基于隨機響應(yīng)面法的斜坡基樁水平承載可靠性分析

尹平保，王杰，張建仁，王康

（1.長沙理工大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410114；2.橋梁工程安全控制教育部重點實驗室（長沙理工大學(xué)），湖南長沙 410114）

為守護“綠水青山”、實現(xiàn)“碳中和、碳達峰”，在我國西部山區(qū)修建高速公路和鐵路時，主要采用高架橋的方式跨越江河、峽谷或空洞等特殊地區(qū).為此，不可避免地將橋梁基樁設(shè)置在高陡斜坡上.現(xiàn)有研究表明，對位于斜坡上的橋梁基樁，其水平承載特性與常規(guī)的平地基樁差異顯著［1］，為確保斜坡段橋梁基樁的安全與穩(wěn)定，很有必要對其水平承載機理及可靠性展開深入系統(tǒng)的研究.

有關(guān)斜坡基樁水平承載特性，已有部分學(xué)者對其展開了一些有益的研究，如：趙明華等［2-3］根據(jù)高陡斜坡上橋梁基樁的受力特點，通過基樁水平承載極限分析，研究了斜坡坡度、地基抗力折減系數(shù)對樁身水平位移及承載力的影響；Zhuang 等［4］基于抗剪強度折減法，分析了斜坡坡度對基樁安全系數(shù)的影響；Sivapriya 等［5］通過室內(nèi)模型試驗與有限元分析，研究了斜坡坡度對基樁水平承載力的影響.上述研究均表明，斜坡坡度的存在對基樁水平承載特性的影響非常顯著，很有必要對其展開深入研究.實際上，樁、土參數(shù)的不確定性對基樁水平承載性能的影響也不容忽視，因此，基于水平變形和材料屈服等失效模式，開展基樁水平承載可靠性研究非常重要.Chan 等［6］結(jié)合響應(yīng)面法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，分析了樁、土參數(shù)的相關(guān)性對基樁水平承載可靠性的影響；Kozubal 等［7］將氣候作為隨機變量，采用響應(yīng)面法與多項式回歸相結(jié)合的方法，開展了復(fù)雜環(huán)境下基樁水平承載可靠性分析；趙明華等［8］克服極限狀態(tài)方程無法收斂等難題，提出了改進響應(yīng)面法，并將其用于傾斜荷載樁的可靠性分析；Chan和Low［9］基于撓度和彎矩兩種破壞模式，分析了樁長和樁徑對水平受荷樁可靠性的影響.綜上所述，目前有關(guān)基樁水平承載可靠性的研究多針對平地樁，而對斜坡基樁的分析顯然不夠.因此，為確保斜坡基樁的安全與穩(wěn)定，進一步考慮斜坡坡度的影響，對其水平承載可靠性開展深入研究顯得尤其重要.

鑒于此，本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，首先分析斜坡效應(yīng)對基樁水平承載特性的影響，建立基樁簡化受力模型及撓曲微分方程，導(dǎo)得相應(yīng)的理論解答；其次，基于隨機響應(yīng)面法，建立斜坡基樁水平承載可靠性分析極限狀態(tài)函數(shù)，并通過編程求解可靠度指標(biāo)；最后，結(jié)合已有算例，對比分析理論方法及程序的合理性，進而探討參數(shù)不確定性和斜坡效應(yīng)對基樁水平承載可靠性的影響.

1 考慮斜坡效應(yīng)的基樁受力分析

1.1 簡化受力模型及撓曲微分方程

對位于斜坡上的橋梁基樁，為研究斜坡坡度對其受力特性的影響，可沿樁身軸心方向?qū)⒒鶚秳澐譃樾逼掠绊懚危╨1）和嵌固段（l2）.在樁頂水平荷載H和偏心彎矩M的共同作用下，可建立如圖1 所示的簡化受力模型［10］.

圖1 斜坡基樁簡化受力模型Fig.1 The simplify model of piles in sloping ground

圖1 中，因存在斜坡坡度，樁前l(fā)1深度范圍內(nèi)出現(xiàn)一臨空面，使得基樁兩側(cè)巖土體不對稱，樁前坡體一定深度范圍內(nèi)的巖土體水平抗力有所減弱，此即所謂的“斜坡效應(yīng)”［11］.其中，l1為斜坡效應(yīng)影響深度，其計算表達式為：

式中：η為斜坡效應(yīng)折減系數(shù)，現(xiàn)有研究表明［10］斜坡效應(yīng)影響范圍為3～5 倍樁徑，即η可取3～5；d為樁徑；α為坡度.

