“畫”出思維過程，提升幾何直觀能力

江蘇省蘇州新區(qū)楓橋?qū)嶒?yàn)小學(xué) 李 珍

江蘇省蘇州市相城第一實(shí)驗(yàn)小學(xué) 談懌斌

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的總目標(biāo)中指出：要幫助學(xué)生初步形成幾何直觀能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。同時(shí)要讓學(xué)生獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。從本質(zhì)上說，幾何直觀，就是利用圖形進(jìn)行思維及展開想象的能力。然而在目前的蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，專門針對(duì)畫圖策略的教學(xué)內(nèi)容只有三年級(jí)下冊(cè)第三單元《解決問題的策略》中的例2和四年級(jí)下冊(cè)第五單元《解決問題的策略》中的例1、例2。如果僅在這兩個(gè)單元的教學(xué)中教學(xué)畫圖的策略，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力一定是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因此，我認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，應(yīng)貫穿于整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中。

一、深入挖掘教材內(nèi)容，循序漸進(jìn)教學(xué)畫圖策略

仔細(xì)研讀蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，我們不難發(fā)現(xiàn)，在各冊(cè)教材的編排中都大量運(yùn)用了情境圖、實(shí)物圖、符號(hào)圖等圖形素材，許多例題都在引導(dǎo)教師和學(xué)生運(yùn)用畫圖的方法探究解決問題的方法。因此，我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)真梳理各冊(cè)教材，深入挖掘教材中的資源，充分發(fā)揮這部分例題、習(xí)題利用圖形描述和分析問題的價(jià)值，讓學(xué)生在潛移默化中理解畫圖的意義。

經(jīng)過梳理，我把蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透教學(xué)畫圖策略的相關(guān)內(nèi)容分類如下：

（一）實(shí)物圖

小學(xué)生的認(rèn)知水平屬于皮亞杰所劃分的兒童認(rèn)知發(fā)展階段的第三個(gè)階段（7～12歲）：具體運(yùn)算階段。具體運(yùn)算思維一般還離不開具體事物的支持。因而，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，尤其是低年級(jí)教材，大量運(yùn)用了實(shí)物圖。例如：一年級(jí)上冊(cè)第一單元《數(shù)一數(shù)》，第五單元《認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)》。《數(shù)一數(shù)》是學(xué)生進(jìn)入小學(xué)階段的第一節(jié)數(shù)學(xué)課，對(duì)于每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都具有十分重要的意義。同時(shí)初步滲透了一一對(duì)應(yīng)思想和符號(hào)化思想?！墩J(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)》單元中，例1在主題圖下面依次呈現(xiàn)了實(shí)物圖、數(shù)珠圖、數(shù)字，目的是把數(shù)字與相應(yīng)的數(shù)珠以及相應(yīng)個(gè)數(shù)的物體聯(lián)系起來，賦予數(shù)字具體的含義，從而讓學(xué)生有意義地接受數(shù)學(xué)符號(hào)，逐漸形成數(shù)的概念。

（二）符號(hào)圖

皮亞杰指出，“具體運(yùn)算階段”發(fā)展最典型的標(biāo)志就是能夠運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行有邏輯的思考活動(dòng)。因此，在實(shí)物圖的基礎(chǔ)之上，教材逐步抽象，適時(shí)采用圓點(diǎn)圖、數(shù)珠圖、符號(hào)圖等，使學(xué)生進(jìn)一步感受一一對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想，從而深入直觀地理解“同樣多”“多多少”“少多少”等數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)解決問題建立豐富的表象和經(jīng)驗(yàn)。例如：一年級(jí)上冊(cè)第五單元《認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)》第25頁“想想做做”第8題，第27頁“想想做做”第9題，第69頁“想想做做”第2題。教材有意識(shí)地從比較實(shí)物的多少，逐步抽象為比較符號(hào)的多少，進(jìn)而通過畫畫填填，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)用“畫”的方式解決簡單的計(jì)算問題。

