關(guān)聯(lián)代數(shù)上Jordan τ-中心化子

周斯名

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130000)

設(shè)R是環(huán)或代數(shù)，如果一個(gè)可加(線性)映射φ:R→R滿足對任意A,B∈R有φ(AB)=φ(A)B(φ(AB)=Aφ(B))，則稱φ是左(右)中心化子;若φ既是左中心化子又是右中心化子,稱φ是中心化子．若對任意A∈R，φ滿足φ(A2)=φ(A)A(φ(A2)=Aφ(A))則稱φ是一個(gè)左(右)Jordan中心化子．文獻(xiàn)[1]證明了半素環(huán)上的左Jordan中心化子是左中心化子，進(jìn)而在半素環(huán)上每一個(gè)Jordan中心化子是中心化子．有類似結(jié)果見文獻(xiàn)[2-5].受上述結(jié)論啟發(fā)，本文證明了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的左Jordan中心化子是左中心化子以及關(guān)聯(lián)代數(shù)上的左Jordanτ-中心化子是左τ-中心化子.類似地，我們可以得到關(guān)聯(lián)代數(shù)上的右Jordan中心化子是右中心化子以及關(guān)聯(lián)代數(shù)上的右Jordanτ-中心化子是右τ-中心化子.則得到了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的Jordan中心化子是中心化子以及關(guān)聯(lián)代數(shù)上的Jordanτ-中心化子是τ-中心化子．

1 預(yù)備知識

定義1若對于任意A∈R，φ滿足φ(A2)=φ(A)τ(A)(φ(A2)=τ(A)φ(A))，則稱φ是一個(gè)左(右)Jordanτ-中心化子(τ為R上的一個(gè)滿的自同態(tài)).

定義2若對于任意A∈R，φ滿足φ(AB)=φ(A)τ(B)(φ(AB)=τ(A)φ(B))，則稱φ是一個(gè)左(右)τ-中心化子(τ為R上的一個(gè)滿的自同態(tài))．

關(guān)聯(lián)代數(shù)的概念最早是Ward[10]引出，而后研究人員對關(guān)聯(lián)代數(shù)上的相關(guān)問題進(jìn)行研究(參考文獻(xiàn)[12～21]).

定義3設(shè)R是具有單位元的交換環(huán)，(X,≤)是一個(gè)局部有限預(yù)序集(≤滿足自反性、傳遞性，?x,y∈X，且x≤y)，至多存在有限個(gè)元素z∈X滿足x≤z≤y，在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R).

I(X,R):={f:X×X→R|f(x,y)=0,若x≤y不成立}

代數(shù)運(yùn)算如下：

(f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y),

rf(x,y)=rf(x,y),

?f,g∈I(X,R)，r∈R，x,y,z∈X.乘積fg在函數(shù)論中被稱為卷積.

定義4關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)中的單位元δ[15]滿足δ(x,y)=δxy，x≤y,其中δxy∈{0，1}是Kronecker符號.

對于任意的x,y∈X滿足x≤y，則可定義關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的基元exy.對于eij,ekl∈I(X,R),根據(jù)卷積定義eijekl=δjkeil,則有

2 主要定理及證明

定理1設(shè)(X,≤)是一個(gè)有限預(yù)序集，R是含單位元的交換環(huán).I(X,R)是在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù),則關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的一個(gè)左Jordan中心化子是左中心化子.

證明針對對于基元eij,ekl∈I(X,R),有以下幾種情況：(其中i、l、j、k互不相等)

(1)eii=eiieii;φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)τ(eii)

(2)(a)i≠l，eil=eilell;φ(eil)=φ(eilell)=φ(eil)τ(ell)

(b)i≠l，eil=eiieil;φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)

(c)i≠l，0=eileii;φ(0)=φ(eileii)=φ(eil)τ(eii)

(d)i≠l，0=elleil;φ(0)=φ(elleil)=φ(ell)τ(eil)