根據(jù)圖1 所示的簡化受力模型，通過受力分析，可建立考慮斜坡效應(yīng)的基樁撓曲微分方程：

式中：EI為樁身抗彎剛度；x為樁身水平位移；z為計算點到樁頂?shù)木嚯x；C（z）為樁側(cè)地基抗力系數(shù)；b1為樁身計算寬度.

根據(jù)m法，并綜合考慮斜坡效應(yīng)的影響，假定樁側(cè)地基抗力系數(shù)C（z）表達式為［10］：

式中：m為地基抗力比例系數(shù)，其他參數(shù)同前.

1.2 基樁受力分析的有限差分法

為求解基樁撓曲微分方程式（2），根據(jù)中心差分原理，可將基樁斜坡影響段（l1）和嵌固段（l2）共劃分為段長均為h的N段，并在樁頂和樁端分別增加兩個虛擬節(jié)點，即共生成（N+5）個節(jié)點，各段間的差分節(jié)點布置如圖2所示.

圖2 基樁差分點布置Fig.2 Differential point arrangement of the pile

實際工程中基樁邊界條件可分為自由、彈嵌、嵌固和鉸支4 種情況［12］.本文假定樁頂自由、樁端嵌固，其對應(yīng)的邊界條件差分格式為：

1）樁頂自由

2）樁端嵌固

對于基樁斜坡影響段（0＜z＜l1），節(jié)點i（i＜K=l1/h）處的控制差分方程為：

基樁樁身轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的差分格式為：

式中：xi為節(jié)點i處的水平位移；φi為節(jié)點i處的轉(zhuǎn)角；Mi為節(jié)點i處的彎矩；Hi為節(jié)點i處的剪力.

由式（6）可得樁頂（i=0）處的控制差分方程為：

將式（4）代入式（8）可得：

聯(lián)合式（4）和式（6），并令i=1，2，3，…，K，可得基樁斜坡影響段（0＜z＜l1）各節(jié)點的位移遞推式：

根據(jù)i=0 和i=-1 時對應(yīng)的a-1，a0；b-1，b0；c-1，c0等值可得各節(jié)點參數(shù)的表達式為：

對于嵌固段（l1＜z＜L），節(jié)點i（K≤i＜N=L/h）處的控制差分方程為：

聯(lián)合式（5）和式（12），并令i=K，K+1，K+2，…，N，可得嵌固段（l1＜z＜L）各節(jié)點的位移遞推式：

根據(jù)i=N-1 和i=N-2 時對應(yīng)的aN-1，aN-2；bN-1，bN-2等值，可得K≤i≤N-3時的參數(shù)表達式為：

由節(jié)點位移遞推式（10）（13）以及節(jié)點參數(shù)表達式（11）（14），即可求得交界點K及其鄰近節(jié)點的位移；然后，通過節(jié)點位移遞推式（10）（13）求得各節(jié)點位移；進而將各節(jié)點位移代入式（7）即可求得各節(jié)點的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力［13］.

2 斜坡基樁可靠性分析

構(gòu)件截面抗力的隨機性主要體現(xiàn)在材料性能、幾何參數(shù)和計算模式等方面.現(xiàn)有研究表明，水平受荷樁的失效模式主要有樁頂水平位移過大和樁身材料屈服（樁身內(nèi)力超過材料屈服強度）［8］.通常情況下，對于變異性較小的參數(shù)，可將其作為確定性參數(shù)，而將變異性較大的參數(shù)當(dāng)作隨機變量.假設(shè)隨機變量為y1，y2，y3，y4，…，yn，則對應(yīng)的隨機向量Y=（y1，y2，y3，y4，…，yn）.因此，相應(yīng)失效模式下基樁極限狀態(tài)函數(shù)可表示為：

式中：［S］為相應(yīng)失效模式下參數(shù)容許值；S為計算得到的最大值；Z為安全余量.

