BCH代數(shù)的擬結(jié)合Ω-猶豫模糊理想

姜 曼，黃軍峰，常在斌

(西安交通工程學(xué)院公共課部，陜西 西安 710300)

0 引 言

自從模糊集[1]的概念被提出后，對(duì)模糊集的理論研究和應(yīng)用研究都取得了很大進(jìn)展.在模糊集概念的基礎(chǔ)上，由于考慮到元素之間非此即彼的關(guān)系，K.ATANASSOTV[2]提出了直覺模糊集的概念；由于要解決兩級(jí)問題中遇到的不確定性問題，W R ZHANG[3]提出了雙極值模糊集的概念；為了在模糊研究中找到最優(yōu)方案，彭家寅[4]推廣經(jīng)典凸集，提出了Ω-模糊集的概念；為了能夠更全面、更精確地了解決策者對(duì)信息的判斷，TORRA[5]提出了猶豫模糊集的概念.近些年，一些學(xué)者推廣了直覺模糊集和雙極值模糊集理論，這些模糊化思想也被應(yīng)用到其他代數(shù)結(jié)構(gòu)中，出現(xiàn)了一系列的研究成果.例如，劉春輝[6]研究了負(fù)非對(duì)合剩余格中的雙極模糊理想并討論了它們的性質(zhì)，H R ZHANG等[7]介紹了代數(shù)結(jié)構(gòu)中的直覺模糊濾子理論，更多的研究結(jié)果可參見文獻(xiàn)[8-9].猶豫模糊集是人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)決策中實(shí)際表達(dá)模糊問題的有用工具，它能夠解決很多不確定性問題.猶豫模糊集的基本組成為猶豫模糊元素，每個(gè)猶豫模糊元素是由若干個(gè)可能的數(shù)值構(gòu)成的集合，因此，猶豫模糊集比其他模糊集的拓展形式能夠更全面、細(xì)致地刻畫決策者的猶豫信息，在許多數(shù)學(xué)模型中都有關(guān)于猶豫模糊集的應(yīng)用[10-12].

2007年，彭家寅[13]提出了BCH代數(shù)，并在BCH代數(shù)中引入了Ω-模糊理想的概念.理想是研究邏輯代數(shù)的重要準(zhǔn)則，BCH代數(shù)作為一種重要的邏輯代數(shù)，研究BCH代數(shù)上的擬結(jié)合Ω-猶豫模糊理想具有重要意義，這對(duì)研究其他代數(shù)結(jié)構(gòu)，如R0代數(shù)、布爾代數(shù)和坡代數(shù)等代數(shù)結(jié)構(gòu)都有指導(dǎo)作用.Ω-猶豫模糊集在信息融合及決策中也有一定的實(shí)際指導(dǎo)意義，利用信息的不確定性，可以提高決策的技術(shù)性和科學(xué)性.本文主要研究BCH代數(shù)中的擬結(jié)合Ω-猶豫模糊理想，得到了一些有意義的結(jié)果，相關(guān)結(jié)論豐富和拓展了BCH代數(shù)和Ω-猶豫模糊集理論.

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹BCH-代數(shù)、模糊理想以及Ω-模糊理想等的基本概念和性質(zhì).

定義1[13]一個(gè)(2，0)型代數(shù)(X，*，0)，如果它滿足下列條件：對(duì)?x、y、z∈X，

(ⅰ)x*y=0；

(ⅱ)x*y=y*x=0?x=y；

(ⅲ)(x*y)*z=x*(z*y).

則稱(X，*，0)是一個(gè)BCH-代數(shù).

在本文中，均用X表示BCH-代數(shù).

在BCH-代數(shù)X中，規(guī)定偏序關(guān)系≤：?x、y∈X，x≤y?x*y=0.

BCH-代數(shù)稱為非負(fù)的，如果X滿足x∈X，0*x=0.

性質(zhì)1[13]X是一個(gè)BCH-代數(shù)，則以下結(jié)論成立：

(ⅰ)x*0=x；

(ⅱ)0*(0*(x*y))=(0*y)*(0*x)；

(ⅲ)(0*y)*(0*x)=0*(y*x)；

(ⅳ)0*(0*(0*x))=(0*x).

