巧作垂線 構(gòu)造全等
——一道含45°角問(wèn)題的多解探討

黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 程 晶

黃岡實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張 慶

1 引言

波利亞說(shuō)：解一道題就像建造一所房子,我們必須選擇合適的材料.但光收集材料還是不夠的,一堆磚頭畢竟還不是房子[1].要構(gòu)筑房子或構(gòu)筑解,我們還必須把收集到的各個(gè)部分組織在一起使它們成為一個(gè)有意義的整體.在本市初二年級(jí)期末監(jiān)測(cè)中,由于最后一道壓軸題最后一問(wèn)似乎難度極大,于是本市數(shù)學(xué)教研群中,許多數(shù)學(xué)老師紛紛就本題交流自己的想法,一次函數(shù)、勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)、四點(diǎn)共圓等初二上學(xué)期還未學(xué)習(xí)的知識(shí)出現(xiàn)在解題交流中,難道本題超出了學(xué)生的知識(shí)范圍？標(biāo)準(zhǔn)答案添加了較多的輔助線,證明了四次全等,學(xué)生在考場(chǎng)上很難有耐心和信心去完成.不同年級(jí)的學(xué)生如何去解答這道題？本文中將從幾個(gè)視角給出一些嘗試的解法,試圖為含45°角問(wèn)題提供一般性的解法.

2 試題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(a,0),點(diǎn)B(0,b),已知a，b滿足|a+4|+b2+8b+16=0.

(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)如圖1,點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn),連接AE,過(guò)A在第二象限作AF⊥AE,且AF=AE,連接BF交x軸于點(diǎn)D,求點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

圖1

(3)在(2)的條件下,如圖2,過(guò)E作EP⊥OB交AB于P,點(diǎn)M是射線EP上一點(diǎn),且ME=2PE,連接MO,作∠MON=45°,ON交線段BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接MN,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

圖2

3 試題分析

本題的第(1)、(2)問(wèn)難度不大,下面著重分析第(3)問(wèn),其難點(diǎn)在于證明∠NMO=90°或∠ONM=45°.如何突破這個(gè)難點(diǎn),巧妙地添加輔助線是關(guān)鍵.含45°角的直角三角形有許多特殊的性質(zhì),如兩銳角都等于45°，兩直角邊相等，由直角頂點(diǎn)向斜邊作垂線可得三線合一，三邊長(zhǎng)度的比值可以確定，可以構(gòu)造三垂直證全等三角形，等等.

由題目條件可得E(0,-2),B(0,-4),A(-4,0),OA=OB=4，OE=EB=2，∠ABO=∠OAB=45°，MP=PE=2,△PEB為等腰直角三角形,∠EPB=∠MPN=45°，∠ONA=∠OMP=∠AOM.

4 試卷的參考答案

(1)易得A(-4,0),B(0，-4).

(2)如圖3,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AO于點(diǎn)H.

圖3

因?yàn)锳F⊥AE,所以易得

∠FHA=∠AOE=90°,

∠AFH=∠EAO.

又因?yàn)锳F=AE，所以△AFH≌△EAO(AAS).

于是AH=EO=2,FH=AO=4.

則OH=AO-AH=2,因此F(-2,4).

因?yàn)镺A=BO,所以FH=BO.

又因?yàn)椤螰HD=∠BOD=90°,∠FDH=∠BDO,

所以△FDH≌△BDO(AAS).

于是HD=OD=1.因此D(-1,0).

綜上知,D(-1,0),F(-2,4).

(3)解法1:如圖4,過(guò)點(diǎn)N分別作NQ⊥ON交OM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,NG⊥PN交EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

圖4

再過(guò)點(diǎn)Q和點(diǎn)N作QR⊥EG于點(diǎn)R,NS⊥EG于點(diǎn)S.

則易證得等腰Rt△ONQ和等腰Rt△PNG.

所以NG=NP,NQ=NO,且∠QNG=∠ONP.

所以△QNG≌△ONP(SAS).

于是∠NGQ=∠NPO,GQ=PO.

因?yàn)镻E垂直平分OB,所以PO=PB.

所以∠POE=∠PBE=45°,因此∠NPO=90°，∠NGQ=90°,∠QGR=45°.

又因?yàn)镚Q=PO,∠QRG=∠OEP=90°,所以△QRG≌△OEP(AAS),QR=OE.

因?yàn)椤螹RQ=∠MEO=90°,∠RMQ=∠EMO,

所以△RMQ≌△EMO(AAS),QM=OM.

因?yàn)镹Q=NO,所以NM⊥OQ.

因此可證得等腰Rt△OMN,從而證得△NSM≌△MEO(AAS).

所以NS=EM=4,MS=OE=2.因此N(-6,2).

點(diǎn)評(píng)：作為一道幾何壓軸題,如何添加輔助線是學(xué)生思維的難點(diǎn),突破口在于利用45°做文章,構(gòu)造特殊的直角三角形,把角度關(guān)系轉(zhuǎn)化長(zhǎng)度關(guān)系.

