基于板梁理論的軸心受壓T形截面柱彎扭屈曲無(wú)窮級(jí)數(shù)解

張文福,閆學(xué)森,杭昭明

(1. 安徽建筑大學(xué)土木工程學(xué)院, 安徽 合肥 230601;2. 南京工程學(xué)院建筑工程學(xué)院, 江蘇 南京 211167;3. 東北石油大學(xué)土木建筑工程學(xué)院, 黑龍江 大慶 163318)

鋼結(jié)構(gòu)因其輕質(zhì)高強(qiáng)、跨度大、建造方便,被廣泛應(yīng)用于各類(lèi)建筑結(jié)構(gòu),如體育場(chǎng)中使用的超大跨度鋼屋面、框架-核心筒結(jié)構(gòu)中的外框架以及工業(yè)廠(chǎng)房的框架柱等.當(dāng)外力過(guò)大時(shí),許多軸心受壓構(gòu)件會(huì)產(chǎn)生較大變形而喪失承載力,即出現(xiàn)失穩(wěn),也稱(chēng)屈曲失穩(wěn).對(duì)于雙軸對(duì)稱(chēng)的桿件[1-2],如工字梁,由于板件通常較厚、抗扭剛度較大,在承受軸心壓力時(shí),整體失穩(wěn)主要是繞截面對(duì)稱(chēng)軸的彎曲屈曲;對(duì)于單軸對(duì)稱(chēng)桿件,如T形等截面柱,當(dāng)繞對(duì)稱(chēng)軸失穩(wěn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)彎扭失穩(wěn),這是由T形截面的形心和剪心位置不同導(dǎo)致的.

國(guó)內(nèi)相關(guān)研究：文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了63件鋁合金構(gòu)件進(jìn)行軸壓試驗(yàn),通過(guò)同類(lèi)型試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)曲線(xiàn),按材料類(lèi)型提出兩個(gè)用于計(jì)算軸心受壓構(gòu)件整體穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算公式;文獻(xiàn)[4]對(duì)承受軸力和端部彎矩的工字形桿件(楔形變截面,且兩端受不等彎矩)的彎扭屈曲進(jìn)行研究,得到更符合實(shí)際的梁彎扭失穩(wěn)穩(wěn)定系數(shù),并構(gòu)建了新的壓彎構(gòu)件平面外穩(wěn)定驗(yàn)算公式;文獻(xiàn)[5]推導(dǎo)了適用于單軸對(duì)稱(chēng)截面且考慮剪切變形的應(yīng)變與位移關(guān)系式,求得拱屈曲前的精確內(nèi)力,利用勢(shì)能駐值原理推導(dǎo)出T型截面拱彎扭屈曲荷載解析解;文獻(xiàn)[6]對(duì)不等邊角鋁構(gòu)件進(jìn)行軸壓試驗(yàn),試驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)構(gòu)件的長(zhǎng)細(xì)比較小時(shí),以扭轉(zhuǎn)屈曲為主,隨長(zhǎng)細(xì)比增加,彎曲屈曲占比增大,兩種屈曲模態(tài)共同影響構(gòu)件的極限承載力.

國(guó)外相關(guān)研究：文獻(xiàn)[7]通過(guò)試驗(yàn)以及數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),現(xiàn)有的歐洲、北美以及澳大利亞的設(shè)計(jì)規(guī)范低估了不銹鋼等邊角鋼截面柱的承載力,而Dinis等人提出的Direct Strength Method(DSM)設(shè)計(jì)方法雖然精確,但結(jié)果偏高;文獻(xiàn)[8]研究表明,蜂窩柱的開(kāi)孔率、間距比和長(zhǎng)細(xì)比對(duì)柱中的剪力有較大影響,與不開(kāi)孔的柱相比,剪切效應(yīng)降低了屈曲荷載的10%～20%;文獻(xiàn)[9]發(fā)現(xiàn),因?yàn)椴坏戎卿摕o(wú)對(duì)稱(chēng)軸,在發(fā)生彈性屈曲時(shí),彎曲屈曲與扭轉(zhuǎn)屈曲相互影響,桿件較短時(shí)以扭轉(zhuǎn)屈曲為主,反之以彎曲屈曲為主,而規(guī)范對(duì)這兩種屈曲的相互影響考慮不足;文獻(xiàn)[10]研究不同的殘余應(yīng)力分布模式對(duì)工字梁在承受均勻分布?jí)毫r(shí)發(fā)生彎扭屈曲的影響,分析了這幾種殘余應(yīng)力分布模式的適用情況.