性質(zhì)2[13]I是BCH-代數(shù)的非空子集，如果I滿足下列條件：

(ⅰ)0∈I；

(ⅱ)?x、y∈X，如果x*y∈I和y∈I，則x∈I.

則稱I為X的理想.

定義2[14]μ是X上的模糊集，如果?x、y∈X，μ滿足下列條件：

(ⅰ)μ(0)≥μ(x)；

(ⅱ)μ(x)≥μ(x*y)∧μ(y).

則稱μ是X上的模糊理想.

定義3[15]μ是X上的模糊集，如果?x、y∈X，μ是X上的模糊理想，且滿足μ(0*x)≥μ(x)，則稱μ是X上的閉模糊理想.

定義4[16]μ是X上的模糊集，如果?x、y∈X，μ是X上的模糊理想，如果μ(x*y)*z≥μ(x*(y*z))，則稱μ是X上的擬結(jié)合模糊理想.

定義5[4]設(shè)X為論域，Ω為非空給定集合，則稱映射δ：X×Ω→[0，1]為X的Ω-模糊集.

定義6[17]δ是X上的Ω-模糊集，如果?x、y∈X，q∈Ω，δ滿足下列條件：

(ⅰ)δ(0，q)≥δ(x，q)；

(ⅱ)δ(x，q)≥δ(x*y，q)∧δ(y，q).

則稱δ是X上的Ω-模糊理想.

下面介紹猶豫模糊集、猶豫水平集，并給出猶豫模糊集的基本運(yùn)算和性質(zhì).

定義7[5]設(shè)X是一個(gè)非空經(jīng)典集合，一個(gè)X上的猶豫模糊集A的定義如下：

其中hA(x)是由區(qū)間[0，1]上若干個(gè)不同值構(gòu)成的集合，表示X中的元素x屬于集合A的若干種可能隸屬度.記X上的全體猶豫模糊集為HF(X).

設(shè)A為X中的猶豫模糊集，P([0，1])為區(qū)間[0，1]的冪集.稱集合

為A的猶豫水平集，其中γ∈P([0，1]).

定義8[5]對(duì)于F∈HF[X]，猶豫模糊元hF(x)的下界和上界分別定義如下：

猶豫模糊集的三個(gè)基本運(yùn)算補(bǔ)、并和交分別定義如下：

(1)補(bǔ)：對(duì)于F∈HF(X)，它的補(bǔ)元Fc定義為：

補(bǔ)運(yùn)算滿足對(duì)合律，即(Fc)c=F.

(2)并：F、G∈HF(X)，F(xiàn)和G的并F∪G定義為：?x∈X，

(3)交：F和G的交F∩G定義為：?x∈X，

2 擬結(jié)合Ω-猶豫模糊理想

定義9設(shè)X是一個(gè)非空經(jīng)典集合，一個(gè)X上的Ω-猶豫模糊集A的定義如下：

記X上的全體Ω-猶豫模糊集為Ω-HF(X).

定義10設(shè)δ∈Ω-HF(X)，如果?x、y∈X，q∈Ω，δ滿足下列條件：

(ⅰ)hδ(0，q)?hδ(x，q)；

(ⅱ)hδ(x，q)?hδ(x*y，q)∩hδ(y，q).

則稱δ是X上的Ω-猶豫模糊理想.

記X上的全體Ω-猶豫模糊理想為Ω-HFI(X).

定理1令δ∈Ω-HFI(X)，如果?x、y∈X，q∈Ω，以下結(jié)論等價(jià)：

(ⅰ)hδ(0*x，q)?hδ(0*(0*x)，q)；

(ⅱ)hδ(0*x，q)?hδ(x，q)；

(ⅲ)hδ(0*(x*y)，q)?hδ(0*(y*x)，q).

證明：因?yàn)?*(0*x)≤x，則hδ(0*(0*x)，q)?hδ(x，q).因此，hδ(0*x，q)?hδ(0*(0*x)，q)?hδ(x，q)，即(ⅱ)成立.在(ⅱ)中，用0*(0*x)代替x，得到(ⅰ).即說明(ⅰ)與(ⅱ)等價(jià).

