緊連通李群的閉測(cè)地線

張 乾

廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣西桂林 541000

1 概述

閉測(cè)地線是處處光滑且具有周期性的測(cè)地線，在常見的閉曲面中例如Sn上的閉測(cè)地線就是以它的球心為圓心的大圓即S2。在流形的測(cè)地線的研究中，Vakhrameev[1]證明了某一類流形的閉測(cè)地線一定存在，實(shí)際上如果對(duì)于基本群非平凡的黎曼流形能夠推廣成一定存在不可縮的閉測(cè)地線。文獻(xiàn)[3]中給出了單連通緊流形的閉測(cè)地線的性質(zhì)的刻畫。Borisenko[2]研究了球面空間的一些閉測(cè)地線。段華貴[3]研究了一類Finsler流形的閉測(cè)地線。

另一方面，J.Cheeger和D.Ebin在文獻(xiàn)[4]中給出了黎曼流形里測(cè)地線與李群中的單參數(shù)子群之間的關(guān)系，證明了具有雙不變黎曼度量的李群即緊李群上的測(cè)地線一定是其單參數(shù)子群或單參數(shù)子群的合成。Hopf-Rinow定理[5]則說明了測(cè)地完備的黎曼流形中的任意元素必落在它的一個(gè)單位元素出發(fā)的測(cè)地線上。詹華稅[6]對(duì)李群的基本性質(zhì)做了很好的總結(jié)。Lucas Seco[7]限制在緊李群上對(duì)緊李群的測(cè)地線做了一些計(jì)算，我們自然就想進(jìn)一步研究緊李群上的閉測(cè)地線的結(jié)構(gòu)。

Cartan定理[8]則告訴了我們對(duì)任意的緊李群G，它的Cartan子群不僅彼此共軛，并且這些Cartan子群的并就是G。而根據(jù)緊交換李群的分類，我們又知道了Cartan子群是一個(gè)環(huán)面，即G是一個(gè)極大環(huán)面，若它的極大環(huán)面是T1，我們知道它就是一條閉測(cè)地線。由于緊連通李群自然的具有雙不變度量，是完備的黎曼流形，那么在Hopf-Rinow定理[9]的基礎(chǔ)上，我們自然會(huì)猜測(cè)，如果是緊連通李群，其上的元素能否落在從單位元出發(fā)的閉測(cè)地線上。在《李群和李代數(shù)》[10]提到：設(shè)李群G的李代數(shù)為ɡ，則存在ɡ中包含原點(diǎn)的開集V，使得exp|v：V→exp(V)是解析同胚。綜合上面的猜測(cè)我們也會(huì)自然的思考李群上局部的解析同胚在緊李群中多大程度能擴(kuò)大到整體。在本文我們根據(jù)以上的猜測(cè)對(duì)緊連通李群的閉測(cè)地線的拓?fù)渥隽艘欢ǖ拿枋?，?jì)算了它的基本群以及各階同調(diào)群并給出了下面這一結(jié)論：

本文的結(jié)構(gòu)如下，在第一節(jié)我們將回顧一下李群以及黎曼流形里的部分定義與結(jié)論，在第二節(jié)我們將完成所給出定理的證明。

2 基本概念和引理

2.1 幾何的相關(guān)定義與結(jié)論

我們?cè)O(shè)(M，g)是m維黎曼流形，為M上的黎曼聯(lián)絡(luò)，M上的一條參數(shù)化曲線是一個(gè)光滑映射γ：I=(a，b)→M，M上沿γ的向量場(chǎng)V是一個(gè)映射。如果沿γ的向量場(chǎng)V滿足：?γ′V=0，則稱V是沿γ平行的。

定義1 若γ的切向量γ′沿γ是平行的，即?γ′γ′=0，則稱曲線γ為M上的測(cè)地線。我們稱γ是閉測(cè)地線，指γ是度量下g的測(cè)地線，而且具有周期性。

注1 這里的周期性指γ是處處光滑的閉曲線。如果γ：[a，b]→M是測(cè)地線，它的長(zhǎng)度L[γ]=ρ(γ(a)，γ(b))，我們稱γ是極小測(cè)地線。

定義2 expp：B(?Tp(M))→M稱為關(guān)于點(diǎn)p的指數(shù)映射，其中B是點(diǎn)p的一個(gè)鄰域。

指數(shù)映射的幾何意義是沿γ由p到γ(1)=expp(v)的弧長(zhǎng)，若它有意義，則expp(v)總是唯一確定的。

定義3 如果對(duì)于所有的p∈M以及所有的V∈Tp(M)，expp(V)都是有意義的，則稱M是測(cè)地完備的。

對(duì)測(cè)地完備的黎曼流形，有以下結(jié)論，證明詳見《RiemannianGeometry》[5]：

引理1(Hopf-Rinow)下列敘述等價(jià)：

(1)M是測(cè)地完備的；(2)M是具有距離ρ(p，q)=inf{L[σ]|σ(a)=p，σ(b)=q}的完備度量空間；(3)對(duì)某個(gè)p∈M，expp是在整個(gè)Tp(M)上定義的。

由上述的任意一條可推出下列結(jié)論：(4)M的任意兩點(diǎn)都能由極小測(cè)地線相連。

2.2 李群的相關(guān)定義與結(jié)論

設(shè)X∈ɡ，由X可以構(gòu)造G上的微分方程：

曲線σ(t)，t∈(a，b)是微分方程的解曲線。由微分方程的理論我們知道這個(gè)初值方程的解在局部上存在唯一并且解析。這個(gè)方程的解就是G的單參數(shù)子群[5]，其與G的李代數(shù)ɡ中的元素一一對(duì)應(yīng)。關(guān)于單參數(shù)子群有一個(gè)重要的結(jié)論：