2.1 極限狀態(tài)函數(shù)的建立

關(guān)于基樁可靠性分析，目前主要有蒙特卡羅法（MCS）、一次二階矩法（JC）以及響應(yīng)面法（RSM）等［14-15］.對于高階非線性函數(shù)或隱式函數(shù)，蒙特卡羅法的計算量較大，實用性不強；一次二階矩法無法求解隱式函數(shù)；響應(yīng)面法和改進響應(yīng)面法均是利用顯式響應(yīng)面函數(shù)擬合較復(fù)雜的極限狀態(tài)函數(shù)，兩者雖可求解可靠度指標(biāo)，但收斂性很難保證，且二者對高階非線性極限狀態(tài)函數(shù)的計算精度并不高［15］.為解決以上問題，可采用隨機響應(yīng)面法（SRSM）擬合出相應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù).隨機響應(yīng)面法是通過展開的Hermite 隨機多項式來擬合隨機變量之間的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)隱式的極限狀態(tài)函數(shù)，利用一次二階矩法（JC 法）求解可靠度指標(biāo)及失效概率［16-19］，具體過程如下.

1）首先根據(jù)需要展開的Hermite 隨機多項式階數(shù)p和隨機變量個數(shù)n確定待定系數(shù)個數(shù)Na、配點值W和選擇的配點總數(shù)Nb，其計算表達式為：

式中：Nb＞＞Na，可采用線性無關(guān)原則選取所需的配點.配點值W為p+1階一維Hermite多項式的根.

2）將隨機變量yi轉(zhuǎn)換成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量Xi，其轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

3）利用Hermite 隨機多項式將極限狀態(tài)函數(shù)（15）展開，可得安全余量Z為：

4）將步驟1）中選取的配點值W與步驟3）中的安全余量Z分別代入式（18），求解等待定系數(shù)，即可得到顯式的極限狀態(tài)函數(shù).

2.2 可靠性分析

根據(jù)得到的極限狀態(tài)函數(shù)，采用一次二階矩法（JC 法）求解基樁水平承載可靠度指標(biāo)及失效概率.具體求解過程為：

1）假定初始驗算點Y*，一般可取Y*=μY.

3）確定新的設(shè)計驗算點Y*：

4）重復(fù)步驟2）至4），直至前后兩次||Y*||之差＜允許誤差ε，ε通常為0.001.

5）根據(jù)可靠度指標(biāo)β計算失效概率：

式中：Φ（·）為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計分布函數(shù).

3 工程實例及可靠性分析

3.1 工程概況

湖南省張（家界）花（垣）高速公路泗溪河一橋采用樁柱式基礎(chǔ)，基樁設(shè)置在坡度為30°～60°的斜坡上.該基樁采用C25混凝土，樁長為25 m；樁徑d均值為2 m，標(biāo)準(zhǔn)差為0.04 m；樁身彈性模量E均值為28 GPa，標(biāo)準(zhǔn)差為0.56 GPa.各土層地基抗力比例系數(shù)m均值為60 MN/m4，標(biāo)準(zhǔn)差為12 MN/m4.基樁縱筋為46?25 的HRB335 鋼筋，通長配置.樁頂彎矩M為1 200 kN·m；水平荷載H均值為150 kN，標(biāo)準(zhǔn)差為30 kN；樁頂容許水平位移為6 mm；樁身抗彎承載力為4 561 kN·m.

3.2 基樁水平承載可靠性分析

1）取等量差分段長h=0.05 m，斜坡效應(yīng)折減系數(shù)η=5，坡度為45°，則斜坡效應(yīng)影響深度l1=10 m.

2）將樁身彈性模量E、樁徑d、樁頂水平荷載H、地基抗力比例系數(shù)m值作為隨機變量，并假定各隨機變量均服從正態(tài)分布，且相互獨立［8］，則隨機變量的個數(shù)n=4、其對應(yīng)的隨機向量為：

3）根據(jù)式（17）（18）及（24），即可建立隨機變量的個數(shù)n=4、最高階數(shù)為3 的Hermite 隨機多項式，即將其按最高階數(shù)展開得到基樁水平承載失效模式下的隨機響應(yīng)面函數(shù)為：

式中：a0、ai、aii、aiii、aij、aijj、aijk為35 個待定系數(shù)；Ui、Uj、Uk均為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機向量（i、j、k按式（25）進行取值）.

4）采用概率配點法選取4 階一維Hermite 多項式，并將其根作為配點進行正態(tài)分布轉(zhuǎn)換，經(jīng)計算得到256個安全余量Z.

5）選取35 組配點及對應(yīng)的安全余量Z可解35個待定系數(shù)，并將其代入式（25）.

6）根據(jù)式（25）求解樁頂水平位移和材料屈服失效模式下的可靠度指標(biāo)β和失效概率Pf.

利用蒙特卡羅法（MCS）模擬1×106次、改進響應(yīng)面法（RSM）和隨機響應(yīng)面法（SRSM）計算得到的可靠度指標(biāo)及失效概率如表1所示.

表1 計算結(jié)果對比Tab.1 Comparisons of calculation results

由表1 可以看出，以MCS 作為精確解，由改進RSM 計算得到的失效概率明顯偏小.相對而言，SRSM 的計算結(jié)果與MCS 更接近，從而可以驗證SRSM方法及計算程序的合理性.

3.3 參數(shù)不確定性分析

以上述工程為例，進一步分析了地基抗力比例系數(shù)m、水平荷載H、樁身彈性模量E以及樁徑d等參數(shù)的不確定性對基樁可靠性的影響.相應(yīng)失效模式下，各參數(shù)變異系數(shù)與基樁失效概率的關(guān)系曲線如圖3和圖4所示.

圖3 水平位移失效下變異系數(shù)對失效概率的影響Fig.3 Influence of variation coefficient on failure probability under horizontal displacement failure

圖4 材料屈服失效下變異系數(shù)對失效概率的影響Fig.4 Influence of variation coefficient on failure probability under material yield failure

由圖3和圖4可以看出，在水平位移和材料屈服兩種失效模式下，基樁失效概率均隨變異系數(shù)增大而增大.在水平位移失效模式下，參數(shù)變異性對基樁失效概率的影響大小依次為d、H、E和m.當(dāng)變異系數(shù)為0～0.6 范圍內(nèi)時，d、E及m對應(yīng)的失效概率均隨變異系數(shù)近似呈非線性關(guān)系增加；而當(dāng)樁徑變異系數(shù)大于0.6 后，d、E及m對應(yīng)的失效概率幾乎保持不變，即對應(yīng)的參數(shù)變異性對基樁可靠性的影響不明顯.在材料屈服失效模式下，基樁失效概率受參數(shù)變異性的影響大小依次為E、m、d和H.當(dāng)樁徑d和橫向荷載H的變異系數(shù)均勻增加時，對應(yīng)的基樁失效概率幾乎不再隨變異系數(shù)增加而有顯著增大.綜上可知，參數(shù)不確定性對基樁可靠性有較大影響，基樁水平位移失效主要受樁徑d和樁頂水平荷載H控制，而樁身材料屈服失效主要受樁身彈性模量E和地基抗力比例系數(shù)m控制.

3.4 斜坡效應(yīng)對基樁失效概率的影響

考慮樁頂水平位移和材料屈服兩種失效模式下的容許值［S］，可進一步分析斜坡效應(yīng)（斜坡效應(yīng)折減系數(shù)η=3、η=4 和η=5）對基樁水平承載可靠性的影響，相應(yīng)失效模式的容許值［S］與基樁失效概率間的關(guān)系曲線如圖5和圖6所示.

由圖5和圖6可知，兩種失效模式下基樁水平承載失效概率均隨容許值［S］增大而減小.在相同的容許值［S］和失效模式下，若不考慮斜坡效應(yīng)的影響，即不對l1深度范圍內(nèi)地基抗力比例系數(shù)m值進行折減而按平地樁計算斜坡基樁的樁身內(nèi)力與位移，由此得到的基樁失效概率均比考慮斜坡效應(yīng)（對l1深度范圍內(nèi)地基抗力比例系數(shù)m值進行折減）的小.

圖5 水平位移失效下的失效概率Fig.5 Failure probability under horizontal displacement

圖6 材料屈服失效下的失效概率Fig.6 Failure probability under material yield

圖5 顯示，在水平位移失效模式下，當(dāng)樁頂容許位移值［S］介于3.0～4.5 mm 之間時，考慮與不考慮斜坡效應(yīng)對基樁失效概率的影響比較大，如：當(dāng)［S］=3.5 mm 時，考慮斜坡效應(yīng)（η=5）與不考慮斜坡效應(yīng)（η=0）對應(yīng)的基樁失效概率差值為0.84.在相同的容許值下，基樁失效概率隨折減系數(shù)增加而增大.圖6顯示，在樁身材料屈服失效模式下，斜坡效應(yīng)對基樁可靠性的影響較小，在相同的樁身材料容許彎矩下，基樁失效概率差值均小于0.12.可見，在水平位移失效模式下，斜坡效應(yīng)對基樁水平承載可靠性影響較大，尤其是對變形較敏感的高墩橋梁基樁，忽略斜坡效應(yīng)極有可能給基樁帶來安全隱患.