5 多角度找到解題切入點(diǎn)

5.1 視角1 過(guò)M作ON的垂線得等腰直角三角形

解法2：如圖5,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥ON于H，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥y軸于G,過(guò)點(diǎn)H作HF⊥ME于F,過(guò)點(diǎn)N作ND⊥EM延長(zhǎng)線于D.

圖5

因?yàn)椤螹HO=90°,∠MOH=45°,

所以△MHO為等腰直角三角形,則HM=HO.

易證 △MHF≌△OHG(AAS),所以HF=HG,

所以

∠HEP=∠HEO=45°.

又因?yàn)镻E=EO,所以HE垂直平分PO.

所以HO=HP=HM,于是MF=FP=1,則H(-3,1).

因?yàn)椤螼NP+∠MON=∠OMP+∠NPM,

所以

∠ONP=∠OMP.

因?yàn)?∠HMO+∠OMP=∠HPA+∠APM,

所以

∠OMP=∠ONP=∠HPA.

所以

HM=HP=HN=HO.

因?yàn)椤螹HN=90°,所以△MHN是等腰直角三角形,易證△MDN≌△MEO.

所以DN=ME=4,DM=OE=2,則N(-6,2).

點(diǎn)評(píng)：利用基本圖形得到角度相等進(jìn)而轉(zhuǎn)化為邊相等,再得到等腰直角三角形,難點(diǎn)在于證等腰直角三角形.

解法3(面積法):如圖6,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥ON于H，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥y軸于G,過(guò)點(diǎn)M作MT⊥GH延長(zhǎng)線于T，過(guò)點(diǎn)N作NC⊥x軸于C.

圖6

易證△MHO是等腰直角三角形,△HOG≌△MHT,所以MT=HG,HT=OG.

因?yàn)樗倪呅蜯EGT是矩形,所以T,A,M三點(diǎn)共線,AT=OG=TH.

則TG=TH+HG=TH+TA+AM,

所以AT=OG=1，H(-3,1).

因?yàn)镾△OCN=S△OHQ+S四邊形CQHN,設(shè)NC=AC=a,

解得a=2.因此N(-6,2).

點(diǎn)評(píng)：利用圖形面積的兩種計(jì)算方法建立方程,極為簡(jiǎn)便.

5.2 視角2 過(guò)N作ON的垂線得等腰直角三角形

解法4：如圖7,過(guò)點(diǎn)N作NC⊥ON交OM延長(zhǎng)線于C，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AN交x軸于G,連CG交EM延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于H.

圖7

易證△CNO、△ANG是等腰直角三角形.

所以∠CNG=∠ONA,從而△OAN≌△CGN(SAS).

于是AO=CG=4,∠OAN=∠CGN=135°.

因?yàn)椤螦GN=45°,所以∠AGC=90°,即CG⊥OA.

于是四邊形DEOG是矩形,CD=DG=2.

所以△OME≌△CMD(AAS),DM=ME=4.

所以AG=DM=4,AH=HG=2,則N(-6,2).

解法5：如圖8,作NK⊥NO交OM的延長(zhǎng)線于K,作NT⊥y軸于T,NQ⊥NT,KQ⊥NQ,連接BQ.易證△KNO是等腰直角三角形.

圖8

因?yàn)椤螻OM=45°,∠KNO=90°,

所以NK=ON.

因?yàn)椤螷NO=∠TNQ=90°,

所以∠KNQ=∠TNO.

又因?yàn)椤螻QK=∠NTO=90°,

所以△NQK≌△NTO(AAS),于是NQ=NT.

因?yàn)椤螧NQ=∠BNT=45°,BN=BN,

所以△BNQ≌△BNT(SAS),

所以∠NQB=∠NTB=90°,所以K,Q,B共線.

因?yàn)镸E∥BK,OE=EB,所以O(shè)M=MK.

設(shè)KQ=OT=a,則NQ=NT=4+a.

所以BK=a+4+a=2ME,a=2，則N(-6,2)

解法6：如圖9,過(guò)點(diǎn)N作NK⊥NO交OM的延長(zhǎng)線于K,作NT⊥y軸于T,NH⊥NB于H,連接BK.易證△KNO、△BNH是等腰直角三角形.

圖9

因?yàn)椤螷NO=∠BNH=90°,

所以∠KNB=∠HNO,

于是△BNK≌△HNO(SAS).

所以KB=OH，∠KBN=45°,因此KB⊥OB.

因?yàn)镸E∥BK,OE=EB,

所以O(shè)M=MK,KB=2ME=8.

于是OH=8,BH=12,NT=BT=6,OT=2.

則N(-6,2).

點(diǎn)評(píng)：過(guò)點(diǎn)N作兩條垂線,構(gòu)造兩個(gè)等腰直角三角形,從而得到一組全等三角形,也是常見(jiàn)的手拉手模型,添加的輔助線較多,用到中位線等相關(guān)知識(shí).

5.3 視角3 過(guò)M作OM的垂線得等腰直角三角形

解法7(同一法)：如圖10,過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥MO交ON的延長(zhǎng)線于Q,作QT⊥y軸于T交BA于G,QF⊥EM延長(zhǎng)線于F.易證△QMO是等腰直角三角形,所以△MFQ≌△OEM(AAS).

