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    一類退化尖點環(huán)附近Melnikov函數(shù)展開式

    2022-08-18 01:05:42尚德生王政
    關(guān)鍵詞:尖點鞍點展開式

    尚德生,王政

    (山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,山東 淄博 255049)

    在平面分支理論研究中,同宿和異宿分支的研究是奇閉軌分支研究中的一個非常復(fù)雜而又有意義的課題。當(dāng)一個給定系統(tǒng)的奇閉軌同宿或者異宿于有限個非退化的雙曲鞍點時,已經(jīng)有很多相對比較完善的理論和應(yīng)用結(jié)果[1-3]。但是當(dāng)奇閉軌同宿或異宿于非雙曲鞍點,或者更加復(fù)雜的退化奇點(如退化鞍點或者尖點)時的分支問題研究,卻是一個非常復(fù)雜而有意義的挑戰(zhàn)。對于奇點是冪零鞍點和冪零尖點的情形下的奇閉軌分支問題,學(xué)者都進行了比較系統(tǒng)的討論,并給出了具體的同宿軌附近的Melnikov函數(shù)的展開式[2,4-5],并對一些不同類型的相關(guān)微分系統(tǒng)作了討論和應(yīng)用[6-8]。但是對更進一步的退化奇點情形的同宿或異宿分支問題,至今還沒有見到比較系統(tǒng)的研究。本文在文獻[2,4]的啟發(fā)下,對一類具有退化尖點的同宿軌附近的Melnikov函數(shù)的展開式進行探討,并給出m=1情形下展開式前幾項的系數(shù)。

    考慮微分系統(tǒng)

    (1)

    式中:φ(x)是次數(shù)大于2m的解析函數(shù);p(x,y),q(x,y) 為x,y的多項式。顯然原點O(0,0) 是未擾動系統(tǒng)(即ε=0 時)的一個退化尖點,這里假設(shè)ε=0時,未擾系統(tǒng)具有連接尖點O(0,0)的同宿軌。

    因為未擾系統(tǒng)是一個哈密爾頓系統(tǒng),且系統(tǒng)的哈密爾頓函數(shù)為

    (2)

    圖1 未擾動系統(tǒng)(1)尖點環(huán)附近軌線分割圖Fig.1 Orbit division near the cuspidal loop of the unperturbed system(1)

    在周期區(qū)域Lh:H(x,y)=h,0<|h|?1 內(nèi)擾動系統(tǒng)(1)的極限環(huán)可由周期擾動下的一階Melnikov函數(shù)M(h,δ) 的零點來確定。

    下面討論系統(tǒng)(1)的一階Melnikov函數(shù)

    (3)

    首先,當(dāng)0<|h|?1時,在原點附近存在唯一的解析函數(shù)x=θ(u) ,使得

    (4)

    成立。

    若設(shè)

    (5)

    則將式(5)代入式(4)后,借助數(shù)學(xué)計算軟件Mathimatica可根據(jù)需要遞推求得前面各項的系數(shù)ej,j=2,3,… 。

    (6)

    式中:

    ∈Cω。

    (7)

    (8)

    式中

    (9)

    引理1對非負整數(shù)i=0,1,2,…,j=0,1,2,…,有Iij(h,u)滿足如下遞推公式:

    (10)

    (11)

    因為對非負整數(shù)i,j存在唯一的k,l,r,s,使得i=(2m+1)k+r,j=2l+s,其中0≤r≤2m,0≤s≤1 成立。這樣根據(jù)引理1的遞推公式,容易得到引理2。

    (12)

    式中:

    由于當(dāng)i=2m時,有

    (13)

    證明首先討論當(dāng)h<0 時的情形。對

    (14)

    通過變量變換

    (15)

    可將式(14)化為

    (16)

    根據(jù)泰勒展開式

    (17)

    是與u0無關(guān)的收斂級數(shù)的和,而

    |h|j∈Cω。

    (18)

    這樣,一方面對式(18)關(guān)于h求偏導(dǎo)數(shù),得

    (19)

    另一方面,由式(14)取u0=1,再關(guān)于h求偏導(dǎo)數(shù),得

    (20)

    同樣,經(jīng)過變換(15),可將式(20)化為

    (21)

    這樣,當(dāng)4r+2(2m+1)s<3(2m+1)-4 時,結(jié)合式(19)、式(21)得

    而當(dāng)4r+2(2m+1)s>3(2m+1)-4時,由于

    所以結(jié)合式(19)、式(21),可以得到

    下面再討論當(dāng)h>0 時的情形。利用

    (22)

    先經(jīng)過變量變換

    (23)

    可將式(22)化為

    同樣利用泰勒展開式

    (24)

    其中

    是與u0無關(guān)的值,而

    (25)

    這樣,一方面對式(25)關(guān)于h求偏導(dǎo)數(shù),得

    (26)

    另一方面,對式(22)取u0=1,再關(guān)于h求偏導(dǎo)數(shù),得

    (27)

    (28)

    這樣,當(dāng)4r+2(2m+1)s<3(2m+1)-4 時,結(jié)合式(26)、式(28)可得

    當(dāng)4r+2(2m+1)s>3(2m+1)-4時,由于

    所以結(jié)合式(26)、式(28),可以得到

    這樣,根據(jù)式(8),結(jié)合引理2及引理3可得

    (29)

    因此,利用式(6)、式(7),并將式(29)代入式(6),可以得到Melnikov函數(shù)在h=0 附近的一般展開式。

    定理1在未擾系統(tǒng)具有式(1)形式的尖點環(huán)的假設(shè)下,尖點環(huán)附近的Melnikov函數(shù)展開式為

    M±(h,δ)=

    (30)

    結(jié)合文獻[2,4]的證明可知,若取m=1,則可得系統(tǒng)(1)展開到前八項的表達形式。

    推論1在m=1時,系統(tǒng)(1)在尖點環(huán)Lh=0附近的Melnikov函數(shù)展開式為

    并且展開式的系數(shù)為:

    =0 ,

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