功能原理的例證教學法和課程思政啟示

劉偉民，梁果，尹乃強，曾慶國

(商丘師范學院 電子電氣工程學院，河南 商丘 476000)

功能原理是高等學校力學或大學物理課程的核心內(nèi)容，理解起來具有一定的難度.其原理的推導涉及質(zhì)點系的動能定理.對一個質(zhì)點系，假設其外力和內(nèi)力做功分別為We和Wi，系統(tǒng)的動能、勢能和機械能分別用Ek、Ep和E表示，則有

We+Wi=ΔEk

(1)

而系統(tǒng)內(nèi)力的功又分為保守內(nèi)力功Wic和非保守內(nèi)力功Wnc，而保守內(nèi)力的功Wic總可以表示為系統(tǒng)勢能增量的負值，即

Wic=-ΔEp

(2)

聯(lián)立以上公式和關系式，得到

We+Wnc=ΔEk+ΔEp=ΔE

(3)

這就是系統(tǒng)的功能原理，可以描述為，系統(tǒng)所受的外力和非保守內(nèi)力做功之和等于系統(tǒng)機械能的增量.不難發(fā)現(xiàn)，功能原理將系統(tǒng)外力和非保守內(nèi)力做功情況和系統(tǒng)機械能變化聯(lián)系到一起，這也是功能原理名字的由來.

在以往的教學研究中，關于功能原理的描述有很多.這些描述中，有開展功能原理和機械能守恒定律關聯(lián)問題和使用條件的研究[1-2]，也有針對功能原理的其他表述形式，討論包含外保守力形式的適用條件及可能存在問題展開論述的研究[3-5].有針對外勢能概念的引入對功能原理和機械能守恒定律描述的影響等方面的研究[6-7].也有利用功能原理討論受迫振動等方面的研究[8-9].還有討論非慣性參考系下功能原理的描述和應用的研究[10-11].但關于功能原理的具體教學過程的研究目前還不多，如何通過教學設計傳授知識、訓練思維以及進行思政提升，值得我們所有教師深入思考.下面，我們通過三個實例，來詳細闡述功能原理的例證教學法以及可能的思政啟示.

1 舉例描述

例1：如圖1所示，物體2放置在光滑地面上，兩物體間滑動摩擦系數(shù)為0.1，物體1以初速度10 m·s-1從物體2右側(cè)往左側(cè)滑行.此過程中摩擦力做的功？

分析：通過分析發(fā)現(xiàn)，兩物體最終會以相同速度往左側(cè)滑行，由于水平方向不受外力，動量守恒，因此最終的合速度為2.5 m·s-1.此時如果單獨去求解每一物體所受摩擦力做功情況，由于牽涉兩個物體，并且方向不一致，顯得十分復雜，但由于水平方向不受外力，且只有非保守內(nèi)力做功，機械能只有動能，利用功能原理，發(fā)現(xiàn)，摩擦力做的功就是系統(tǒng)動能的增量.即ΔE=12.5 J-50 J=-37.5 J，負號表示系統(tǒng)的機械能在減小.

例2：如圖2所示，物體2斜面放置在光滑地面上，物體1可以看做質(zhì)點，與物體2之間無摩擦力，物體1從斜面頂端靜止釋放，并沿斜面下滑，假設斜面和地面之間角度較小，可看成平順連接.問當物體1剛滑出斜面時，物體1和2的速度？

分析：如果只把M1和M2作為系統(tǒng)進行分析，由于物體1下滑過程中牽涉到重力做功，此時重力屬于外力，增加了問題復雜性.因此，換種思路，把物體1、物體2和地面三者作為研究系統(tǒng)，則在運動過程中，重力為內(nèi)力，不存在其它系統(tǒng)外力，也不存在非保守能力做功.由于系統(tǒng)的重力勢能變化易于求解，而待解問題正好和動能建立關聯(lián)，因此直接利用功能原理，發(fā)現(xiàn)外力和非保守內(nèi)力做功均為零，系統(tǒng)的機械能守恒.另外，由于系統(tǒng)水平方向不受外力，動量守恒，有

M1v1=M2v2

(4)