圖10

所以MF=2,QF=4,Q(-6,2),于是yG=yQ=2.

所以GT=TB=6,G(-6,2),則G與Q重合,

所以N與Q重合,N(-6,2).

點(diǎn)評(píng)：利用過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線有且只有一條,假設(shè)有不同交點(diǎn),分別計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),從而判斷兩點(diǎn)重合.

5.4 視角4 挖掘隱含條件,借助相似、三角函數(shù)巧妙解決

圖11

因此N(-6,2).

解法10：如圖12,連接OP,作MG⊥NO于G,可知OP⊥AB,∠AOP=∠NOM=45°,所以∠MOP=∠NOA.

圖12

因?yàn)椤螻AO=∠MPO=135°,

在Rt△MGO中，MG=GO=a,所以NG=a.

所以G為NO的中點(diǎn).

則△NMO為等腰直角三角形,于是N(-6,2).

解法11：如圖11,輔助線同解法9.設(shè)∠AOM=α,∠AON=β，α+β=45°.

所以

設(shè)CN=CA=a,則OC=4+a,所以a=2.

則N(-6,2).

點(diǎn)評(píng)：利用高中三角函數(shù)的知識(shí)可以解決這道較難的壓軸題,讓人眼前一亮,給人一種四兩撥千斤的感覺(jué),寥寥數(shù)語(yǔ)就概括前面冗長(zhǎng)的證明,體現(xiàn)相似、三角函數(shù)等知識(shí)力量的強(qiáng)大.

6 解題反思

對(duì)每道試題，命題者解答自己命制的考題時(shí),思維往往會(huì)受到限制,給出的解答往往是單一的,甚至比較繁瑣.學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握的熟練程度不一致,在解答時(shí)不同的切入點(diǎn)往往會(huì)產(chǎn)生不同的解法.深化試題啟迪學(xué)生思維的功能,需要教師對(duì)各種解法進(jìn)行梳理,探究解決問(wèn)題的一般路徑和方法.

不難確定這道壓軸題的難點(diǎn)是證明△MON是等腰直角三角形,因此構(gòu)造不同的等腰直角三角形是解決本題的主要突破口,重新對(duì)知識(shí)進(jìn)行組織和再加工[2],利用三垂直得到全等三角形和線段相等,進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo).

對(duì)已有的條件分析,可以得出一些有用的結(jié)論,如第(3)問(wèn)原圖上可以得到5個(gè)角都等于45°,可以證明∠OMP=∠PNO等,這些結(jié)論都是在各種解法中反復(fù)被用到的.因此,即使再?gòu)?fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以得到一些有用的結(jié)論,在解答復(fù)雜問(wèn)題時(shí),有必要把這些有用的結(jié)論挖掘出來(lái),把這些隱含的輔助線連接起來(lái).

對(duì)輔助線的添加是難點(diǎn),在含45°的三角形中,有哪些構(gòu)造等腰直角三角形的方法,作出垂線之后又可以連接哪些線段,這些技巧在平時(shí)的訓(xùn)練中需要加強(qiáng)練習(xí)及構(gòu)建知識(shí)體系.如等腰直角三角形的性質(zhì),它的邊角關(guān)系,勾股定理、一次函數(shù)、直角三角形中斜邊中線的性質(zhì)、一線三垂直模型等等,把這些基礎(chǔ)知識(shí)、解題模型與本題相關(guān)的圖形進(jìn)行充實(shí)和重新配置,就會(huì)產(chǎn)生很多想法及解法.無(wú)論學(xué)生還是老師,長(zhǎng)期堅(jiān)持解題經(jīng)驗(yàn)的積累和解題方法的思考,必然會(huì)將織牢知識(shí)網(wǎng)絡(luò),提升數(shù)學(xué)思維水平.

反觀這道題對(duì)于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的意義,可以從以下幾個(gè)方面對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)進(jìn)行培養(yǎng).第一,在教學(xué)過(guò)程中注重基本圖形的理解和積累.第二,讓學(xué)生體會(huì)并學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的思想和方法.第三,利用多媒體教學(xué)化靜為動(dòng),像幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板Z+Z、GeoGebra、3D數(shù)學(xué)教學(xué)平臺(tái)等動(dòng)態(tài)幾何軟件,有助于教師生動(dòng)、形象地展示幾何圖形的各種性質(zhì)和演示幾何變化的動(dòng)態(tài)效果,帶給學(xué)生直觀視覺(jué)上的沖擊,有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、認(rèn)識(shí)周圍事物間的數(shù)量關(guān)系和形體特征的興趣和意識(shí)[3].大部分同學(xué)對(duì)于這類壓軸題是望而生畏,只有教師充分認(rèn)識(shí)和理解這道題的教育意義,才能在教學(xué)過(guò)程中將問(wèn)題講透徹,學(xué)生在以后遇到類似的問(wèn)題時(shí)才敢于大膽嘗試.