雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣的棣莫弗定理

孔 祥 強

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 山東 菏澤 274015)

四元數(shù)的概念首先由Hamilton提出，隨著對四元數(shù)研究的深入，四元數(shù)在量子力學(xué)、幾何學(xué)、計算機圖形學(xué)、剛體運動學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用越來越廣泛.分裂四元數(shù)的概念由James Cockle提出，分裂四元數(shù)不是除環(huán)，且含有零因子、冪零元和冪等元[1-3].廣義四元數(shù)的概念由Pierce提出，文獻(xiàn)[4-9]研究了廣義四元數(shù)及其應(yīng)用，得到了廣義四元數(shù)的棣莫弗定理和歐拉公式.文獻(xiàn)[10]研究了雙曲實分裂四元數(shù)，并給出了極表示形式.文獻(xiàn)[11]對雙曲型交換四元數(shù)的極表示進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[12-15]研究了分裂四元數(shù)和分裂半四元數(shù)的棣莫弗定理及應(yīng)用.本文研究的對象是雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣.通過給出雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣的結(jié)構(gòu)，得到不同情形下雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣的棣莫弗定理，討論了雙曲廣義四元數(shù)表示矩陣的方冪之間的關(guān)系；同時，給出雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣方程的求根公式．

1 雙曲廣義四元數(shù)

設(shè)a=a0+a1i+a2j+a3k∈Hα β，a0，a1，a2，a3∈D，且i2=-α，j2=-β，k2=-αβ，ij=k=-ji，jk=βi=-kj，ki=αj=-ik，α，β∈R，則稱a為廣義四元數(shù)，記作a∈Hα β.當(dāng)α=β=1時，a為一般實四元數(shù)；α=1，β=-1時，a為實分裂四元數(shù)；α=1，β=0時，a為實半四元數(shù)；α=0，β=0時，a為實擬四元數(shù).廣義四元數(shù)更多內(nèi)容，詳見[4-9]．

改寫為矩陣形式

2 雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣

定理1任一雙曲廣義四元數(shù)均可表示為D上的4階矩陣．

由此可定義雙曲廣義四元數(shù)集合為D上4階雙曲矩陣集合

M4×4(D)=

定義

3 雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣的棣莫弗定理

3.1 當(dāng)α>0，β>0時，設(shè)

證明利用數(shù)學(xué)歸納法，設(shè)對任意的正整數(shù)n，有

故

又

則

故對任意整數(shù)n，結(jié)論成立．

其中k=0，1，2，…，n-1．

假設(shè)

……

3.2 當(dāng)α>0，β<0時，設(shè)

證明設(shè)對于任意的正整數(shù)n，有

故

又

則

故對任意整數(shù)n，結(jié)論成立．

經(jīng)驗證，結(jié)論正確．

利用數(shù)學(xué)歸納法，易得結(jié)論成立．

……

當(dāng)n為偶數(shù)時，

由數(shù)學(xué)歸納法，易證結(jié)論成立．

經(jīng)驗證，結(jié)論正確．

4 結(jié)語

本文重點研究了雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣，分情況探討了雙曲廣義四元數(shù)的表示矩陣的棣莫弗定理，對棣莫弗定理進(jìn)行了推廣.文獻(xiàn)[19]研究了八種四維代數(shù)，并給出了相關(guān)性質(zhì)，如“油桃四元數(shù)”、“芋頭四元數(shù)”等.以本文為基礎(chǔ)，可展開對這些四維代數(shù)的進(jìn)一步研究．