由(ⅰ)，我們有

hδ(0*(x*y)，q)?hδ(0*(0*(x*y))，q)=hδ((0*y)*(0*x)，q)=hδ(0*(y*x)，q)

或者

hδ(0*(x*y)，q)?hδ(0*(y*x)，q)，

即可得(ⅲ).在(ⅲ)中令y=0可得(ⅰ).證畢.

定義11設(shè)δ∈HF(X)，如果?x、y∈X，δ滿足下列條件：

(ⅰ)hδ(0)?hδ(x)；

(ⅱ)hδ(x)?hδ(x*y)∩hδ(y).

則稱δ是X上的猶豫模糊理想.

記X上的全體猶豫模糊理想為HFI(X).

定義12δ是X上的猶豫模糊集，如果?x、y∈X，δ是X上的猶豫模糊理想，且δ滿足hδ((x*y)*z)?hδ(x*(y*z))，則稱δ是X上的擬結(jié)合猶豫模糊理想.

記X上的全體擬結(jié)合猶豫模糊理想為Q-HFI(X).

定義13設(shè)δ∈Ω-HFI(X)，則對(duì)?x、y、z∈X，q∈Ω，如果有

hδ((x*y)*z，q)?hδ(x*(y*z)，q)，

則稱δ是X上的擬結(jié)合Ω-猶豫模糊理想.

記X上的全體擬結(jié)合Ω-猶豫模糊集為Q-Ω-HFI(X).

顯然，如果X是擬結(jié)合的，則X上的每一個(gè)Ω-猶豫模糊理想都是擬結(jié)合的.

證明：因?yàn)棣摇师?HF(X)，對(duì)?x、y∈X，q∈Ω，則

因此，σ∈Ω-HFI(X).

又對(duì)?x、y、z∈X，q∈Ω，則

因此，σ∈Q-Ω-HFI(X).證畢.

定理3設(shè)δ∈Ω-HF(X)，則δ∈Q-Ω-HFI(X)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?γ∈[0，1]，非空集合R(δ，γ)是X的擬結(jié)合理想，其中

證明：假設(shè)δ?Q-Ω-HFI(X)，則考慮以下3點(diǎn)：

1)存在x0∈X，q∈Ω，hδ(x0，q)?hδ(0，q).

2)存在x0、y0∈X，q∈Ω，hδ(x0，q)?hδ(x0*y0，q)∩hδ(y0，q).

3) 存在x0、y0、z0∈X，q∈Ω，hδ((x0*y0)*z0，q)?hδ(x0*(y0*z0)，q).

z0)，q)?γ0，即有x0*(y0*z0)∈R(δ，γ0).因?yàn)镽(δ，γ0)是擬結(jié)合的，則有(x0*y0)*z0)≤x0*(y0*

z0)，即(x0*y0)*z0∈R(δ，γ0).因此可得hδ((x0*y0)*z0，q)?γ0，這與hδ((x0*y0)*z0，q)?γ0和hδ(x0*(y0*z0)，q)?γ0矛盾.證畢.

證明：因?yàn)閷?duì)?x0∈X，I是X的擬結(jié)合理想，則有?x∈X，q∈Ω，hδ(0，q)?hδ(x，q).對(duì)?x、y∈X，q∈Ω，令hδ(x*y，q)∩hδ(y，q)=hδ(x0，q)，則有hδ(x*y，q)?hδ(x0，q)，hδ(y，q)?hδ(x0，q)，即x*y∈I，y∈I.因?yàn)镮是X的擬結(jié)合理想，即x∈I，所以hδ(x，q)?hδ(x0，q)=hδ(x*y，q)∩hδ(y，q).

對(duì)?x、y、z∈X，q∈Ω，令hδ(x*(y*z)，q)=hδ(x0，q).由于I是X的擬結(jié)合理想，因此，(x*y)*z≤x*(y*z)，即(x*y)*z∈I.所以hδ((x*y)*z，q)?hδ(x0，q)=hδ(x*(y*z)，q)，即δ∈Q-Ω-HFI(X).證畢.

