再由中間解計(jì)算得到衰減函數(shù)的計(jì)算系數(shù)，并將得到的衰減函數(shù)的中間解重新代入撓度方程組，進(jìn)入第二次迭代.迭代得到撓度方程的解，誤差小于10-6，迭代停止.求解迭代過(guò)程如圖3所示.

圖3 迭代求解流程圖Fig.3 Flow chart of iterative solution

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證前述方法的合理性，設(shè)計(jì)完成了一組室內(nèi)陡坡單樁模型加載試驗(yàn).模型樁采用直徑為25 mm、壁厚為2.5 mm的鋁管，樁長(zhǎng)100 cm，抗彎剛度EI=145.11 N·m2，試驗(yàn)中分別設(shè)置不同的自由段進(jìn)行對(duì)比分析.樁周巖土體選用了兩種不同配合比的石膏、水泥、砂的混合料進(jìn)行模擬以反映樁周巖土體的非均質(zhì)性.混合料用量如表1所示.

表1 混合料用量表Tab.1 Table of mixture consumption

試驗(yàn)過(guò)程中，保持坡上堆載以及樁頂水平荷載不變，樁頭豎向荷載N0分級(jí)施加（圖4），以容許最大位移作為終止加載標(biāo)準(zhǔn)，即樁身地面水平位移或豎向位移達(dá)到0.15 倍樁徑時(shí)認(rèn)為局部巖土體塑性破壞，停止加載.通過(guò)在樁頂布設(shè)百分表2、3（量程30 mm）測(cè)定樁頂水平位移.每根樁前后兩面均對(duì)稱(chēng)布置有應(yīng)變片，每邊各9片，共18片，其尺寸為3 mm×5 mm.由樁身布置的應(yīng)力片測(cè)得樁身內(nèi)力響應(yīng)的變化.

圖4 模型樁加載裝置Fig.4 Loading device of model pile

圖5為不同自由段長(zhǎng)度時(shí)各級(jí)荷載下樁頂水平向位移的計(jì)算值與測(cè)試值的對(duì)比.由圖5可知，理論計(jì)算曲線與實(shí)測(cè)點(diǎn)的趨勢(shì)完全一致，最大誤差僅為6.7%.

圖5 樁頂位移試驗(yàn)與理論對(duì)比Fig.5 Comparison between experimental and theoretical values of pile top displacement

圖6 所示為不同自由段長(zhǎng)度時(shí)各級(jí)荷載下樁身彎矩計(jì)算值與測(cè)試值的對(duì)比情況.由圖6可知，理論計(jì)算值與測(cè)試值吻合較好，而不同自由段長(zhǎng)度的陡坡段橋梁基樁內(nèi)力分布規(guī)律基本一致，即樁身彎矩在地面基樁以下較小范圍內(nèi)即達(dá)到最大值，之后，隨著埋深增加急劇減小，在到達(dá)零點(diǎn)之后，出現(xiàn)反向彎矩，最后衰減至零.若不考慮基樁的P-Δ效應(yīng)，則無(wú)法考慮豎向荷載與水平荷載的耦合效應(yīng).

圖6 樁身彎矩試驗(yàn)對(duì)比Fig.6 Comparison between test value and theoretical value of maximum bending moment of pile

4 參數(shù)分析

以下對(duì)陡坡段基樁P-Δ放大效應(yīng)的主要因素進(jìn)行分析.基本參數(shù)取值如下：總樁長(zhǎng)Lp=30 m，自由段長(zhǎng)度L0=10 m，樁徑d=1.8 m，樁身彈性模量Ep=18 GPa；土體分兩層，其彈性模量分別取Es1=10 MPa，Es2=20 MPa；樁頂水平向荷載P0=200 kN，外部彎矩M0=200 kN·m.

4.1 豎向荷載與水平荷載比值影響分析

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)原理，P-Δ放大效應(yīng)的發(fā)揮與豎向荷載和水平荷載的比值直接相關(guān)，該比值是控制桿體單元穩(wěn)定性的重要指標(biāo).圖7、圖8 分別為水平向荷載與豎向荷載不同取值情況下的陡坡段基樁的位移及內(nèi)力響應(yīng)，為考慮坡度的影響，選擇了3 個(gè)不同邊坡角度進(jìn)行分析.

圖7 不同軸橫向荷載比下的樁身最大水平位移變化規(guī)律Fig.7 Maximum displacement of pile shaft with different axial transverse load ratio

圖8 不同軸橫向荷載比下的樁身最大彎矩變化規(guī)律Fig.8 Maximum bending moment of pile shaft with different axial transverse load ratio

由圖可知，豎向荷載的增大將明顯地增大基樁的水平變形與內(nèi)力值.且其增長(zhǎng)幅度隨豎向荷載的增大而增大，邊坡角度的影響同樣明顯.以水平荷載P0為200 kN 為例，豎向荷載取10 倍水平荷載，當(dāng)陡坡坡角β為30°時(shí)，樁頂最大位移由12.14 mm 增加至13.64 mm，而樁身最大彎矩則由1 114.81 kN·m 增加到1 131.58 kN·m；當(dāng)坡角增大至60°時(shí)，樁頂最大位移增大至16.05 mm，樁身最大彎矩增大到1 187.7 kN·m.由此可以看出隨著坡度角的增大，樁基礎(chǔ)的P-Δ放大效應(yīng)對(duì)位移影響由12.36% 增大至17.67%，對(duì)彎矩影響由1.50%增大至4.96%，表明陡坡角度增大會(huì)加劇基樁變形的P-Δ效應(yīng).