（三）直條圖

在一年級(jí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)實(shí)物圖、符號(hào)圖已經(jīng)積累了較為豐富的表象，并能借助畫符號(hào)解決一些簡單的計(jì)算問題。隨著年齡的增長，學(xué)生的思維從形象思維逐步向抽象思維過渡。教材中的實(shí)物圖、符號(hào)圖也隨之逐步抽象為直條圖。例如：二年級(jí)上冊(cè)《100以內(nèi)的加法、減法（三）》第7頁“想想做做”第2題。教材借助相差關(guān)系的問題逐步把實(shí)物圖抽象為直條圖，為進(jìn)一步抽象成線段圖做好了過渡和鋪墊。

（四）線段圖

線段圖利用線段來描述和分析問題中的數(shù)量關(guān)系，是最常用的畫圖形式之一，用線段圖來表示相差關(guān)系、倍比關(guān)系、行程問題等，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單、形象，有利于探索解決問題的思路。線段圖以其形象、直觀的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用。注重讓學(xué)生運(yùn)用線段圖來解決實(shí)際問題，可以有效提高學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

三年級(jí)下冊(cè)《解決問題的策略——畫線段圖》，是學(xué)生第一次正式學(xué)習(xí)畫線段圖解決問題。特級(jí)教師徐斌在教學(xué)中，設(shè)計(jì)了紅花和藍(lán)花之間倍數(shù)關(guān)系的實(shí)物圖，然后過渡到正方形圖，再逐漸演變?yōu)闂l形圖，最后抽象成線段圖。這一過程讓形象到抽象的過程變得可視，使學(xué)生在不知不覺中對(duì)線段圖有了本源性認(rèn)識(shí)。為接下來進(jìn)一步學(xué)習(xí)畫線段圖和分析數(shù)量關(guān)系做好了充分鋪墊。

（五）示意圖

在第一學(xué)段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的看圖、畫圖經(jīng)驗(yàn)，如學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍時(shí)，用畫一畫、圈一圈的方法理解“倍”的含義；學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾時(shí)，通過線段圖理解求較大數(shù)和求較小數(shù)的方法；學(xué)習(xí)長方形、正方形的周長與面積時(shí)，也經(jīng)常畫圖……但是還沒有將畫圖上升到策略的高度來體會(huì)和感悟。隨著課程內(nèi)容的螺旋上升，學(xué)生面臨的學(xué)習(xí)內(nèi)容難度逐步加深，數(shù)量關(guān)系愈加復(fù)雜。此時(shí)，學(xué)生需要進(jìn)一步借助幾何直觀把復(fù)雜的問題變得簡單、直觀。除了進(jìn)一步運(yùn)用線段圖之外，平面示意圖和立體示意圖在解決相關(guān)實(shí)際問題時(shí)也發(fā)揮著重要作用。

（1）平面示意圖

四年級(jí)下冊(cè)《解決問題的策略》，除了進(jìn)一步學(xué)習(xí)用線段圖解決“和差問題”之外，重點(diǎn)學(xué)習(xí)畫平面示意圖解決有關(guān)圖形面積增加或減少的實(shí)際問題。

梅山小學(xué)有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時(shí)，花圃的長增加了3米，這樣面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？

僅僅從文字上看，這個(gè)問題很難解決，但通過畫圖，可以清晰地看出長增加與增加面積之間的關(guān)系，從而求出原來寬，再解決面積問題。

（2）立體示意圖

六年級(jí)上冊(cè)《長方體和正方體》這一單元，安排了如下思考題：一個(gè)長方體，如果高增加2厘米，就變成一個(gè)正方體。這時(shí)表面積比原來增加56平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？

僅看文字，很難真正理解題意。通過畫圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，找出表面積比原來增加的部分是4個(gè)完全相同的側(cè)面。因此，用增加的面積先除以4，得到每個(gè)側(cè)面的面積。從圖中還能清楚地看出高增加的2厘米是這個(gè)小長方形的寬。基于以上理解，可以輕松求出現(xiàn)在正方體的棱長，進(jìn)而求得原來長方體的高。原來長方體的體積也就迎刃而解了。

借助畫圖，可以把抽象的數(shù)據(jù)變成直觀的圖形，從而更好地理解條件和問題之間的聯(lián)系，便于直觀分析各數(shù)量之間的關(guān)系，從而形成解決問題的思路。

