不連續(xù)隨機(jī)利率下基于O-U過程的商期權(quán)定價(jià)

李敬楠，劉會利

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024)

商期權(quán)是以兩個標(biāo)的資產(chǎn)、股指指數(shù)或其他數(shù)量的比值為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán).Zhang[1]在Exotic Options一書中首次詳細(xì)介紹商期權(quán),并給出了在Black-Scholes-Merton框架下兩個標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動的商期權(quán)價(jià)格解析式.2016年,楊曉琳等人[2]考慮了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下標(biāo)的資產(chǎn)服從跳擴(kuò)散模型的商期權(quán)定價(jià)公式.在現(xiàn)實(shí)中利率往往并不是確定的.2020年,楊曉琳等人[3]又在假設(shè)利率是時間函數(shù)下,分別利用Girsanov定理和Esscher變換,推導(dǎo)出商期權(quán)的定價(jià)公式.利率僅僅是關(guān)于時間的函數(shù)并不可以包含現(xiàn)實(shí)世界中利率發(fā)生變動的大部分情況,Merton[4]考慮了利率是連續(xù)的隨機(jī)過程且服從幾何布朗運(yùn)動.然而大量事實(shí)表明,利率過程有時會出現(xiàn)與連續(xù)變動不成比例的異常變化,呈現(xiàn)間斷”跳躍”過程.2005年,陳琪瓊等人[5]研究了在不連續(xù)隨機(jī)利率下期權(quán)的定價(jià)問題.

受到這些研究工作的啟發(fā),本文在利率服從不連續(xù)隨機(jī)過程的假設(shè)下,利用鞅方法,研究了在指數(shù)O-U環(huán)境下,具有不確定執(zhí)行價(jià)格的商期權(quán)定價(jià)問題.

1 市場模型和基本引理

本文假設(shè)(Ω,F,(Ft)t≥0,Q)為域流是Ft的概率空間,其中Ω是非空樣本集合.假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格Si(t)服從多維指數(shù)O-U過程:

(1)

其中μi(t)為第i個標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率,σij(t)為第i個資產(chǎn)的價(jià)格波動率,并且都為時間函數(shù),αi為常數(shù).(W1(t),W2(t),…,Wm(t))為測度Q下的m維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,各個分量之間相互獨(dú)立.假設(shè)執(zhí)行價(jià)格服從以下隨機(jī)微分方程(SDE):

(2)

(3)

(1)Z(t)=(Z1(t),…,Zm(t))為各個分量之間相互獨(dú)立的m維布朗運(yùn)動,且

引理3假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿足(1),則資產(chǎn)價(jià)格Si(t),(i=1,2),在t時刻滿足

(4)

(5)

引理4[9]假設(shè)隨機(jī)執(zhí)行價(jià)格K(t)滿足SDE(2),則在t時刻K(t)滿足

(6)

引理5假設(shè)貼現(xiàn)過程滿足SDE(3),則在t時刻有

(7)

2 不連續(xù)利率下商期權(quán)定價(jià)

本文假設(shè)市場是完備的,即沒有違約風(fēng)險(xiǎn),沒有市場摩擦,不存在套利機(jī)會等.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理是指在市場是完備的條件下,如果衍生產(chǎn)品的價(jià)格僅依賴于可交易的基礎(chǔ)資產(chǎn),則衍生產(chǎn)品的價(jià)格等于到期收益的貼現(xiàn)值在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的期望.我們用c(t,S1(t),S2(t))(p(t,S1(t),S2(t))),(0≤t≤T)表示標(biāo)的資產(chǎn)為S1(t),S2(t),到期日為T,執(zhí)行價(jià)格為K(T)的看漲(跌)商期權(quán)在t(0≤t≤T)時刻的價(jià)格.

定義1標(biāo)的為兩個資產(chǎn)比率的商期權(quán)在T時刻的收益分別是:

看漲商期權(quán)

(8)

看跌商期權(quán)

(9)

定理1假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格Si(t),(i=1,2)服從(1),執(zhí)行價(jià)格K(t)服從(2),貼現(xiàn)過程B(t)服從SDE(3),則到期日為T，收益形式為(8)的看漲商期權(quán)在0時刻的期權(quán)價(jià)值為:

其中

Hj(T,s)=Mj(T,s)+σBj(s),Gj(s)=bj(s)+σBj(s),

證明 由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理可知:

首先來計(jì)算φ1,由引理3中式(5)和引理5中式(7)可得:

(10)

則X1～N(0,σ2(T)).從而

(11)

接下來計(jì)算

(12)

其中d2=d1-σ(T).

綜合(10),(11),(12)可得定理1.

定理2在定理1的條件下,收益形式為(9)的看跌商期權(quán)在0時刻的期權(quán)價(jià)值為:

其中

證明 類似定理1證明可得.

3 數(shù)值分析

波動率是影響期權(quán)價(jià)格的重要參數(shù),為了觀察標(biāo)的資產(chǎn)Si,(i=1,2)的波動率和執(zhí)行價(jià)格K的波動率對期權(quán)價(jià)格的影響,利用MATLAB軟件,對常數(shù)參數(shù)模型下的商期權(quán)進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的數(shù)值分析.在下面的實(shí)驗(yàn)中若沒有特殊說明,假定m=1,貼現(xiàn)過程中μB=0.3,σB=0.02.以下分析不同參數(shù)的變化對期權(quán)價(jià)格的影響.

圖1 標(biāo)的資產(chǎn)S1的波動率σ1對期權(quán)價(jià)格的影響

圖2 標(biāo)的資產(chǎn)S2的波動率σ2對期權(quán)價(jià)格的影響

圖3 標(biāo)的資產(chǎn)K的波動率σK對期權(quán)價(jià)格的影響

圖1中令μ2=α2=σ2=β=b=0,μ1=0.2,α1=0.3,S1(0)=50.圖1(a)中設(shè)K(0)=0.5(圖1(b)中設(shè)S2(0)=40),表明當(dāng)S2(0)(K(0))在一定范圍內(nèi)變化時,標(biāo)的資產(chǎn)S1的波動率越大,期權(quán)價(jià)格越高.

圖2中令μ1=α1=σ1=β=b=0,μ2=0.2,α2=0.3,S2(0)=50.圖2(a)中設(shè)K(0)=0.5(圖2(b)中設(shè)S1(0)=40),表明當(dāng)S1(0)(K(0))在一定范圍內(nèi)變化時,標(biāo)的資產(chǎn)S2的波動率越大,期權(quán)價(jià)格越高.

圖3中令μ1=μ2=α1=α2=σ1=σ2=0,β=0.02,K(0)=0.3.圖3(a)中設(shè)S2(0)=40(圖3(b)中設(shè)S1(0)=90),表明當(dāng)S1(0)(S2(0))在一定范圍內(nèi)變化時,執(zhí)行價(jià)格K的波動率越大,期權(quán)價(jià)格越高.

4 總 結(jié)

在兩個資產(chǎn)的價(jià)格服從指數(shù)O-U過程的假設(shè)下,利用帶跳的Girsanov定理和測度變換的方法,對不確定執(zhí)行價(jià)格的商期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)研究.本文從兩個方面改進(jìn)了以前的結(jié)果,一是在多維布朗運(yùn)動下討論,二是利率過程是不連續(xù)的.