聚能射流侵徹徑向擴孔的可壓縮模型*

李 干，陳小偉

（1. 北京理工大學(xué)機電學(xué)院，北京 100081；2. 北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081；3. 北京理工大學(xué)前沿交叉科學(xué)研究院，北京 100081）

在超高速撞擊下，材料會因極高的彈/靶界面壓力產(chǎn)生不可忽略的體積應(yīng)變，導(dǎo)致材料密度顯著升高，一般需考慮彈靶材料的可壓縮性。Song 等已對超高速撞擊的彈靶可壓縮性的相對強弱有比較分析：一般而言，對較軟的金屬如鋁和銅、非金屬靶如樹脂類復(fù)材和水等，需著重考慮靶材可壓縮性的影響；特別地，在高壓條件下水和樹脂類復(fù)材的可壓縮性顯著強于鋁、銅等金屬材料的。聚能射流的頭部速度可達8～10 km/s 甚至更高，屬于超高速撞擊。在聚能射流作用下，不同靶體，如金屬靶、混凝土或水表現(xiàn)的可壓縮性對其侵徹或擴孔的作用不同，相關(guān)應(yīng)用常見于土木防護工程、復(fù)合裝甲及潛艇/水面艦船。

聚能射流在侵徹中厚靶時會同時進行軸向侵徹和靶材徑向擴孔。關(guān)于軸向侵徹的理論大致可分為不可壓縮模型和可壓縮模型，兩者的主要區(qū)別在于后者考慮了彈/靶材料的可壓縮性。不可壓縮模型首先由Birkhoff 等提出，Eichelberger考慮了材料強度對Birkhoff 等的理論進行了補充，Allison 等提出射流侵徹的虛擬原點法并結(jié)合Birkhoff 等和Eichelberger的理論得到一個不可壓縮侵徹模型。可壓縮模型主要基于Murnaghan 狀態(tài)方程和Mie-Grüneisen 狀態(tài)方程推導(dǎo)而來。Haugstad、Haugstad 等首先基于Murnaghan 狀態(tài)方程得到可壓縮模型，F(xiàn)lis 等基于一種多項級數(shù)Mie-Grüneisen 狀態(tài)方程并結(jié)合Allison 等的虛擬原點法得到一個可壓縮侵徹模型。Flis采用二次項Mie-Grüneisen 狀態(tài)方程推導(dǎo)可壓縮模型，較Flis 等的狀態(tài)方程克服了其與沖擊波不連續(xù)條件并不完全一致的缺陷?？紤]到Flis的模型計算比較復(fù)雜，Song 等基于Murnaghan 狀態(tài)方程推導(dǎo)出一個近似解。

關(guān)于徑向擴孔，Szendrei首先提出一個徑向擴孔過程的解析方程，其實用性不強；但他認為射流侵徹的軸向壓力必影響射流擴孔的初始徑向壓力，射流擴孔滯止壓力與靶板擴孔速度的關(guān)系類比于射流侵徹駐點壓力與射流侵徹速度的關(guān)系，這2 個論斷均為后人所接受。Held 等利用鏡框和剖面條紋技術(shù)同時記錄了聚能裝藥侵徹射流在水中擴孔的過程并利用實驗數(shù)據(jù)擬合了一個擴孔方程。Held和Held 等在此基礎(chǔ)上部分修正了Szendrei 的方程，形成Szendrei-Held 擴孔方程，使其具備實用性；并用該方程的預(yù)測結(jié)果與實驗進行比較，發(fā)現(xiàn)模型的預(yù)測值偏小，尤其是在高速侵徹部分誤差較大。肖強強等在Szendrei-Held 擴孔方程的基礎(chǔ)上，考慮侵徹過程中沖擊波的影響，進一步改進了前人的擴孔方程。

以上徑向擴孔模型均是基于不可壓縮模型推導(dǎo)出的。不可壓縮模型未考慮靶材的可壓縮性則可能造成其在研究高可壓縮性靶材侵徹問題時表現(xiàn)不佳。它的缺陷也會影響到擴孔模型的預(yù)測能力，Held的研究便發(fā)現(xiàn)Szendrei-Held 擴孔方程的預(yù)測值小于實驗值。同時，徑向擴孔模型也是含液密閉結(jié)構(gòu)干擾聚能射流侵徹的理論基礎(chǔ)，Guo 等和Zu 等就是以肖強強等的擴孔方程為基礎(chǔ)提出了含液密閉結(jié)構(gòu)干擾聚能射流侵徹的理論模型。本文研究的成果也將有助于改進該理論模型，可更好地預(yù)測含液密閉結(jié)構(gòu)干擾聚能射流的過程。