4.2 自由段長(zhǎng)度的影響分析

位于陡坡段的橋梁基樁，一般具有較大的自由段長(zhǎng)度，而通過(guò)基樁自由段長(zhǎng)度和其與總長(zhǎng)度比值，以及基樁所在陡坡的坡角，可確定基樁與坡面的相對(duì)位置.同時(shí)，自由段長(zhǎng)度與樁身水平位移以及樁身最大彎矩有著密切的關(guān)聯(lián)［7］.為研究自由段長(zhǎng)度大小對(duì)陡坡基樁P-Δ效應(yīng)的具體影響，在總長(zhǎng)度相同的情況下，分析不同自由段長(zhǎng)度基樁水平位移及其樁身彎矩的變化規(guī)律，見(jiàn)圖9、圖10.

圖9 不同自由段長(zhǎng)度時(shí)樁頂最大水平位移變化規(guī)律Fig.9 Variation law of pile top maximum displacement with different free length

圖10 不同自由段長(zhǎng)度時(shí)樁身最大彎矩變化規(guī)律Fig.10 Variation law of maximum bending moment with different free length

由圖易知，在相同荷載條件下陡坡樁身水平位移和樁身彎矩隨著自由段長(zhǎng)度增大而增大，且自由段長(zhǎng)度與總長(zhǎng)度比大于1/5 時(shí)，樁身響應(yīng)增長(zhǎng)加快.但亦可看出邊坡的影響，以自由段長(zhǎng)度10 m為例，相比平地情形（β=0°），邊坡角度β=30°時(shí)，考慮P-Δ效應(yīng)與不考慮P-Δ效應(yīng)的最大基樁水平位移差值由4.04 mm 增大到4.71 mm，樁身最大彎矩差值則由354.65 kN·m 增大到405.26 kN·m；而坡角增大到60°時(shí)，該差值則到達(dá)5.78 mm 和472.18 kN·m.位移增幅由16.58%增加至22.72%，最大彎矩增幅由14.26%增加至16.52%.由此可見(jiàn)，邊坡坡度的增大加劇了基樁變形的P-Δ效應(yīng)，因此在對(duì)位于邊坡上的基樁進(jìn)行受力分析時(shí)該效應(yīng)不容忽視.

4.3 土體剛度影響分析

樁周土體的承載弱化效應(yīng)是陡坡段基樁區(qū)別于平地情形的主要特征，為研究該因素對(duì)陡坡段基樁變形P-Δ效應(yīng)的影響，取樁體和平均土層彈性模量比值Ep/Es分別為1 000、2 000、5 000.樁頂水平荷載取為P0=200 kN，彎矩為M0=200 kN·m，豎向荷載取值為N0=4 000 kN.

由圖11、圖12 可知，土體剛度的增強(qiáng)，可明顯地減小基樁的水平位移與彎矩，表明土體約束的強(qiáng)化是減小P-Δ效應(yīng)的重要原因.以Ep/Es=5 000 為例，對(duì)比平層樁和陡坡樁，陡坡基樁最大水平位移由4.67 mm增大至6.08 mm，樁身最大彎矩由23.40 MN·m增大至27.88 MN·m，分別增長(zhǎng)30.19%和19.15%，同時(shí)最大彎矩出現(xiàn)位置會(huì)隨著模量比的增大而下移，進(jìn)一步表示陡坡坡角對(duì)P-Δ效應(yīng)的促進(jìn)作用.

圖11 不同土體剛度對(duì)基樁位移的影響Fig.11 Influence of different soil stiffness on pile displacement

圖12 不同土體剛度對(duì)基樁彎矩的影響Fig.12 Influence of different soil stiffness on pile bending moment

5 結(jié)論

本文引入能量變分原理，對(duì)陡坡段基樁變形的P-Δ效應(yīng)進(jìn)行了模擬，從而為該問(wèn)題的解決提供一種新思路，而后開(kāi)展了相應(yīng)的室內(nèi)模型試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)其影響因素進(jìn)行了分析，結(jié)論如下：

1）基于最小勢(shì)能原理，建立了陡坡段基樁-邊坡土體系統(tǒng)的總能量控制微分方程.結(jié)合不同邊界條件及樁土位移條件，得到了可考慮P-Δ放大效應(yīng)的陡坡段基樁變形的半解析解答.

2）開(kāi)展了陡坡段基樁承受復(fù)雜荷載的室內(nèi)加載試驗(yàn).對(duì)比分析表明，本文理論方法所得基樁變形內(nèi)力與實(shí)測(cè)值吻合良好，可較好地模擬復(fù)雜荷載下陡坡段基樁變形的P-Δ放大效應(yīng).

3）對(duì)影響陡坡段基樁P-Δ放大效應(yīng)的主要因素進(jìn)行了對(duì)比分析.計(jì)算結(jié)果表明，陡坡段橋梁基樁的P-Δ放大效應(yīng)與軸橫向荷載比以及樁頂自由段長(zhǎng)度正相關(guān)，隨著土體剛度的增強(qiáng)而有所減小.量化分析表明，陡坡坡度角增大對(duì)樁體P-Δ效應(yīng)有明顯的加劇作用，坡角的影響不容忽視.