深刻理解教學內(nèi)容，精準劃分教學單元
——以“一元二次方程”教學單元的劃分為例

筅江蘇省南通市啟秀中學 李庾南

筅江蘇省南通市教育科學研究院 劉東升

1 引言

自20世紀70年代末，我們提出“自學·議論·引導”教學法以來，圍繞初中數(shù)學開展單元教學的實踐研究一直沒有停止．2014年《初中數(shù)學“自學·議論·引導”教學35年探索實踐》獲得首屆國家基礎教學成果一等獎，在中國教育學會中學數(shù)學專業(yè)委員會的關心和支持下，已在全國多地開展了四期“自學·議論·引導”教學法研修推廣活動，來自全國各地的實驗區(qū)、實驗教師積極投身“自學·議論·引導”教學法的實踐研究，特別是開展初中數(shù)學單元教學的實踐，取得了很多研究成果，豐富了“自學·議論·引導”教學課例的覆蓋面．然而，也有少數(shù)實驗教師對單元教學的單元劃分還存在著理解不深的情形，比如，將單元教學課上成“壓縮餅干”課“走馬觀花”課，影響了課堂教學品質(zhì)的提升．筆者以人教版教材第21章“一元二次方程”為例，從“用教材教”的角度對全章進行單元劃分，并給出教學建議，供大家討論．

2 “一元二次方程”全章學習目標及邏輯結(jié)構(gòu)

2.1 學習目標

（1）了解一元二次方程及相關概念，能熟練地將一元二次方程整理、變形為一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）．

（2）理解直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法及其相互聯(lián)系，并能根據(jù)方程的特點靈活選取不同方法解一元二次方程（主要是數(shù)字系數(shù)的一元二次方程）．

（3）會用一元二次方程根的判別式判定方程是否有實根和兩個實根是否相等．

（4）了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系，并能初步運用．

（5）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出一元二次方程，并利用一元二次方程模型解決簡單的實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理．

2.2 理清知識的邏輯結(jié)構(gòu)，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)圖

本章的邏輯結(jié)構(gòu)圖擬分為兩幅研究，分別是一元二次方程的概念及相關概念（見圖1）、一元二次方程的解法與建構(gòu)運用（見圖2）．

圖1

圖2

3 劃分“一元二次方程”的“教學單元”

我們根據(jù)“先見森林，后見樹木”的方式，將“一元二次方程”全章分為四個單元．

第一單元：一元一次方程的定義及相關概念，探求降次求解的路徑，初步了解四種方法及相互關系．

例如，可類比一元一次方程的知識，遷移、調(diào)整，生成一元二次方程概念（定義，一般式，解的定義）；明確了解一元二次方程的方向，是將原方程有根有據(jù)地逐步變形為一元一次方程“x=a”后，給出數(shù)學情境，依次研究4個一元二次方程：（1）x2-4=0；（2）x2-2x=0；（3）x2-2x-15=0；（4）ax2+bx+c=0（a≠0）．

探究：用配方法解一般形式的一元二次方程，得到利用系數(shù)表示根的公式（公式法）．

目的：建立解一元一次方程的基本思想、具體方法和理論依據(jù)的知識體系框架，激發(fā)自主探索學習的意識、興趣，培養(yǎng)自我獲取、構(gòu)建、發(fā)展、超越的精神和能力．

第二單元：理解一元二次方程四種解法的理論依據(jù)和操作時的注意點，正確、靈活地選用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?/p>

重點、難點：用配方法解一元二次方程．

可滲透運用配方法將二次三項式恒等變形為a（x+m）2+n的形式，有利于以后研究二次函數(shù)的圖象的頂點坐標．

第三單元：一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系．

從一元二次方程的求根公式出發(fā)，引導學生關注根的判別式，并由兩根的系數(shù)的特點，得出根與系數(shù)的關系．本單元的知識結(jié)構(gòu)如圖3所示，可作為板書設計．