本文中，以Szendrei的2 個論斷及Flis的可壓縮模型為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出一個徑向擴孔的可壓縮模型。同時，考慮到完整可壓縮模型繁瑣的計算過程，又基于Song 等的近似模型推導(dǎo)出一個徑向擴孔可壓縮模型的近似解，以簡化計算流程。將本文模型的預(yù)測結(jié)果與Held 等的聚能射流水中擴孔實驗數(shù)據(jù)進行比較以驗證其可信度，隨后再將本文模型代入射流侵徹其他靶材擴孔的研究中，以擴展本文模型的應(yīng)用范圍。

1 可壓縮擴孔模型

Szendrei-Held 擴孔方程雖然填補了該領(lǐng)域的理論空白，但因其建立在不可壓縮模型的基礎(chǔ)上，承襲了靶材密度不變的假設(shè)，導(dǎo)致該理論在預(yù)測可壓縮性較強的靶材（如水）的擴孔時表現(xiàn)不佳。尤其是Held的實驗數(shù)據(jù)總是高于Szendrei-Held 擴孔方程的預(yù)測值，這即為本文中要解決的關(guān)鍵問題。

不可壓縮模型不僅忽略材料在侵徹與擴孔過程中的形變，還未考慮材料的內(nèi)能、壓力變化。Flis的可壓縮模型除考慮了上述情形，還增加了材料從沖擊波界面至彈/靶分界面過程的分析。這2 個分界面的位置如圖1 所示，記沖擊波分界面前下標為狀態(tài)0 也即初始狀態(tài)，分界面后下標為狀態(tài)1，彈靶分界面處下標為狀態(tài)2，j 代表射流，t 代表靶材，為聚能射流速度，為侵徹速度。不可壓模型是直接從狀態(tài)0到狀態(tài)2，而Flis的可壓縮模型則在此基礎(chǔ)上考慮了狀態(tài)0 到狀態(tài)1 的過程，并假設(shè)從狀態(tài)1到狀態(tài)2 的內(nèi)能變化是等熵變化。

圖1 侵徹速度與擴孔速度分布及侵徹過程中的流場Fig. 1 Distribution of penetration velocity and radial crater velocity, flow field during penetration

本文模型推導(dǎo)承襲Szendrei的2 個論斷：射流侵徹的軸向壓力必影響射流擴孔的初始徑向壓力；射流擴孔滯止壓力與靶板擴孔速度的關(guān)系類比于射流侵徹駐點壓力與射流侵徹速度的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，考慮Flis的可壓縮模型的可壓縮特性，推導(dǎo)出一種新的擴孔方程。

對于擴孔滯止壓力與相應(yīng)速度的駐點壓力的關(guān)系，Szendrei認為其壓力與面積的乘積為一常數(shù)。本文中仍然沿用這一假設(shè)，則滯止壓力與該速度下的駐點壓力的關(guān)系為：

結(jié)合式(4)和式(6)可知，射流半徑、駐點壓力、靶材強度、駐點處靶材密度是影響聚能射流擴孔的主要因素。

式中：為重力加速度，為水的深度。則可將液體類靶材其最大擴孔的影響因素進一步總結(jié)為射流半徑、駐點壓力和液體深度。

基于射流侵徹的可壓縮模型及Szendrei的2 個論斷，得到一個考慮材料可壓縮性的聚能射流擴孔模型。Szendrei-Held 模型中的式(4)采用不可壓縮模型的駐點壓力并認為靶材密度始終不變，而本文模型的駐點壓力采用了可壓縮模型的駐點壓力，密度采用了彈/靶分界面處靶材密度。本節(jié)模型的關(guān)鍵在于求解駐點壓力和彈/靶分界面處靶材密度ρ，兩者的求解方法需參考Flis的文獻。相較于前人的模型，本文模型考慮了彈/靶材料的可壓縮性，可以更準確地預(yù)測靶材尤其是高可壓縮性靶材的擴孔情況。

Flis的可壓縮模型需考慮2 個變化過程，而且第2 個過程的求解比較繁瑣，需要循環(huán)積分和判斷，不太適合于工程計算，尤其是上述2 個系數(shù)的求解更復(fù)雜，這極大地限制了該模型的實用性。因此，需尋找一種更簡便的方法求解這2 個參數(shù)。

2 可壓縮模型的近似解

Song 等曾基于Murnaghan 狀態(tài)方程推導(dǎo)出可壓縮模型的一個近似解，該近似解結(jié)構(gòu)簡單，只需要采用牛頓迭代法即可求得侵徹速度，進而可以較容易地求解駐點壓力和彈/靶分界面處靶材密度ρ。Li 等證明采用該近似模型對射流侵徹水也可以進行有效預(yù)測，因此本文中采用該模型求解上述2 個參數(shù)。

