利用拉格朗日中值定理對可微函數(shù)進行積分估計

李容星 （湖北師范大學(xué)文理學(xué)院，湖北 黃石 435109）

一、引 言

對于多次連續(xù)可微的函數(shù)而言，如果能滿足類似的條件，則可以利用泰勒定理進行積分估計并得到類似的結(jié)果.

二、積分中值定理

我們首先引入拉格朗日中值定理：

拉格朗日中值定理有如下積分中值定理：

設(shè)函數(shù)（）在［，］上連續(xù)，則存在∈（，）使得

即定理1 得證.

設(shè)函數(shù)（），（）在［，］上連續(xù)，且（）在［，］上不變號，則存在∈（，）使得

不妨設(shè)在［，］上（）≥0，于是（）≤（）（）≤（），其中，分別是（）在［，］上的最大值和最小值.積分有

由介值定理，存在∈（，）使得

即定理2 得證.

三、可微函數(shù)的積分估計

如果函數(shù)（）在（，）內(nèi)存在一點為0，則可以利用拉格朗日中值定理得到如下結(jié)論：

說明：（1）觀察證明可知，其取等的充要條件為在該區(qū)間上有（）≡，即（）為一個一次函數(shù)；

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（2）如果函數(shù)（）的零點不是在［，］的中點處，而是在其他位置，則可以利用類似定理3 中的證明，得到類似的結(jié)論.

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間端點處等于0 時，可以得到同樣的結(jié)論：

設(shè)函數(shù)（）在［，］上連續(xù)可導(dǎo)，且（）＝（）＝0，則

利用泰勒定理則可以得到如下結(jié)論：

即定理5 得證.

說明：（1）如果函數(shù)（）的零點不是在［，］的中點處，而是在其他位置，則可以利用類似定理5 中的證明，得到類似的結(jié)論；

（2）如果函數(shù)（）的一階導(dǎo)數(shù)本身是有界的，則可以進行一些更強的估計.

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間端點處等于0 時，可以得到類似的結(jié)論：

設(shè)函數(shù)（）在［，］上兩次連續(xù)可微，且（）＝（）＝0，則

說明：定理3 和定理4 的結(jié)論相同，而定理5 和定理6 的結(jié)論是不同的.

上述定理5 和定理6 也可以推廣到高階導(dǎo)數(shù)的情形：

設(shè)函數(shù)（）在［，］上2次連續(xù)可微，且

四、在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

2009 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類初賽設(shè)函數(shù)在01上二階連續(xù)可微過點00與點11的直線與曲線＝相交于點其中0＜＜1.求證存在∈01使得＝0.

由積分的恒等性可知（）≡｜-1 ｜.但｜-1 ｜在＝1 處不可導(dǎo)，矛盾，故這樣的函數(shù)不存在.

五、結(jié) 語

利用函數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)的積分進行估計是數(shù)學(xué)分析中一個非常重要的工作.本文首先利用拉格朗日中值定理對一次連續(xù)可微的函數(shù)進行估計，然后利用泰勒定理對多次連續(xù)可微的函數(shù)進行估計，最后把相關(guān)的思想運用在高等數(shù)學(xué)中.該思想的本質(zhì)是利用拉格朗日定理或者泰勒定理結(jié)合函數(shù)本身導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)進行估計，只要掌握好該思想，就能夠簡化高等數(shù)學(xué)中相關(guān)問題的推導(dǎo).我們也在具體教學(xué)的過程中進行了推廣，這不僅有利于學(xué)生對拉格朗日定理或者泰勒定理的學(xué)習(xí)，也能夠激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣.