不同版本教材“誘導(dǎo)公式證明”的比較研究

?西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院

胡奇云

?綿陽東辰國際學(xué)校

陳文靜

1 引言

2 不同版本教材中誘導(dǎo)公式的證明分析

2.1 新人教A版的證明特點(diǎn)

2.2 舊人教B版的證明特點(diǎn)

教材首先證明了角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)關(guān)系，觀察該公式特征，進(jìn)行猜想，進(jìn)而研究角α與α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系.結(jié)合這兩個(gè)公式，推陳出新，得到角α與α+nπ(n∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系：角α與α加上π的偶數(shù)倍的同名三角函數(shù)值相等；角α與α加上π的奇數(shù)倍的正弦、余弦值互為相反數(shù)，角α與α加上π的奇數(shù)倍的正切值相等.歸納總結(jié)公式，有利于學(xué)生理解與記憶，并培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2.3 新人教B版的證明特點(diǎn)

公式證明最后，均以相應(yīng)的三角函數(shù)線之間的關(guān)系進(jìn)行輔佐，學(xué)生動(dòng)手操作，關(guān)聯(lián)舊知，互相結(jié)合加深印象，避免死記硬背公式.

2.4 北師大版的證明特點(diǎn)

教材內(nèi)容分為誘導(dǎo)公式與對(duì)稱、誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)兩部分，直觀展現(xiàn)了誘導(dǎo)公式的兩種證明方法，并以此將誘導(dǎo)公式進(jìn)行分類.相較于其他版本，北師大版教材中各誘導(dǎo)公式的證明標(biāo)題更加明確，主體突出，如“角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系”，證明結(jié)論也沒有順勢(shì)給出相關(guān)的正切函數(shù)，使知識(shí)點(diǎn)更加聚焦.

2.5 湘教版的證明特點(diǎn)

教材通過已證得的誘導(dǎo)公式來推導(dǎo)證明角α與π-α的三角函數(shù)關(guān)系，也提示學(xué)生從兩個(gè)角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱來探究，又繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生借助單位圓的三角函數(shù)線來研究，證明方法不再局限于一種，鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，有利于思維的發(fā)展.

2.6 各個(gè)版本教材證明的共同點(diǎn)

(1)證明過程均利用單位圓的對(duì)稱性.三角函數(shù)具有奇偶性，而奇偶性也是對(duì)稱性的一種形式，故三角函數(shù)也具有這些性質(zhì)[3].圓最特殊和最重要的性質(zhì)就是對(duì)稱性，所以利用圓的對(duì)稱性來研究三角函數(shù)的對(duì)稱性，符合2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)要求.在單位圓中，兩個(gè)終邊具有對(duì)稱性的角，其與單位圓的交點(diǎn)亦具有對(duì)稱性，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的特征即證得誘導(dǎo)公式.

(2)對(duì)于研究角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系，以上版本教材都是依據(jù)三角函數(shù)的定義證明，銜接舊知，體現(xiàn)定義的基礎(chǔ)性與導(dǎo)向性.

(4)各版本教材均歸納了公式間的共同特征，將其一般化，總結(jié)概括為法則并明確用途.

3 課堂教學(xué)建議

3.1 對(duì)比教材，進(jìn)行互補(bǔ)

3.2 自主探究，合作交流

證明誘導(dǎo)公式的思路和方法有多種，且有很強(qiáng)的邏輯性.課堂上教師可以讓學(xué)生自己動(dòng)手證明，或小組合作探究.引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，猜測(cè)分析角之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.推理過程也能幫助學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，防止學(xué)生思維僵化和教學(xué)“滿堂灌”的現(xiàn)象，符合學(xué)生身心發(fā)展的需要.

3.3 關(guān)聯(lián)知識(shí)，注重聯(lián)系

誘導(dǎo)公式安排在三角函數(shù)定義之后，教師應(yīng)在教學(xué)過程中注意新舊知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和銜接，由淺入深帶領(lǐng)學(xué)生感受誘導(dǎo)公式的重要作用以及單位圓在三角函數(shù)中的重要性，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解[4].另外，初中階段初步認(rèn)識(shí)的銳角三角函數(shù)，在證明過程中也能用來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從特殊到一般，加深情境印象，鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu).

4 總結(jié)與反思

誘導(dǎo)公式揭示了終邊具有某種關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.各版本教材使學(xué)生基于單位圓從角終邊的對(duì)稱性的角度深刻理解并運(yùn)用誘導(dǎo)公式，體會(huì)對(duì)稱的作用.誘導(dǎo)公式的證明體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的簡化思想、化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想.如何合理有效地將不同版本教材的特點(diǎn)運(yùn)用于教學(xué)活動(dòng)中，使課堂效率最大化，還有待研究.