定理5若δ、σ∈Ω-HF(X) ，δ、σ∈Q-Ω-HFI(X)，則δ∩σ∈Q-Ω-HFI(X).

證明：由于δ、σ∈Q-Ω-HFI(X)，因此，對(duì)?x∈X，?q∈Ω，有

hδ∩σ(0，q)=hδ(0，q)∩hσ(0，q)?hδ(x，q)∩hσ(x，q)=hδ∩σ(x，q).

令?x、y、z∈X，q∈Ω，則有

hδ∩σ(x，q)=hδ(x，q)∩hσ(x，q)?

(hδ(x*y，q)∩hσ(x*y，q))∩(hδ(y，q)∩hσ(y，q))=

(hδ(x*y，q)∩hδ(y，q))∩(hσ(x*y，q)∩hσ(y，q))=

hδ∩σ(x*y，q)∩hδ∩σ(y，q)，

hδ∩σ((x*y)*z，q)=hδ((x*y)*z，q)∩hσ((x*y)*z，q)?

hδ(x*(y*z)，q)∩hσ(x*(y*z)，q)=

hδ∩σ(x*(y*z)，q).

因此，δ∩σ∈Q-Ω-HFI(X).證畢.

接下來，我們?cè)贐CH代數(shù)同態(tài)前提下，討論擬結(jié)合Ω-猶豫模糊理想的像與原像的關(guān)系.

定理6設(shè)(X；*；0)、(X′；*；0)是兩個(gè)BCH代數(shù)，f：X→X′是同態(tài)滿射，如果σ∈Q-Ω-HFI[X′]，則f-1(σ)∈Q-Ω-HFI[X].其中定義

hf-1(σ)(y，δ)=hσ(f(y)，q)，q∈Ω.

證明：對(duì)?x∈X，q∈Ω，有

hf-1(σ)(0，q)=hσ(f(0)，q)=hσ(0′，q)?hσ(f(x)，q)=hf-1(σ)(x，q).

對(duì)?y∈X′，q∈Ω，有

hf-1(σ)(x，q)=hσ(f(x)，q)?hσ(f(x)*′y，q)∩hσ(y，q).

設(shè)a是f下y的任意原像.因?yàn)閥是X′的任意數(shù)，則對(duì)?a∈X，q∈Ω，有

hf-1(σ)(x，q)?hσ(f(x)*′f(a)，q)∩hσ(f(a)，q)=

hσ(f(x*a)，q)∩hσ(f(a)，q) =

hf-1(σ)(x*a，q)∩hf-1(σ)(a，q).

因此，f-1(σ)∈Ω-HFI[X].

對(duì)?x、y、z∈X，q∈Ω，我們有

hf-1(σ)((x*y)*z，q)=hσ(f((x*y)*z)，q)=hσ((f(x)*′f(y))*′f(z)，q)?

hσ(f(x)*′(f(y)*′f(z))，q)=hσ(f(x*(y*z))，q)=

hf-1(σ)(x*(y*z)，q)，

因此，f-1(σ)∈Q-Ω-HFI[X].

定理7設(shè)(X；*；0)、(X′；*；0)是兩個(gè)BCH代數(shù)，f：X→X′是同態(tài)滿射，若δ具有上確界且δ∈Q-Ω-HFI[X]，則f(δ)∈Q-Ω-HFI[X′].其中定義

證明：注意 0∈f-1(0′)，因此對(duì)?x∈X，q∈Ω，有

即

所以

因此，f(δ)∈Q-Ω-HFI[X′].

對(duì)?x′、y′、z′∈X′，q∈Ω，令x0、y0、z0∈X，則有

即

因此，f(δ)∈Q-Ω-HFI[X′].證畢.

現(xiàn)在，我們研究如何用一個(gè)擬結(jié)合猶豫模糊理想構(gòu)造一個(gè)擬結(jié)合Ω-猶豫模糊理想.

證明：對(duì)?x∈X，令μ∈Ω，有

hδ(0，μ)=hμ(0)?hμ(x)=hδ(x，μ).

