去繁存質(zhì)聚焦核心
——由一道代數(shù)綜合題引發(fā)的教學(xué)思考及課堂設(shè)計(jì)

筅浙江省杭州市觀成武林中學(xué) 章亞娣

1 引言

中考代數(shù)綜合題往往已知條件比較多，如何找到問(wèn)題的本質(zhì)核心是解題教學(xué)的關(guān)鍵.但是對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，從煩瑣復(fù)雜的題干中提取問(wèn)題的本質(zhì)還有不少的困擾，所以教師對(duì)這類問(wèn)題若只是分析解題過(guò)程，很多學(xué)生可以聽(tīng)懂，但是下次碰到類似的問(wèn)題時(shí)還是會(huì)出現(xiàn)“霧里看花，無(wú)從下手”的狀態(tài).在一次九年級(jí)統(tǒng)測(cè)中，數(shù)學(xué)試卷第22題的得分率不到20%，這個(gè)情況引起了筆者研究的興趣.下面以這道題為例，談?wù)劷忸}教學(xué)中如何幫助學(xué)生突破這類問(wèn)題的難點(diǎn)，能夠從復(fù)雜的問(wèn)題情境中迅速抽離出問(wèn)題本質(zhì)核心，找到解決問(wèn)題的方法.

2 試題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx-3a（a，b是實(shí)數(shù)，a≠0）．

（1）判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

（2）若該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn)（1，1），當(dāng)a＜b時(shí)，求函數(shù)S=2a2-b的取值范圍．

3 學(xué)生錯(cuò)因分析

這是一道代數(shù)綜合題，第（1）問(wèn)幾乎所有的學(xué)生都能夠得分，但是第（2）問(wèn)有80%的學(xué)生能夠把特殊點(diǎn)（1，1）代入到函數(shù)的解析式中，得到a和b的關(guān)系，50%的學(xué)生能把S用含有a的代數(shù)式表示，20%的學(xué)生根據(jù)條件求出了a的取值范圍，最終能夠完全正確解完的只有15%.筆者通過(guò)和學(xué)生的交流，了解到學(xué)生存在以下三點(diǎn)困惑：

（1）大部分學(xué)生找不到問(wèn)題的核心，不知道這類問(wèn)題如何解，對(duì)于題目中給出的三個(gè)條件和所求的結(jié)論不能建立彼此之間的關(guān)聯(lián)性，學(xué)生覺(jué)得無(wú)從下手，處于放棄狀態(tài).

（2）題目中有兩個(gè)字母參數(shù)，學(xué)生不能建立彼此之間的關(guān)聯(lián)，對(duì)于幾個(gè)分散的已知條件，分別進(jìn)行了取值范圍的探索，不能整合成函數(shù)求自變量的取值范圍.

（3）能找到問(wèn)題的核心是根據(jù)其中一個(gè)函數(shù)自變量的取值范圍確定函數(shù)值的范圍，但是對(duì)于將二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限這個(gè)條件轉(zhuǎn)化成不等式有困難.

這些問(wèn)題都凸顯了學(xué)生解決這類問(wèn)題時(shí)缺乏清晰的思路，對(duì)于已知條件中一些干擾，不能找到問(wèn)題的本質(zhì)核心，這是學(xué)生解題受阻的關(guān)鍵因素，也是解題的突破口.在中考復(fù)習(xí)課堂設(shè)計(jì)中，筆者也在思考如何突破這些問(wèn)題并進(jìn)行了一些嘗試，以下是筆者針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題進(jìn)行專題突破的課堂教學(xué)設(shè)計(jì).

4 教學(xué)實(shí)施

根據(jù)學(xué)生存在的思維障礙，設(shè)計(jì)以下六個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，并逐步遞進(jìn).

4.1 面向全體，復(fù)習(xí)回顧，鞏固基礎(chǔ)

任務(wù)1：（1）已知二次函數(shù)y=-（x+14）（x-50），則函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.

（2）已知二次函數(shù)y=2x2-6x+6，當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)y的最小值為_(kāi)_____.

（3）已知二次函數(shù)y=2（x-1）2+8，若x的取值范圍是-2≤x≤3，則y的取值范圍為_(kāi)_____.

問(wèn)題1：求二次函數(shù)的最值有幾種方法？

問(wèn)題2：我們根據(jù)自變量的取值范圍如何確定函數(shù)值的取值范圍？

設(shè)計(jì)意圖：題組設(shè)計(jì)聚焦核心知識(shí)，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)激活學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)關(guān)于求函數(shù)最值及根據(jù)變量的取值范圍求函數(shù)值的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖1.