以地面為重力勢能的零參考面，設物體1釋放時的初始高度為h.則有

(5)

例3：仍以圖2所示，假設其它條件不變，但是物體1和2之間存在摩擦力(物體1釋放后仍然可以下滑)，若物體1滑出斜面時的水平速度為v1′，求摩擦力做的功為多少？

圖1 有摩擦力的兩物體放置在光滑水平面上

圖2 相互無摩擦力的兩物體放在光滑水平面上

分析：和例2相比，物體1在下滑過程中，存在摩擦力，仍以物體1、2和地球作為研究系統(tǒng)，在整個過程中，不存在外力，摩擦力為非保守內(nèi)力，利用功能原理，以及水平方向動量守恒，有

M1v1′=M2v2′

(6)

(7)

2 討論和結(jié)論

通過以上幾個例子，能夠感受到采用功能原理處理問題的便捷性.本質(zhì)上為什么有這些便捷呢？那是因為在解決實際問題時，單獨去求解外力的功，特別是非保守內(nèi)力的功，有時會特別復雜，如果遇到變力問題，或者摩擦表面不均勻情況，幾乎無法直接求解，而在一個系統(tǒng)中，機械能的變化相對容易得到，甚至有時機械能本身就是守恒的.而利用功能原理，不但能夠建立做功和系統(tǒng)機械能變化之間的關聯(lián)，更能將求解過程大為簡略，為解決復雜問題提供了一種處理思路.因此，理解好功能原理，就能深入理解質(zhì)點系的動能定理和機械能守恒定律.

3 思政啟示

立德樹人是高校的根本任務，思政環(huán)節(jié)在教學中的重要地位，近年來一直為教育部和高校教師所重視，如何將思政內(nèi)容在潛移默化中，做到潤物細無聲，是思政教學環(huán)節(jié)的要求和追求.以下，我們來探討功能原理的教學過程中，可能包含的課程思政元素.

3.1 發(fā)現(xiàn)事物之間關聯(lián)

對于功能原理的教學，一個基本的思政啟示是，事物之間往往具有某種關聯(lián)，系統(tǒng)的動能定理，實際上在推導過程中只包含了系統(tǒng)中的每一個質(zhì)點的外力做功和該質(zhì)點動能變化之間關聯(lián)，并沒有涉及勢能，但由于保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢能的變化，最終將系統(tǒng)外力和非保守內(nèi)力的功與系統(tǒng)機械能的增量建立關聯(lián).并顯著增加了求解問題的便捷性.而利用功能原理的表述，不難發(fā)現(xiàn)，如果系統(tǒng)不受外力，也不存在非保守力做功的情況，則系統(tǒng)的機械能增量為零，也即此過程中機械能守恒.可以順勢教育學生，事物之間的發(fā)展往往具有一定關聯(lián)，我們的學習過程也是這樣，對于一門課程來說，前邊的內(nèi)容往往是后邊內(nèi)容的基礎或者應用，如果前邊基礎打不好，會嚴重影響后續(xù)學習.所以，任何一門課程的學習，從一開始，我們就要抱著積極主動的態(tài)度認真對待.甚至不同的課程之間也是如此，這也是很多課程存在先修課程的原因.

3.2 全局視角解決問題

在例1中，我們需要求解運動過程中的摩擦力做功，如果不進行全局分析，只是按照字面意義直接去求解摩擦力，就需要獲得界面之間的摩擦系數(shù)，以及在摩擦力作用下發(fā)生的位移，但由于系統(tǒng)中摩擦力對兩個物體做功的方向是相反的，特別是摩擦力系數(shù)如果不是常數(shù)或者正壓力并非定值，直接求解會相當復雜.我們在日常工作學習中，遇到問題時，要學會通過表面看清事物的本質(zhì)，找到解決問題最合適的方法.例如，道路上有一個小坑經(jīng)常會造成過往車輛爆胎，那處理問題的最佳方式不可能只是提醒大家注意危險存在，而是想辦法聯(lián)絡有關部門把道路處理平整.在學習過程中，要提醒學生思考處理同樣一個問題時，哪種方法和思路最簡潔有效.