令?x、y∈X，令μ∈Ω，則有

hδ(x，μ)=hμ(δ)?hμ(x*y)∩hμ(y)=hδ(x*y，μ)∩hδ(y，μ)，

因此，δ∈Ω-HFI(X).

又對(duì) ?x、y、z∈X，令μ∈Ω，有

hδ((x*y)*z，μ)=hμ((x*y)*z)?hμ(x*(y*z))=hδ(x*(y*z)，μ)，

因此，δ∈Q-Ω-HFI(X).證畢.

定義XΩ：Ω→X，在XΩ上定義二元運(yùn)算?：(α?β)(q)=α(q)*β(q)，α、β∈XΩ，q∈Ω，則(XΩ，?，θ)是一個(gè)BCH代數(shù)，其中θ是XΩ上的零映射，即對(duì)q∈Ω，θ(q)=0.

定理9設(shè)μ∈Q-HFI(X)，δ：XΩ×Ω→[0，1]，其中hδ(α，q)=hμ(α(q))，α∈XΩ，q∈Ω，則δ∈Q-Ω-HFI(XΩ).

證明：對(duì)α、β∈XΩ，q∈Ω，我們有

hδ(α，q)=hμ(α(q))?hμ(0)=hμ(θ(q))=hμ(θ，q)，

hδ(α，q)=hμ(α(q))?hμ(α(q)*β(q)∩hμ(β(q))?hμ(α?β)(q)∩hμ(β(q))=

hδ((α?β)，q)∩hδ(β，q)，

因此，δ∈Ω-HFI(XΩ).

又對(duì)α、β、γ∈XΩ，q∈Ω，我們有

hδ((α?β)?γ，q)=hμ(((α?β)?γ)(q))=hμ((α(q)*β(q))*γ(q))?

hμ((α(q)*(β(q)*γ(q)))=hμ((α?(β?γ))(q))=

hδ(α?(β?γ)，q)，

因此，δ∈Q-Ω-HFI(XΩ).證畢.

定理10令δ∈Q-Ω-HFI(XΩ)，對(duì)?q∈Ω，定義δq：X→[0，1]，其中對(duì)?x∈X，hδq(x)=hδ(x，q)，則δq∈Q-Ω-HFI(X).

證明：對(duì)?x∈X，q∈Ω，我們有

hδq(0)=hδ(0，q)?hδ(x，q)=hδq(x).

令?x、y∈X，q∈Ω，則

hδq(x)=hδ(x，q)?hδ(x*y，q)∩hδ(y，q)=hδq(x*y)∩hδq(x)，

因此，δq∈HFI(X).

又對(duì)x、y、z∈X，q∈Ω，我們有

hδq((x*y)*z)=hδ((x*y)*z，q)?hδ(x*(y*z)，q)=hδq(x*(y*z))，

因此，δq∈Q-Ω-HFI(X).證畢.

定理11如果δ∈Ω-HF(X)，定義τδ∈Ω-HF(X×X)，其中對(duì)?x、y∈X，q∈Ω，有hτδ((x，y)，q)=hδ(x，q)∩hδ(y，q)，則δ∈Q-Ω-HFI(X)當(dāng)且僅當(dāng)τδ∈Q-Ω-HFI(X×X).

證明：假設(shè)δ∈Q-Ω-HFI(X)，對(duì)?x、y∈X，q∈Ω，我們有

hτδ((0，0)，q)=hδ(0，q)∩hδ(0，q)?hδ(x，q)∩hδ(y，q)=hτδ((x，y)，q).

令x、x′、y、y′∈X，q∈Ω，則有

hτδ((x，x′)*(y，y′)，q)∩hτδ((y，y′)，q)=hτδ((x*y，x′*y′)，q)∩hτδ((y，y′)，q)=

(hδ(x*y，q)∩hδ(x′*y′，q))∩(hδ(y，q)∩hδ(y′，q))=

(hδ(x*y，q)∩hδ(y，q))∩(hδ(x′*y′，q)∩hδ(y′，q))?

hδ(x，q)∩hδ(x′，q)=hτδ((x，x′)，q).