圖1

4.2 適度變形，逐步綜合

任務(wù)2：（1）已知y=2x-1，且0≤x≤3.令s=xy，則當(dāng)x=______時(shí)，函數(shù)s有最小值為_(kāi)_____，函數(shù)s的取值范圍是______.

（2）已知二次函數(shù)y=x2+bx的對(duì)稱軸為直線x=1，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx-s=0在-3≤x≤7的范圍內(nèi)有解，求s的取值范圍.

問(wèn)題1：你能用含x的代數(shù)式表示s嗎？

問(wèn)題2：根據(jù)x的取值范圍怎么求s的最值和取值范圍？

問(wèn)題3：和任務(wù)1相比，這兩類問(wèn)題有什么聯(lián)系和區(qū)別？

設(shè)計(jì)意圖：從自變量取值范圍確定、函數(shù)表達(dá)式確定到自變量取值范圍確定，函數(shù)表達(dá)式待定，通過(guò)有效問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的核心是函數(shù)的增減性，雖然題目的綜合性逐步增強(qiáng)，但是解決問(wèn)題的方法只是比前面的問(wèn)題多了一個(gè)步驟，利用題目中給出的等量關(guān)系，消去字母系數(shù)，并列出函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)題目條件，求出函數(shù)值的取值范圍.

4.3 深度思考，找關(guān)聯(lián)，建模型

任務(wù)3：（1）已知非負(fù)數(shù)a，b，c滿足a+b=2，c-3a=4，設(shè)S=a2+b+c的最大值為m，最小值為n，求m-n的值.

（2）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)點(diǎn)（-1，0），（0，2），且頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)S=4a2+2b+c，求S的取值范圍.

問(wèn)題1：和任務(wù)2相比，任務(wù)3有什么變化？

問(wèn)題2：如何用含a的代數(shù)式表示S？

問(wèn)題3：確定a的取值范圍需要滿足哪些條件？為什么？

問(wèn)題4：根據(jù)a的取值范圍，如何確定S的最大值和最小值？

問(wèn)題5：你能說(shuō)出解決問(wèn)題的基本步驟嗎？

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)繼續(xù)將三個(gè)任務(wù)緊密結(jié)合，由任務(wù)2的自變量取值范圍確定、函數(shù)表達(dá)式待定到自變量取值范圍待定、函數(shù)表達(dá)式待定，并且對(duì)自變量取值范圍的確定需要綜合不等式、函數(shù)圖象和性質(zhì)，繼續(xù)利用有效問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生聚焦問(wèn)題本質(zhì)核心是根據(jù)函數(shù)自變量取值范圍確定函數(shù)值的范圍，所以問(wèn)題解決的步驟是確定函數(shù)的表達(dá)式，求自變量的取值范圍，這樣可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的核心.在這里問(wèn)題4是難點(diǎn)，特別是第（2）問(wèn)，要根據(jù)圖象頂點(diǎn)在第一象限確定關(guān)于a的不等式，難點(diǎn)的突破需要結(jié)合函數(shù)圖象和二次函數(shù)的基本性質(zhì).同時(shí)通過(guò)問(wèn)題設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生找到解決問(wèn)題的基本方法，建構(gòu)問(wèn)題解決流程圖如圖2.

圖2

4.4 深度挖掘，類比推廣

任務(wù)4：若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是實(shí)數(shù)，a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過(guò)點(diǎn)（0，1）和（-1，0），求S=a+b-c的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：在明晰了解決問(wèn)題的思路以后，進(jìn)行類比推廣，讓學(xué)生感受到任務(wù)4和任務(wù)3的關(guān)聯(lián)性.這類問(wèn)題是難點(diǎn)，需要在課堂上教師慢慢引導(dǎo)，并結(jié)合一定量的解題練習(xí)加深學(xué)生對(duì)模型的理解.

4.5 回顧總結(jié)，積累思維經(jīng)驗(yàn)

（1）我們完成的四個(gè)任務(wù)最核心的知識(shí)點(diǎn)是什么？（2）從任務(wù)1到任務(wù)4，四個(gè)任務(wù)之間有什么關(guān)系？（3）問(wèn)題解決的基本步驟是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體的小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生從核心知識(shí)出發(fā)，感受綜合題逐步產(chǎn)生的過(guò)程，每一個(gè)已知條件設(shè)置的知識(shí)關(guān)聯(lián)性，思考總結(jié)梳理問(wèn)題解決的一般方法，能夠自主建構(gòu)函數(shù)模型解決問(wèn)題.

4.6 課堂檢測(cè)，感悟得失

（1）已知實(shí)數(shù)x，y，a滿足x+3y+a=4，x-y-3a=0.若-1≤a≤1，求2x+y的取值范圍.