圖3

第四單元：一元二次方程與實際問題．

選擇典型實際問題，重點引導學生列方程（建模），然后解方程，最后要注意檢驗方程的解是否符合實際．本單元的知識結(jié)構(gòu)如圖4所示．

圖4

4 關于劃分教學單元的一些建議

4.1 理解教學內(nèi)容是劃分教學單元的前提

深刻理解教學內(nèi)容，深入研讀教材、教參，是精準劃分教學內(nèi)容的前提［1］．上文中以一元二次方程全章的單元劃分為例，先理清全章的學習目標、知識結(jié)構(gòu)圖，然后劃分為四個教學單元．值得一說的是，第一單元從一元二次方程的定義出發(fā)，研究了一元二次方程相關概念之后，就用幾個具體的一元二次方程得出幾種解法，但并沒有深入研究解法及其之間的關系，也沒有將配方法“推向一般”，這樣的教學單元劃分的依據(jù)是“先見森林，再見樹木”，為第二單元全面研究一元二次方程的解法提供了必要的“數(shù)學情境”（學生已知道了一些不同的“降次”解法）．第三單元主題關注一元二次方程根的判別式，就選擇從上一單元積累下來的“求根公式”出發(fā)，研究“根的判別式”并定義符號Δ，然后研究根與系數(shù)的關系．這個單元的內(nèi)容比較重要，帶領學生學深悟透之后，有利于將來從二次函數(shù)視角繼續(xù)認識它們的價值．

4.2 理解班情學情是確定單元課時的關鍵

基于教學內(nèi)容劃分教學單元之后，需要結(jié)合班情學情確定每個教學單元內(nèi)的課時數(shù)．還以一元二次方程為例，第一教學單元是研究一元二次方程的定義、相關概念，對于解法，只是初步接觸并不是全面系統(tǒng)研究，所以這個教學單元只需1個課時即可，不必增加習題課，如果增設習題課，就會出現(xiàn)一元二次方程的解法習題，而解法訓練是第二單元的學習目標．到了第二教學單元，則需要結(jié)合學情相機確定教學課時，如果班級學情較好，則安排1節(jié)習題課（訓練學生一元二次方程的解法），如果班級學情一般，則需要2~3節(jié)習題課組織學生訓練解法，達到解答正確、熟練、快速的教學目標．第三教學單元“根的判別式”“根與系數(shù)關系”也需要2～3節(jié)習題課，因為有一些含參的方程問題值得訓練和講評．在第四教學單元帶領研究實際問題與一元二次方程，重點是分析等量關系，構(gòu)建數(shù)學模型(一元二次方程)，然后求出方程的解，并回代入實際問題檢驗．在這個教學單元中，如果班情學情較好，則理解和分析等量關系可能會順暢一點，需要2個課時左右即可，如果學生對實際問題的理解不快，則可能要增加2個課時進行變式再練．

4.3 劃分教學單元后需要精心選編例習題

基于“學材再建構(gòu)”劃分教學單元之后，常常與教材上的內(nèi)容(知識和習題)呈現(xiàn)的順序不同，這也是從“照本宣科”走向“用教材教”的專業(yè)追求．我們認為，針對劃分教學單元的內(nèi)容和教學重點與難點，由于每個教學單元的第1課時側(cè)重的是知識探究與生成[2]，所以例題、習題的教學時間相對較少，有時甚至沒有安排例例題、習題的教學環(huán)節(jié)，在后續(xù)跟進的習題課中，教師要精心選編例、習題進行訓練．以上文中提到的一元二次方程的第三個教學單元為例，一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)關系的習題訓練非常關鍵，而教材上這方面的習題量并不充足，需要教師改編和原創(chuàng)，有時甚至要到二次函數(shù)的圖象與坐標軸公共點的綜合題中尋找相應題源進行改編，以便讓學生對根的判別式、根與系數(shù)關系的相關習題達到較為熟練的運算或變形能力，為日后學習或理解函數(shù)問題儲備必要的運算技能．此外，關于選編例題、習題的另一個建議是，要盡可能讓“習題”走向“問題”，一節(jié)課中使用20道左右習題的“導學案”其實是習題匯編，并不是教學設計，好的教學設計中的一節(jié)課的題組最多4個，每個題組下面可以預設3～6個系列問題，帶領學生把這個題組學深、學透．可見，在開展單元教學的習題課教學設計時，對教師命題基本功也提出了較高的要求．

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