又令x、x′、y、y′、z、z′∈X，q∈Ω，則有

hτδ(((x，x′)*(y，y′))*(z，z′)，q)=hτδ(((x*y)*z，(x′*y′)*z′)，q)=

hδ((x*y)*z)，q)∩hδ((x′*y′)*z′)，q)?

hδ(x*(y*z)，q)∩hδ(x′*(y′*z′)，q)=

hτδ((x*(y*z)，x′*(y′*z′))，q)=hτδ((x，x′)*((y，y′)*(z，z′))，q)，

因此，τδ∈Q-Ω-HFI(X×X).

反之，假設(shè)τδ∈Q-Ω-HFI(X×X)，則對(duì)?x∈X，q∈Ω，我們有

hδ(0，q)=hτδ((0，0)，q)?hτδ((x，x)，q)=hδ(x，q)，

又有

hδ(x，q)=hτδ((x，x)，q)?hτδ((x，x)*(y，y)，q)∩hτδ((y，y)，q)=

hτδ((x*y，x*y)，q)∩hτδ((y，y)，q)=hδ((x*y，q)∩hδ(y，q)，

即δ∈Ω-HFI(X).

又對(duì)?x、y、z∈X，q∈Ω，我們有

hδ(((x*y)*z)，q)=hτδ(((x*y)*z，(x*y)*z)，q)?

hτδ((x*(y*z)，x*(y*z))，q)=hδ(x*(y*z)，q)，

因此，δ∈Q-Ω-HFI(X).證畢.

定理12設(shè)X是一個(gè)非空的BCH代數(shù)，令τ∈Ω-HFI(X×X).則

(ⅰ)?x、y∈X，q∈Ω，則hτ((x，0)，q)?hτ((x，y)，q)或hτ((0，y)，q)?hτ((x，y)，q)成立.

(ⅱ)?x、y、z∈X，q∈Ω，如果x≤y，則hτ((x，0)，q)?hτ((y，z)，q).

證明：(ⅰ)?x、y∈X，q∈Ω，我們有

hτ((x，0)，q)?hτ((x，0)*(x，y)，q)∩hτ((x，y)，q)=

hτ((x*x，0*y)，q)∩hτ((x，y)，q)=

hτ((0，0)，q)∩hτ((x，y)，q)=hτ((x，y)，q)

和

hτ((0，y)，q)?hτ((0，y)*(x，y)，q)∩hτ((x，y)，q)=

hτ((0*x，y*y)，q)∩hτ((x，y)，q)=

hτ((0，0)，q)∩hτ((x，y)，q)=hτ((x，y)，q).

(ⅱ)假設(shè)x≤y，?x、y、z∈X，q∈Ω，則有

hτ((x，0)，q)?hτ((x，0)*(y，z)，q)∩hτ((y，z)，q)=

hτ((x*y，0*z)，q)∩hτ((y，z)，q)=

hτ((0，0)，q)∩hτ((y，z)，q)=hτ((y，z)，q).

證畢.

證明：對(duì)?y∈X，q∈Ω，有

令?x、y∈X，q∈Ω，則有

hτ((x，y)*(0，z)，q)∩hτ((x，z)，q)=hτ((x*0，y*z)，q)∩hτ((x，z)，q)=

又令y、z、w∈X，q∈Ω，則有

hτ(((x，y)*(0，z))*(0，w)，q)?hτ((x，y)*((0，z)*(0，w))，q)=

3 結(jié) 論

作為模糊集一個(gè)重要的分支，猶豫模糊集對(duì)研究BCH代數(shù)有非常重要的理論意義. 許多文獻(xiàn)研究了BCH代數(shù)的模糊理論，主要討論BCH代數(shù)上的模糊子代數(shù)和模糊理想等相關(guān)性質(zhì).本文在相關(guān)概念的基礎(chǔ)上研究了BCH代數(shù)的擬結(jié)合Ω-猶豫模糊理想，討論了它的一些性質(zhì)，豐富了BCH代數(shù)和猶豫模糊集的理論.