（2）已知a，b，m為非正數(shù)，且滿足a-m+2=-2m+b=2，則m的取值范圍是______，代數(shù)式-3m2+12m+2的最大值為_(kāi)_____.

（3）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，-2），且拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，求a-b的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂檢測(cè)可以及時(shí)了解和反饋本節(jié)課學(xué)習(xí)的效果，及時(shí)獲得矯正信息，利用學(xué)生反饋信息再次進(jìn)行分析、處理，也可以反思課堂設(shè)計(jì)的得失.

5 設(shè)計(jì)說(shuō)明

5.1 有效的問(wèn)題串，體現(xiàn)教師的引導(dǎo)和幫助

本節(jié)課將函數(shù)求取值范圍的每一類問(wèn)題綜合成一個(gè)貫穿課堂始終的大任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都利用問(wèn)題串把知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，激發(fā)學(xué)生的自主探索精神.筆者認(rèn)為，教師在備課中對(duì)問(wèn)題的預(yù)設(shè)是教學(xué)的生命線，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，讓課堂教學(xué)從淺層接受向深層的探究式轉(zhuǎn)變，師生之間形成學(xué)習(xí)共同體，讓學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)中成長(zhǎng)和發(fā)展，把握問(wèn)題的本質(zhì)核心，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).

5.2 逐步遞進(jìn)的任務(wù)，著眼于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”

蘇聯(lián)教育學(xué)家維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為：教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)達(dá)到下一個(gè)發(fā)展階段的水平.本節(jié)課從函數(shù)最核心、最基本的最值和函數(shù)值取值范圍引入，通過(guò)層層遞進(jìn)的任務(wù)設(shè)計(jì)，鼓勵(lì)學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)習(xí)、在問(wèn)題解決中探索，激發(fā)他們對(duì)問(wèn)題解決的深層理解，從而通過(guò)問(wèn)題解決使學(xué)生建構(gòu)起問(wèn)題解決的基本方法和核心知識(shí).

5.3 每個(gè)環(huán)節(jié)及時(shí)歸納總結(jié)，將知識(shí)結(jié)構(gòu)化

心理學(xué)研究表明，個(gè)體解決問(wèn)題的能力高低取決于個(gè)人所獲得的有關(guān)知識(shí)的多少及其性質(zhì)和組織結(jié)構(gòu)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)只有實(shí)現(xiàn)概念化、條件化、結(jié)構(gòu)化、策略化之后，才能真正促進(jìn)問(wèn)題的解決.本復(fù)習(xí)課上，給予學(xué)生充分的時(shí)間對(duì)函數(shù)求最值和函數(shù)值的取值范圍探索方法進(jìn)行思考和整理，建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，在綜合性問(wèn)題解決后讓學(xué)生思考問(wèn)題解決的一般方法，使得學(xué)生在頭腦中形成清晰的、穩(wěn)定的、可遷移的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用檢索能力，使其具備在復(fù)雜的情境下也能迅速剝離出問(wèn)題的本質(zhì)核心，迅速找到問(wèn)題解決的方法.

5.4 類比學(xué)習(xí)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

鄭毓信教授曾指出數(shù)學(xué)就是要讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的眼睛看世界”.而用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的眼睛看世界的基本方法之一就是“類比”.比較才知事物之間的聯(lián)系和區(qū)別，才能認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì).本節(jié)復(fù)習(xí)課上，從二次函數(shù)的最值和取值范圍的求解類比學(xué)習(xí)反比例函數(shù)和一次函數(shù)，深入思考如何根據(jù)已知條件確定自變量的取值范圍，再根據(jù)自變量的取值范圍確定函數(shù)的最值或者函數(shù)的取值范圍，由單純“問(wèn)題解決”到“數(shù)學(xué)地思維”，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

5.5 尋找典型問(wèn)題及突破點(diǎn)，提高復(fù)習(xí)效率

本課設(shè)計(jì)的緣起是因?yàn)橐坏来鷶?shù)綜合題，問(wèn)題呈現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)中最本質(zhì)的增減性，題目綜合性強(qiáng)，屬于常見(jiàn)考題，學(xué)生得分率低.對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤原因進(jìn)行仔細(xì)分析以后，思考如何尋找突破點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生先做減法，看到問(wèn)題最本質(zhì)的核心，在課堂的設(shè)計(jì)中，再做加法，問(wèn)題的綜合程度是逐步增加的，讓學(xué)生感受試題命制的過(guò)程，聚焦核心知識(shí)，提高復(fù)習(xí)效率，并且引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)問(wèn)題解決的基本模型.W