將侵徹速度代入式(14)和式(20)即可分別求得和ρ，由此將這2 個參數(shù)代入式(4)即為擴孔模型近似解，該近似解使求解擴孔速度及其他參數(shù)更簡便。

3 實驗驗證與分析

經(jīng)過上文的推導(dǎo)，可以得到一個基于材料可壓縮性的聚能射流擴孔模型和其近似解，則在本節(jié)將本文模型與Held 等的計算和實驗數(shù)據(jù)進行比較。

選取Held 等的實驗中射流速度=6 700 m/s、射流半徑=0.5 mm、水深=100 m 的情況與本文理論進行對比，從而驗證本文理論的合理性。Held 等的實驗數(shù)據(jù)中擴孔初始半徑均以射流半徑為起始量，則本文中也認為射流半徑即為擴孔初始半徑。由于本文的模型計算均需材料的Mie-Grüneisen狀態(tài)方程，表1 給出了銅和水的參數(shù)以及后續(xù)其他材料的參數(shù)：初始密度ρ、初始聲速、常數(shù)和、Grüneisen 系數(shù)Γ。為了驗證本文模型的可信度，將本文模型的預(yù)測結(jié)果與Held 等實驗中0～60 μs 的實驗觀察結(jié)果進行比較，結(jié)果如圖2 所示。

表1 材料的Mie-Grüneisen 狀態(tài)方程和Murnaghan 狀態(tài)方程參數(shù)Table 1 Material parameters of Mie-Grüneisen and Murnaghan equations of state

圖2 表明，在初始階段（0～10 μs）本文模型的預(yù)測結(jié)果基本與實驗結(jié)果相同。隨著時間的增加，Szendrei-Held 模型的預(yù)測結(jié)果與實驗結(jié)果的誤差逐漸增大，其預(yù)測值逐漸小于實驗值。而隨著時間的增加，本文模型的預(yù)測值略高于實驗值，但其誤差顯著小于Szendrei-Held 模型，可見本文模型對于液體擴孔過程的預(yù)測能力較強。

圖2 不同方法獲得的擴孔孔徑隨時間變化的比較Fig. 2 Comparison of crater radius varying with time among different methods

然而Held 等未觀察到水的最大擴孔半徑，僅通過Szendrei-Held 模型計算出最大擴孔半徑及達到最大擴孔半徑所用的時間。表2 即為Held 等的計算結(jié)果與本文模型計算結(jié)果的比較，計算了上述條件下的擴孔最大半徑和擴孔達到最大半徑所用的時間。由表2 可得，采用可壓縮模型和近似解求得的和值分別約為采用Szendrei-Held 模型求得的相應(yīng)數(shù)值的2/3 和1/2。因此，根據(jù)式(7) 求得的最大半徑較Szendrei-Held 模型求得的最大半徑增大了9.8%，且考慮材料的可壓縮性使達到最大擴孔半徑所用的時間增加約45.7%。

表2 不同模型的相關(guān)參數(shù)和計算結(jié)果的比較Table 2 Comparison of relevant parameters and calculation results among different models

另外，根據(jù)式(7)得到靶材最大擴孔半徑與水深度的關(guān)系曲線（見圖3）和靶材最大擴孔半徑與射流半徑的關(guān)系曲線（見圖4）。這2 個圖均顯示本文的模型計算結(jié)果的變化趨勢與Held 等計算結(jié)果的變化趨勢相同。在圖3 中，根據(jù)式(7)可知最大擴孔半徑與水的深度之間呈指數(shù)關(guān)系，且靶材強度越低（越接近水面）其擴孔半徑越大；當靶材強度為零（聚能射流在水面侵徹時），擴孔半徑趨于無窮大。在圖4 中，當水深一定（即靶材強度相同）時，聚能射流的半徑與靶材的擴孔半徑呈線性關(guān)系。相關(guān)分析與Held 等的計算結(jié)果相吻合。另外，由式(15)可知駐點壓力的主要影響因素為聚能射流速度，而這也是影響最大擴孔半徑的重要因素。

圖3 靶材最大擴孔半徑與水深度的關(guān)系Fig. 3 Relationship between the maximum target crater radius and the water depth

圖4 靶材最大擴孔半徑與射流半徑的關(guān)系（h=10 m）Fig. 4 Relationship between the maximum target crater radius and the jet radius (h=10 m)