對(duì)于軸心受壓構(gòu)件,以上研究在試驗(yàn)、規(guī)范對(duì)比以及理論推導(dǎo)方面均有涉及,但對(duì)于單軸對(duì)稱(chēng)截面的研究較少.單軸對(duì)稱(chēng)截面剪心與形心分離,其軸心壓力臨界荷載的計(jì)算現(xiàn)有文獻(xiàn)沒(méi)有精確的理論解,按照傳統(tǒng)開(kāi)口薄壁構(gòu)件理論計(jì)算臨界壓力較為復(fù)雜,而GB 50017—2017《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》[11]采用的是簡(jiǎn)化計(jì)算方法,準(zhǔn)確度不高.目前在工程上T形截面柱的應(yīng)用較為廣泛,精確求解T形截面柱的軸心壓力臨界荷載十分必要.

本文基于文獻(xiàn)[12-15]提出的板-梁理論,舍棄傳統(tǒng)理論中牽涉到復(fù)雜計(jì)算的扇性坐標(biāo),假設(shè)T形截面變形時(shí)位移函數(shù)為無(wú)窮三角級(jí)數(shù),得到總勢(shì)能方程的無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)式;利用能量變分法,得到T形截面柱軸心壓力臨界荷載理論值,可以精確預(yù)測(cè)T形截面柱的彎扭屈曲;通過(guò)有限元軟件對(duì)理論解進(jìn)行驗(yàn)證.本文的方法可以應(yīng)用到工程設(shè)計(jì)中,為設(shè)計(jì)人員評(píng)估T形截面柱的抗壓性能提供參考.

1 彎扭屈曲理論研究

1.1 板-梁理論簡(jiǎn)介

T形截面尺寸與變形如圖1所示.為了方便描述變形,引入兩套坐標(biāo)系：整體坐標(biāo)系xyz和局部坐標(biāo)系nsz.這兩套坐標(biāo)系與Vlasov坐標(biāo)系ns均符合右手螺旋法則,整體坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在截面形心,各板件的局部坐標(biāo)系原點(diǎn)選在板件形心.

圖1 T形截面尺寸與變形圖

圖1中：bf為翼緣寬度;tf為翼緣厚度;hw為腹板高度;tw為腹板厚度;C、S分別為截面的形心、剪心,S在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(0,y0);hs1為上翼緣到剪心的距離;hs2為腹板底部到剪心的距離;ef為上翼緣形心到到截面形心的距離;ew為腹板形心到截面形心的距離;u(z)、θ(z)為發(fā)生彎扭屈曲時(shí)截面的側(cè)向位移、轉(zhuǎn)角.

板-梁理論的基本假設(shè)為：

1) 剛周邊假設(shè),即彎扭屈曲時(shí)截面形狀不變,據(jù)此可以確定板件形心的橫向位移;

2) 變形分解假設(shè),即每塊板件的變形可以分解為平面內(nèi)變形和平面外變形,與此對(duì)應(yīng)的縱向位移、應(yīng)變能和初應(yīng)力勢(shì)能等可分別按Euler梁力學(xué)模型和Kirchhoff板力學(xué)模型確定.

1.2 能量變分法

軸心壓力作用下T形截面簡(jiǎn)支柱計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示.圖2中：L為柱的高度;P為軸心壓力.

圖2 T形截面簡(jiǎn)支柱計(jì)算簡(jiǎn)圖

1.2.1 模態(tài)試函數(shù)

T形截面簡(jiǎn)支柱發(fā)生彎扭變形時(shí),根據(jù)簡(jiǎn)支的邊界條件,可以將側(cè)向位移u(z)和截面轉(zhuǎn)角θ(z)設(shè)為無(wú)窮級(jí)數(shù)形式:

(1)

(2)

式中,An、Bn分別為截面?zhèn)纫坪娃D(zhuǎn)角的待定系數(shù).表達(dá)式滿(mǎn)足簡(jiǎn)支支承的幾何邊界條件：

u(0)=u″(0)=0u(l)=u″(l)=0

θ(0)=θ″(0)=0θ(l)=θ″(l)=0

(3)

1.2.2 總勢(shì)能方程

根據(jù)板-梁理論假設(shè),T形截面簡(jiǎn)支柱總應(yīng)變能為：

(4)

腹板的初應(yīng)力勢(shì)能可表示為：

(5)

式中,Δ1=ew-y0.

翼緣的初應(yīng)力勢(shì)能可表示為：

(6)

式中,Δ2=ef+y0.