從低年級(jí)的實(shí)物圖、符號(hào)圖、直條圖，到中高年級(jí)的線段圖、平面示意圖、立體示意圖，教材編排層層遞進(jìn)，逐步滲透。無論是基于學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)，還是從教材編排意圖看，教師都應(yīng)將“數(shù)形結(jié)合”思想貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。

二、著力培養(yǎng)畫圖意識(shí)，由易到難教學(xué)畫圖方法

畫圖能力的培養(yǎng)絕非一日之功，需要逐步滲透，讓學(xué)生在循序漸進(jìn)中掌握。

（一）培養(yǎng)學(xué)生良好的畫圖習(xí)慣

低年級(jí)是形成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的關(guān)鍵時(shí)期。因此，畫圖習(xí)慣的培養(yǎng)同樣要從低年級(jí)開始。還是以一年級(jí)上冊(cè)第一單元《數(shù)一數(shù)》為例。當(dāng)學(xué)生在用畫圓點(diǎn)的方式表示每一種物體的數(shù)量時(shí)，老師一定要強(qiáng)調(diào)圓點(diǎn)的畫法，要求大小均勻、排列整齊。從小培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的畫圖習(xí)慣，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)畫圖策略奠定良好基礎(chǔ)。按要求畫正方形，不僅要求正方形大小合適、形狀規(guī)整，更要強(qiáng)調(diào)一一對(duì)應(yīng)的畫法，滲透對(duì)應(yīng)思想，為后續(xù)畫線段圖埋下伏筆。教師示范、同伴影響，都是培養(yǎng)學(xué)生良好畫圖習(xí)慣的有效方法。

（二）激發(fā)學(xué)生自主畫圖的意識(shí)

畫圖作為一種解決問題的有效策略，如果變成老師一廂情愿的“推銷”，那么非但起不到幫助解題的作用，反而會(huì)成為學(xué)生的負(fù)擔(dān)。因此，培養(yǎng)學(xué)生自主畫圖的意識(shí)是關(guān)鍵。教師在教學(xué)中要盡量使用圖形分析問題、解釋結(jié)果，通過畫圖使學(xué)生感受在分析問題、解決問題時(shí)圖形的優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生由被動(dòng)的畫圖逐步形成主動(dòng)用畫圖來解決問題的意識(shí)。在潤物細(xì)無聲的教育中愛上畫圖策略。

（三）加強(qiáng)畫圖方法的指導(dǎo)

畫圖能力的形成依賴于畫圖方法的嫻熟掌握，因此，教師在教學(xué)中要注意引領(lǐng)學(xué)生歸納整理畫圖方法。

特級(jí)教師徐斌在執(zhí)教四年級(jí)下冊(cè)《解決問題的策略——畫示意圖》一課時(shí)。為了讓學(xué)生更好地理解“長增加3米，從而面積增加18平方米”的含義，大膽放手，讓學(xué)生嘗試自己畫圖。學(xué)生一開始只把其中的一條長增加了3米，教師問：“現(xiàn)在面積增加了嗎？”

“沒有增加。”

題目里說長增加了3米，面積就增加了18平方米，哪里是面積增加的部分？

“現(xiàn)在面積增加了嗎？”

學(xué)生感覺好像缺了什么，又補(bǔ)上長方形的寬。

只有老師有意識(shí)地引領(lǐng)和指導(dǎo)，學(xué)生的畫圖能力才會(huì)不斷增強(qiáng)。

三、靈活運(yùn)用畫圖策略，由淺入深提升數(shù)學(xué)思維

畫圖策略，可以讓學(xué)生的思維走向更深、更遠(yuǎn)處，讓學(xué)生的思維能力在春風(fēng)化雨中提升。

（一）“畫”抽象為直觀

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科。有些數(shù)學(xué)問題僅憑文字，學(xué)生理解起來比較困難。例如，五年級(jí)下冊(cè)《因數(shù)和倍數(shù)》單元中，學(xué)生運(yùn)用“最大公因數(shù)”知識(shí)解決如下問題時(shí)，如果沒有圖形的支撐，很難深入理解題意。

把一張長15厘米，寬9厘米的長方形紙（如圖）裁成同樣大的正方形，如果要求紙沒有剩余，裁出的正方形邊長最大是多少厘米？一共可以裁出多少個(gè)這樣的正方形？（在圖中畫一畫，再回答）借助圖形，可以使學(xué)生更直觀地理解問題，從而有效突破教學(xué)的難點(diǎn)。