(3)(a)j≠i，eii=eijeji;φ(eii)=φ(eijeji)=φ(eij)τ(eji)

(b)j≠i，ejj=ejieij;φ(ejj)=φ(ejieij)=φ(eji)τ(eij)

(4)(a)i≠l，eil=eijejl;φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)τ(ejl)

(b)i≠l,0=ejleij;φ(0)=φ(ejleij)=φ(ejl)τ(eij)

(5)(a)j≠k,i≠l,j=i,0=eiiekl;φ(0)=φ(eiiekl)=φ(eii)τ(ekl)

(b)j≠k,i≠l,j≠i,0=eijekl;φ(0)=φ(eijekl)=φ(eij)τ(ekl)

(1)eii=eiieii，將其代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eiieii+eiieii)=φ(eii)eii+φ(eii)eii，則顯然有φ(eii)=φ(eiieii)=

φ(eii)eii.

(2)(a)i≠l，eil=eilell，將eil=eilell代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eilell+elleil)=φ(eil)ell+φ(ell)eil，由φ(eii)=

φ(eiieii)=φ(eii)eii，則可得φ(ell)eil=φ(ell)elleil=0，則有φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eil)ell.

(b)i≠l，eil=eiieil,將eil=eiieil代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eiieil+eileii)=φ(eii)eil+φ(eil)eii，則由φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil，可得φ(eil)eii=φ(eii)eileii=0，可得φ(eiieil)=φ(eii)eil

(c)i≠l，0=eileii，將0=eileii代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eileii+eiieil)=φ(eil)eii+φ(eii)eil，由φ(0)=0及φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil可知φ(0)=φ(eileii)=φ(eil)eii

(d)i≠l，0=elleil，將0=eileii代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有，φ(elleil+eilell)=φ(ell)eil+φ(eil)ell，由φ(0)=0及φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eil)ell可知φ(0)=φ(elleil)=φ(ell)eil.

(3)(a)j≠i，eii=eijeji將eii=eijeji代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eijeji+ejieij)=φ(eij)eji+φ(eji)eij,由φ是線性映射，則有φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)eji+φ(eji)eij，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil及φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)eii，則φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)eji+φ(eji)eij=φ(eij)eji+φ(ejj)ejieij=φ(eij)eji+φ(ejj)ejj=φ(eij)eji+φ(ejj)，可得φ(eii)=φ(eij)eji

(b)j≠i，ejj=ejieij由上式可得φ(ejj)=φ(ejieij)=φ(eji)eij.

(4)(a)i≠l，eil=eijejl將eil=eijejl代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eijejl+ejleij)=φ(eij)ejl+φ(ejl)eij，根據(jù)φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil，則有φ(ejl)eij=φ(ejj)ejleij=0，可得φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)ejl.

(b)i≠l,0=ejleij,將0=ejleij代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(ejleij+eijejl)=φ(ejl)eij+φ(eij)ejl，由φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil及φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)ejl，則φ(0)=φ(ejleij)=φ(ejl)eij，結(jié)論得證.

(5)(a)j≠k,i≠l,0=eiiekl將0=eiiekl代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eiiekl+ekleii)=φ(eii)ekl+φ(ekl)eii,則有φ(0)=φ(eii)ekl+φ(ekl)eii，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil，則可得φ(0)=φ(eiiekl)=φ(eii)ekl和φ(0)=φ(ekl)eii=0，結(jié)論得證.

(b)j≠k,i≠l,j≠i,0=eijekl將0=eijekl代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eijekl+ekleij)=φ(eij)ekl+φ(ekl)eij,則有φ(0)=φ(eij)ekl+φ(ekl)eij，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil，則可得φ(0)=φ(eijekl)=φ(eij)ekl=0和φ(0)=φ(ekl)eij=0，結(jié)論得證.

