孔 祥 強
(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 山東 菏澤 274015)
四元數(shù)的概念首先由Hamilton提出,隨著對四元數(shù)研究的深入,四元數(shù)在量子力學(xué)、幾何學(xué)、計算機圖形學(xué)、剛體運動學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用越來越廣泛.分裂四元數(shù)的概念由James Cockle提出,分裂四元數(shù)不是除環(huán),且含有零因子、冪零元和冪等元[1-3].廣義四元數(shù)的概念由Pierce提出,文獻(xiàn)[4-9]研究了廣義四元數(shù)及其應(yīng)用,得到了廣義四元數(shù)的棣莫弗定理和歐拉公式.文獻(xiàn)[10]研究了雙曲實分裂四元數(shù),并給出了極表示形式.文獻(xiàn)[11]對雙曲型交換四元數(shù)的極表示進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[12-15]研究了分裂四元數(shù)和分裂半四元數(shù)的棣莫弗定理及應(yīng)用.本文研究的對象是雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣.通過給出雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣的結(jié)構(gòu),得到不同情形下雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣的棣莫弗定理,討論了雙曲廣義四元數(shù)表示矩陣的方冪之間的關(guān)系;同時,給出雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣方程的求根公式.
設(shè)a=a0+a1i+a2j+a3k∈Hα β,a0,a1,a2,a3∈D,且i2=-α,j2=-β,k2=-αβ,ij=k=-ji,jk=βi=-kj,ki=αj=-ik,α,β∈R,則稱a為廣義四元數(shù),記作a∈Hα β.當(dāng)α=β=1時,a為一般實四元數(shù);α=1,β=-1時,a為實分裂四元數(shù);α=1,β=0時,a為實半四元數(shù);α=0,β=0時,a為實擬四元數(shù).廣義四元數(shù)更多內(nèi)容,詳見[4-9].
改寫為矩陣形式
定理1任一雙曲廣義四元數(shù)均可表示為D上的4階矩陣.
由此可定義雙曲廣義四元數(shù)集合為D上4階雙曲矩陣集合
M4×4(D)=
定義
證明利用數(shù)學(xué)歸納法,設(shè)對任意的正整數(shù)n,有
故
又
則
故對任意整數(shù)n,結(jié)論成立.
其中k=0,1,2,…,n-1.
假設(shè)
……
證明設(shè)對于任意的正整數(shù)n,有
故
又
則
故對任意整數(shù)n,結(jié)論成立.
經(jīng)驗證,結(jié)論正確.
利用數(shù)學(xué)歸納法,易得結(jié)論成立.
……
當(dāng)n為偶數(shù)時,
由數(shù)學(xué)歸納法,易證結(jié)論成立.
經(jīng)驗證,結(jié)論正確.
本文重點研究了雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣,分情況探討了雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣的棣莫弗定理,對棣莫弗定理進(jìn)行了推廣.文獻(xiàn)[19]研究了八種四維代數(shù),并給出了相關(guān)性質(zhì),如“油桃四元數(shù)”、“芋頭四元數(shù)”等.以本文為基礎(chǔ),可展開對這些四維代數(shù)的進(jìn)一步研究.