清污水分離主要是把廠區(qū)內(nèi)村民生活水及職工澡堂水匯集回收再處理復(fù)用，保證污水不外排；減少生產(chǎn)系統(tǒng)內(nèi)補(bǔ)加清水量。

（二）“畫”繁為簡

正如華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！蔽迥昙?jí)下冊(cè)第七單元“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”中的例2，是一道分?jǐn)?shù)連加算式。

巧妙利用數(shù)形結(jié)合，可以將有些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單。這樣借助畫圖策略，讓學(xué)生在直觀形象的圖形中找到問題的突破口，同時(shí)也滲透了轉(zhuǎn)化思想。

（三）“畫”難為易

隨著年級(jí)的升高，數(shù)學(xué)問題的綜合性也越來越強(qiáng)。例如：在教學(xué)“圓柱和圓錐”的體積時(shí)，有時(shí)會(huì)和比的知識(shí)聯(lián)系起來，如下圖所示思考題，學(xué)生理解起來有一定難度。

一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱底面積相等，體積的比是1：6。如果圓錐的高是4.2厘米，圓柱的高是多少厘米？如果圓柱的高是4.2厘米，圓錐的高是多少厘米？

此時(shí)，可以借助畫圖，從最容易想到的“等底等高”的情況畫起，先畫一組“等底等高”的圓錐、圓柱，這時(shí)它們的體積比是1：3。此時(shí)只需引導(dǎo)學(xué)生思考，在底面積不變的情況下，怎樣使圓柱的體積擴(kuò)大為原來的2倍？借助圖形，學(xué)生比較容易思考得出只要把圓柱的高擴(kuò)大為原來的2倍，從圖中就能清晰地看出，此時(shí)兩者體積之比就是1：6了。此時(shí)圓錐和圓柱的高之間的關(guān)系從圖中一目了然。

利用畫圖，原來難以理解的問題變得簡明、直觀，問題迎刃而解。

（四）“畫”動(dòng)為靜

在推導(dǎo)圖形計(jì)算公式時(shí)，常常需要用到轉(zhuǎn)化的思想。例如，推導(dǎo)圓的面積公式、圓柱的體積公式等，新授過程中，教師通常會(huì)借助實(shí)物或多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示。而在練習(xí)過程中，這樣的推導(dǎo)過程不可能也沒有條件每次都進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示。此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把“動(dòng)態(tài)”的轉(zhuǎn)化過程用“靜態(tài)”的示意圖畫出來是很有必要的。

（五）“畫”中有話

在解決問題的過程中，學(xué)生不僅要會(huì)畫，更要學(xué)會(huì)“說”畫。將圖形中的數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，從而更加有效地提升學(xué)生的思維能力。學(xué)生在經(jīng)歷了畫圖的過程后，教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步追問根據(jù)畫好的圖你能知道些什么？引導(dǎo)學(xué)生說出圖中所表示的數(shù)量關(guān)系。在說的過程中一方面讓學(xué)生進(jìn)一步感受圖形的直觀，另一方面也理清了解題思路。進(jìn)而感悟到畫圖在解決問題中的價(jià)值。

（六）“畫”在心中

畫圖是解決問題的手段，而不是最終目的。學(xué)生熟練掌握畫圖策略后，在解決問題時(shí)圖形便會(huì)自然浮現(xiàn)在腦海中，原來必須要畫在紙上才能夠看明白、想明白的圖形，可以轉(zhuǎn)而畫在心中。徐特提煉為：無劍之境，無招之意，無名之實(shí)，無形之美。此時(shí)，畫圖的策略上升為模型思想，學(xué)生的空間觀念、幾何直觀也便有了切實(shí)的提升。

當(dāng)然，學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)，幾何直觀能力的提升，不是一朝一夕的事。教師在教學(xué)過程中要遵循循序漸進(jìn)的原則，使學(xué)生逐步掌握“畫圖”的數(shù)學(xué)技能，逐漸形成主動(dòng)運(yùn)用畫圖策略幫助分析、思考問題的意識(shí)，從而提升學(xué)生幾何直觀能力，最終促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。