引理1若φ是一個(gè)左Jordanτ-中心化子.則對于任意x,y∈R，有

φ(xy+yx)=φ(x)τ(y)+φ(y)τ(x)

(1)

φ(xyx)=φ(x)τ(y)τ(x)

(2)

證明 由φ是一個(gè)左Jordanτ-中心化子，則對于任意A∈R，滿足φ(A2)=φ(A)τ(A)，令A(yù)=x+y，對于任意x,y∈R，有φ((x+y)2)=φ(x+y)τ(x+y)，整理有φ(x2+xy+yx+y2)=φ(x)τ(x)+φ(x)τ(y)+φ(y)τ(x)+φ(y)τ(y)，而由φ是線性映射則有

φ(xy+yx)=φ(x)τ(y)+φ(y)τ(x).

在(1)中用xy+yx代替y，則對于任意x,y∈R,φ(x(xy+yx)+(xy+yx)x)=φ(x)τ(xy+yx)+φ(xy+yx)τ(x)=φ(x)τ(x)τ(y)+2φ(x)τ(y)τ(x)+φ(y)τ(x)τ(x)φ(x2y+2xyx+yx2)=φ(x)τ(x)τ(y)+2φ(x)τ(y)τ(x)+φ(y)τ(x)τ(x)，其中τ為R上的一個(gè)滿的自同態(tài)，則由(1)可知φ(x2y+yx2)=φ(x2)τ(y)+φ(y)τ(x2)=φ(x)τ(x)τ(y)+φ(y)τ(x)τ(x)，整理可得φ(xyx)=φ(x)τ(y)τ(x).

定理2設(shè)(X,≤)是一個(gè)有限預(yù)序集，R是含單位元的交換環(huán).I(X,R)是在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù),則關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的一個(gè)左Jordanτ-中心化子是左τ-中心化子.

證明 針對對于基元eij,ekl∈I(X,R),有以下幾種情況：(其中i、l、j、k互不相等)

(1)eii=eiieii;φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)τ(eii)

(2)(a)i≠l，eil=eilell;φ(eil)=φ(eilell)=φ(eil)τ(ell)

(b)i≠l，eil=eiieil;φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)

(c)i≠l，0=eileii;φ(0)=φ(eileii)=φ(eil)τ(eii)

(d)i≠l，0=elleil;φ(0)=φ(elleil)=φ(ell)τ(eil)

(3)(a)j≠i，eii=eijeji;φ(eii)=φ(eijeji)=φ(eij)τ(eji)

(b)j≠i，ejj=ejieij;φ(ejj)=φ(ejieij)=φ(eji)τ(eij)

(4)(a)i≠l，eil=eijejl;φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)τ(ejl)

(b)i≠l,0=ejleij;φ(0)=φ(ejleij)=φ(ejl)τ(eij)

(5)(a)j≠k,i≠l,j=i,0=eiiekl;φ(0)=φ(eiiekl)=φ(eii)τ(ekl)

(b)j≠k,i≠l,j≠i,0=eijekl;φ(0)=φ(eijekl)=φ(eij)τ(ekl)

(1)eii=eiieii，將其代入(1)有φ(eiieii+eiieii)=φ(eii)τ(eii)+φ(eii)τ(eii)，則顯然有φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)τ(eii).

(2)(a)i≠l，eil=eilell，將eil=eiieil代入(1)有φ(eiieil+eileii)=φ(eii)τ(eil)+φ(eil)τ(eii)，對其右乘τ(eii)有φ(eil)τ(eii)=φ(eii)τ(eil)τ(eii)+φ(eil)τ(eii)τ(eii)，由τ為R上的一個(gè)滿的自同態(tài)有τ(eii)τ(eii)=τ(eiieii)=τ(eii)，可得φ(eii)τ(eil)τ(eii)=0.由(2)可知φ(eii)τ(eil)τ(eii)=φ(eiieileii)=φ(0)=0，可知φ(0)=0.