3.5 斜坡效應(yīng)對基樁安全余量的影響

為探討斜坡效應(yīng)對安全余量Z頻數(shù)分布的影響，根據(jù)極限狀態(tài)函數(shù)中隨機向量U的分布類型，抽取4×104組服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機向量U，分別代入極限狀態(tài)函數(shù)表達式，得4×104組安全余量Z，相應(yīng)失效模式下其頻數(shù)分布曲線如圖7和圖8所示.

由圖7和圖8可知，水平位移安全余量頻數(shù)分布受斜坡效應(yīng)的影響較大，而樁身彎矩安全余量頻數(shù)分布則受斜坡效應(yīng)的影響較小.在水平位移失效模式下，對比考慮斜坡效應(yīng)（η=5）與不考慮斜坡效應(yīng)（η=0）的PDF 曲線，其峰值對應(yīng)的安全余量差值為1.3 mm，考慮斜坡效應(yīng)時，基樁安全余量隨斜坡效應(yīng)折減系數(shù)增加而減?。粚Ρ葍蓷lCDF曲線發(fā)現(xiàn)，不考慮斜坡效應(yīng)會導(dǎo)致位移安全余量更多地集中在較大區(qū)域，基樁失效概率明顯偏小.類似地，在樁身材料屈服失效模式下，基樁PDF 曲線和CDF 曲線發(fā)展規(guī)律接近，斜坡效應(yīng)對基樁失效概率的影響較小.總之，基于隨機響應(yīng)面法得到的極限狀態(tài)函數(shù)，其安全余量頻數(shù)分布規(guī)律與前述結(jié)論相符，再次驗證理論模型及求解方法的合理性.

4 結(jié)論

根據(jù)斜坡段橋梁基樁的承載特性，導(dǎo)得了基樁內(nèi)力與位移計算的有限差分解答；基于樁身水平位移和材料屈服兩種失效模式，將隨機響應(yīng)面法與基樁水平承載可靠性分析相結(jié)合，并編制了相應(yīng)的計算程序；據(jù)此結(jié)合工程實例，進一步分析了地基抗力比例系數(shù)、水平荷載、樁身彈性模量及樁徑等參數(shù)的變異性、斜坡效應(yīng)對基樁水平承載可靠性的影響，得到的主要結(jié)論如下.

1）分別利用蒙特卡羅法（MCS）、二次函數(shù)響應(yīng)面法（RSM）和隨機響應(yīng)面法（SRSM）求解斜坡基樁水平承載可靠度指標(biāo)和失效概率，驗證了隨機響應(yīng)面法及計算程序的合理性.

2）參數(shù)變異系數(shù)越大，基樁水平承載可靠性越差.在水平位移失效模式下，基樁失效概率隨樁徑、地基抗力比例系數(shù)及樁身彈性模量的變異系數(shù)先增大而后趨于穩(wěn)定，相對而言，樁徑對基樁水平承載可靠性的影響最大.而在材料屈服失效模式下，當(dāng)變異系數(shù)小于0.3 時，樁徑的影響最大；當(dāng)變異系數(shù)大于0.3 后，樁身彈性模量和地基抗力比例系數(shù)對失效概率的影響更顯著.

3）斜坡效應(yīng)對水平位移失效模式下基樁可靠性影響較大，當(dāng)樁頂容許位移為3.5 mm時，考慮與不考慮斜坡效應(yīng)對應(yīng)的基樁失效概率差達0.84，基樁失效概率隨斜坡效應(yīng)折減系數(shù)增加而增大；若不考慮斜坡效應(yīng)，基樁位移安全余量會集中在較大區(qū)域，從而導(dǎo)致基樁失效概率偏小.相對而言，斜坡效應(yīng)對材料屈服失效模式下基樁水平承載可靠性的影響較小.對變形較敏感的高墩橋梁基樁，忽略斜坡效應(yīng)極有可能給基樁設(shè)計帶來安全隱患.