4 討 論

Held 等曾經(jīng)將Szendrei-Held 模型運用于射流侵徹鋁靶和玻璃鋼靶擴孔問題的研究，發(fā)現(xiàn)該模型的預(yù)測值與實驗數(shù)據(jù)的吻合度較高。為驗證本文模型與Held 等實驗數(shù)據(jù)的吻合度，將銅射流侵徹鋁靶實驗的最大擴孔半徑與本文模型的預(yù)測值進行比較。鋁的狀態(tài)方程參數(shù)見表1，Held 等的實驗所用射流的半徑為0.71 mm，鋁靶的強度為300 MPa，比較結(jié)果見表3。

表3 不同方法獲得的銅射流侵徹鋁靶最大擴孔半徑的比較Table 3 Comparison of the maximum target crater radii for copper jets penetrating aluminum targets by different methods

由表3 可以看出：在較低速度（=6 100 m/s）下，本文模型的預(yù)測結(jié)果與Szendrei-Held 模型的預(yù)測結(jié)果幾無差別；較高速度（=7 600 m/s）下，本文模型的預(yù)測值比Szendrei-Held 模型的預(yù)測值略大，Szendrei-Held 模型的預(yù)測值更接近實驗結(jié)果；而中間速度（=6 750 m/s）下，本文模型的預(yù)測值更接近實驗結(jié)果，Szendrei-Held 模型預(yù)測與實驗結(jié)果有一定誤差。同時本文中也注意到實驗數(shù)據(jù)中7 600 和6 750 m/s 速度下的擴孔半徑差異太小，按插值分析，有理由懷疑其合理性，但無法證實，期待未來有更多的實驗數(shù)據(jù)來驗證本文模型。本文中認為，Szendrei-Held 模型可能不太適合預(yù)測高可壓縮性靶材的徑向擴孔，但仍適用于低速侵徹可壓縮性較弱的靶材擴孔情況。

另外，由式(4)可知，除射流半徑和靶材強度這2 個因素外，駐點壓力的改變也會使模型預(yù)測結(jié)果發(fā)生變化。為便于分析不同駐點壓力對模型預(yù)測精度的影響，將表1 中的材料參數(shù)代入Hugoniot 壓力函數(shù)：

水、銅和鋁3 種材料的Hugoniot 壓力曲線如圖5 所示。由圖5 可知，水的可壓縮性遠強于銅和鋁的，而后兩者的可壓縮性較接近。而圖6 展示了射流侵徹水和鋁靶過程的駐點壓力變化，從圖中可以看出，射流侵徹水的界面壓力比射流侵徹鋁靶的界面壓力低。即便如此，由圖5 可知，相同的射流侵徹條件下，水的可壓縮性也顯著強于鋁靶的。

圖5 水、鋁和銅的Hugoniot 壓力曲線Fig. 5 Hugoniot pressure curves for water, aluminium and copper

圖6 射流侵徹靶材的駐點壓力隨射流速度的變化Fig. 6 Stagnation point pressure of jets penetrating targets varying with jet velocity

另外，由圖6 可知，可壓縮模型的駐點壓力高于不可壓縮模型的駐點壓力，兩者的差值隨著射流速度升高而增大。也即：在較低射流速度時，本文模型可退化為不可壓模型的分析。

5 結(jié) 論

首先，基于Flis的可壓縮模型推導(dǎo)出考慮彈/靶材料可壓縮性的聚能射流擴孔模型；然后，參考Song 等的工作得到一個模型近似解。該模型與Szendrei-Held 模型結(jié)構(gòu)相似，且與Held 等實驗結(jié)果較吻合，可見聚能射流擴孔的研究需考慮彈/靶材料的可壓縮性。近似解使得駐點壓力和駐點處靶材密度的求解更簡便。

基于本文的模型分析可得影響聚能射流擴孔的因素有射流半徑、駐點壓力、靶材強度、駐點處靶材密度以及聚能射流速度。相應(yīng)的，Szendrei-Held 模型的主要缺陷是未考慮靶材的密度變化。

相較而言，射流侵徹可壓縮性較差的靶材（如金屬類），Szendrei-Held 模型的預(yù)測性與本文模型相當，但針對可壓縮性較強的靶材（如液體類、樹脂類），Szendrei-Held 模型的預(yù)測性不如本文模型。另外，在高速侵徹中，本文模型預(yù)測性優(yōu)于Szendrei-Held 模型。結(jié)合理論分析，在聚能射流低速侵徹可壓縮性較差的靶材時，仍然可以采用結(jié)構(gòu)較簡單的Szendrei-Held 模型；而在高速侵徹可壓縮性較強的靶材時，建議采用本文模型。