將eil=eilell代入(1)有φ(eilell+elleil)=φ(eil)τ(ell)+φ(ell)τ(eil)，由τ為R上的一個(gè)滿的自同態(tài)有τ(eil)=τ(eilell)=τ(eil)τ(ell)，則由(2)可知φ(ell)τ(eil)=φ(ell)τ(eil)τ(ell)=φ(elleilell)=φ(0)=0，可得φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)

(b)i≠l，0=eileii，將0=eileii代入(1)有φ(eileii+eiieil)=φ(eil)τ(eii)+φ(eii)τ(eil)，由φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)可知φ(eileii)=φ(eil)τ(eii)

(c)i≠l，0=elleil，由上式可知φ(ell)τ(eil)=φ(ell)τ(eil)τ(ell)=φ(elleilell)=φ(0)=0，可得φ(0)=φ(elleil)=φ(ell)τ(eil).

(3)(a)j≠i，eii=eijeji將eii=eijeji代入(1)有φ(eijeji+ejieij)=φ(eij)τ(eji)+φ(eji)τ(eij),由φ是線性映射，則有φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(eji)τ(eij)，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)，則φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(eji)τ(eij)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(eji)τ(eij)，由τ為R上的一個(gè)滿的自同態(tài)有τ(eji)τ(eij)=τ(ejieij)=τ(ejj)，可得φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(eji)τ(eij)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(ejj)，由φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)τ(eii)，得到φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)，φ(eii)=φ(eijeji)=φ(eij)τ(eji)得證.

(b)j≠i，ejj=ejieij同理可得φ(ejj)=φ(ejieij)=φ(eji)τ(eij).

(4)(a)i≠l，eil=eijejl將eil=eijejl代入(1)有φ(eijejl+ejleij)=φ(eij)τ(ejl)+φ(ejl)τ(eij)，根據(jù)φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)，則φ(eil)=φ(eij)τ(ejl)+φ(ejl)τ(eij)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(ejl)τ(eij)，由τ為R上的一個(gè)滿的自同態(tài)有τ(ejl)τ(eij)=τ(ejieij)=τ(0)=τ(ejlejj)，則由(2)可知φ(ejj)τ(ejl)τ(eij)=φ(ejj)τ(ejl)τ(ejj)=φ(ejjejlejj)=φ(0)=0，可得φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)τ(ejl).

(b)i≠l,0=ejleij,將0=ejleij代入(1)有φ(ejleij+eijejl)=φ(ejl)τ(eij)+φ(eij)τ(ejl)，根據(jù)φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)τ(ejl)，則φ(0)=φ(ejleij)=φ(ejl)τ(eij)，結(jié)論得證.

(5)(a)j≠k,i≠l,j=i,0=eiiekl將0=eiiekl代入(1)有φ(eiiekl+ekleii)=φ(eii)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eii),則有φ(0)=φ(eii)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eii)，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)，則φ(0)=φ(eii)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eii)=φ(eii)τ(ekl)+φ(ekk)τ(ekl)τ(eij)，由τ為R上的一個(gè)滿的自同態(tài)有τ(ekl)τ(eij)=τ(ekleij)=τ(0)=τ(eklekk)=τ(ekl)τ(ekk)，則由(2)可知φ(ekk)τ(ekl)τ(ekk)=φ(ekkeklekk)=φ(0)=0，則φ(0)=φ(eiiekl)=φ(eii)τ(ekl)結(jié)論得證.

(b)j≠k,i≠l,j≠i,0=eijekl將0=eijekl代入(1)有φ(eijekl+ekleij)=φ(eij)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eij),則有φ(0)=φ(eij)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eij)，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)，則φ(0)=φ(eij)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eij)=φ(eij)τ(ekl)+φ(ekk)τ(ekl)τ(eij)，由τ為R上的一個(gè)滿的自同態(tài)有τ(ekl)τ(eij)=τ(ekleij)=τ(0)=τ(eklekk)=τ(ekl)τ(ekk)，則由(2)可知φ(ekk)τ(ekl)τ(ekk)=φ(ekkeklekk)=φ(0)=0，則φ(0)=φ(eijekl)=φ(eij)τ(ekl)結(jié)論得證.