總的初應(yīng)力勢(shì)能為：

(7)

上翼緣到剪心的距離為：

(8)

y0=hs1-ef

(9)

對(duì)于使用同一種材料的情況,有：

(10)

(11)

因此,單軸對(duì)稱(chēng)的T形截面柱在恒定軸力下發(fā)生彎扭屈曲的總勢(shì)能可表示為：

(12)

由此可得：

(13)

(14)

(15)

(16)

則受軸力P作用的單軸對(duì)稱(chēng)T形截面簡(jiǎn)支柱彎扭屈曲的總勢(shì)能可表示為：

(17)

1.2.3 屈曲方程

由勢(shì)能駐值原理,為求極限屈曲荷載,計(jì)算：

(18)

(19)

上述方程的解即為所求單軸對(duì)稱(chēng)T形截面簡(jiǎn)支柱受恒定軸向壓力發(fā)生彎扭屈曲時(shí)的臨界屈曲荷載的精確解.

2 有限元驗(yàn)證

2.1 有限元模型的建立

運(yùn)用ANSYS有限元軟件對(duì)軸心壓力作用下的T形截面簡(jiǎn)支柱的線(xiàn)性屈曲進(jìn)行數(shù)值模擬研究,選用SHELL181單元模擬.SHELL181單元為4節(jié)點(diǎn)有限應(yīng)變殼單元,適用于模擬薄殼至中等厚度殼結(jié)構(gòu),該單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度,即沿節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系x、y、z軸方向的平動(dòng)位移和繞各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)位移.SHELL181單元適用于線(xiàn)性分析及大轉(zhuǎn)動(dòng)、大應(yīng)變的非線(xiàn)性分析.模型建立和模擬過(guò)程:

1) 建立幾何模型,設(shè)柱高為L(zhǎng),T形截面腹板高h(yuǎn)w=300 mm,厚度tw=10 mm,翼緣寬度bf=200 mm,厚度tf=10 mm,取Q235型號(hào)鋼材,彈性模量Es=2.06×105MPa,泊松比μs=0.3.

2) 劃分單元,一般單元數(shù)量越多計(jì)算越精確,但花費(fèi)時(shí)間也越多,本文中模型受力簡(jiǎn)單,單元邊長(zhǎng)劃分為5 mm,有限元模型如3所示.

(a) 模型整體圖

(b) 柱細(xì)部圖

3) 施加約束和荷載,模擬簡(jiǎn)支約束的邊界條件,即約束一端三個(gè)方向的平動(dòng),另一端約束兩個(gè)方向的平動(dòng),還要約束兩端沿柱長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng),軸力施加在一端的腹板處,約束和荷載如圖4所示.

圖4 約束和荷載圖

4) 求解,在進(jìn)行線(xiàn)性屈曲分析前先進(jìn)行靜力分析,打開(kāi)預(yù)應(yīng)力開(kāi)關(guān),以得到結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣和應(yīng)力剛度矩陣,然后進(jìn)行線(xiàn)性屈曲分析.

5) 后處理,求解之后,在通用后處理器可查看屈曲荷載系數(shù)和屈曲模態(tài),最終的屈曲荷載為屈曲荷載系數(shù)乘以所施加的荷載,一階屈曲形態(tài)如圖5所示.

2.2 有限元驗(yàn)證

對(duì)比有限元模型計(jì)算結(jié)果與理論推導(dǎo)結(jié)果,如表1所示.表1中：diff=(Pcr-Pcr)/Pcr;理論解為位移和轉(zhuǎn)角模態(tài)試函數(shù)取前50項(xiàng).由表1可見(jiàn),本文公式推導(dǎo)所得到的結(jié)果與有限元結(jié)果的誤差除第一項(xiàng)外,均在2%以?xún)?nèi),完全達(dá)到工程計(jì)算對(duì)精確度的要求,且兩者的誤差隨著長(zhǎng)細(xì)比的增大而減小,符合對(duì)構(gòu)件假設(shè)為細(xì)長(zhǎng)柱的條件.在工程計(jì)算中,越是符合細(xì)長(zhǎng)柱條件的,使用本文公式越精確.

(a) 整體屈曲圖

(b) 斷面圖

(c) 左端屈曲圖

(d) 右端屈曲圖

表1 有限元結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比

3 結(jié)論

1) 本文根據(jù)張文福提出的板-梁理論,利用能量變分法,推導(dǎo)出T形截面簡(jiǎn)支柱在軸心壓力作用下的彎扭屈曲方程的無(wú)窮級(jí)數(shù)解.

2) 通過(guò)有限元軟件ANSYS建立相應(yīng)模型進(jìn)行求解,與無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論解進(jìn)行對(duì)比,誤差均在4%以?xún)?nèi),驗(yàn)證了本文理論解的正確性.