引理2 對(duì)于緊李群G，它的測(cè)地線是其單參數(shù)子群或單參數(shù)子群的合成[10]。

注2 實(shí)際上在緊李群G上存在雙不變黎曼度量，即在這種度量下左平移與右平移都是G的等距變換。

注3 由上述的Hopf-Rinow定理知緊李群G上的任意一點(diǎn)都能用測(cè)地線與原點(diǎn)相連，而這條測(cè)地線也必定是G的一個(gè)單參數(shù)子群，即G的每一個(gè)元素必落在G的一個(gè)單參數(shù)子群上。

定義4 設(shè)G是李群，它的李代數(shù)為ɡ，定義映射exp：ɡ→G，Xσ(1，X)稱為G的指數(shù)映射。

任意選取原點(diǎn)處的切向量X∈ɡ，則它是ɡ中曲線tX的切向量，而指數(shù)映射將tX映為單參數(shù)子群exp(tX)。指數(shù)映射與李群同態(tài)滿足以下交換圖表：

注4 上述圖表表明對(duì)李群G的李代數(shù)ɡ，則存在ɡ中包含原點(diǎn)的開集V，使得exp|v：V→exp(V)是解析同胚。

對(duì)緊李群我們有：

G中Cartan子群T是其極大連通交換李群。根據(jù)緊連通李群的分類[8]我們可以知道T是環(huán)面。Cartan定理的證明可以詳見《李群講義》[8]。根據(jù)Cartan定理我們知道緊連通李群G的Cartan子群彼此共軛，并且這些Cartan子群的并就是G。

3 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于緊連通李群的Cartan子群Tn，若n=2，設(shè)在單位元e處的閉測(cè)地線與水平方向的夾角為θ，那么其上的所有經(jīng)過e的閉測(cè)地線都滿足tanθ為有理數(shù)。

證明 考慮環(huán)面的商映射。

其中v1和v2是T2中的閉測(cè)地線從單位元e出發(fā)的兩個(gè)方向向量。在商映射下，閉測(cè)地線形如：

令vi與v2的夾角為θ，根據(jù)定義1，vi處處平行，則vi與v2的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于vi繞著v1方向的閉測(cè)地線轉(zhuǎn)的圈數(shù)，又因?yàn)殚]測(cè)地線具有周期性，從而這個(gè)圈數(shù)必為整數(shù)。那么，tanθ一定是有理數(shù)。

推論1 對(duì)于任意的正整數(shù)n，從單位元e出發(fā)的閉測(cè)地線的方向向量vi與vj的夾角為θ，vj是與環(huán)面上的任意大圓的方向向量，則tanθ為有理數(shù)。

定理2 任取Tn上點(diǎn)a，對(duì)任意ε>0，存在過單位元e的閉測(cè)地線構(gòu)成的集合中的一點(diǎn)p，使得ρ(a，p)<ε。

證明 由引理1可知，存在極小測(cè)地線連接a，p兩點(diǎn)。那么我們先考慮n=2的情形。根據(jù)定理1，tanθ為有理數(shù)，考慮環(huán)面的商空間，則其上的有理格點(diǎn)集是其上通過單位元e的閉測(cè)地線集的子集。根據(jù)R2上的有理格點(diǎn)的稠密性即得。當(dāng)n>2時(shí)同理。

推論2 緊連通李群G上過單位元e的閉測(cè)地線集是可數(shù)個(gè)閉測(cè)地線的并。

我們現(xiàn)在可以知道這些閉測(cè)地線構(gòu)成的集合的拓?fù)?，但在?jì)算它的基本群之前我們?nèi)孕柘旅嬉恚?/p>

引理4 如果(Mn，g)是緊黎曼流形并且π1(Mn)≠0，則(Mn，g)有不可縮的閉測(cè)地線。

定理3 我們令緊連通李群G上過單位元e的閉測(cè)地線為S，這些可數(shù)個(gè)閉測(cè)地線記為σ1，σ2，σ3，…則S的基本群是σ1，σ2，σ3，…的自由積。

證明 由引理4知道S中存在不可縮的閉測(cè)地線，從而它的基本群非平凡。由引理3可知G是他的極大環(huán)面的共軛類的并。在定理1和定理2中我們可以知道Tn中的過單位元e的閉測(cè)地線集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而G是有限個(gè)共軛于Tn的極大環(huán)面的并，故緊連通李群G上通過e的閉測(cè)地線集的拓?fù)渑cTn相同，那么它的基本群即得。

定理4 設(shè)G上過e的閉測(cè)地線集為S，那么:

證明S上所有閉測(cè)地線至少交于單位元e，即S是連通集，則H0(S；Ζ)=Ζ。根據(jù)Van-Kampen定理，S的一維同調(diào)群就是它的基本群的交換化，那么H1(S；Ζ)=Ζ∞。S上并不存在二維及以上的閉鏈，故其他維數(shù)的同調(diào)不存在。

證明 我們先說明S中的閉測(cè)地線一定是G的單參數(shù)子群。由于環(huán)面是測(cè)地完備的，根據(jù)引理2.1可以知道環(huán)面上的任意點(diǎn)a與e之間有一條極小測(cè)地線相連。而若有S中的閉測(cè)地線S′經(jīng)過a與e兩點(diǎn)，那么由定義可知其上的任意位置的切向量方向相同，故該條閉測(cè)地線不可能是單參數(shù)子群的合成，只可能是G中的一個(gè)單參數(shù)子群。

我們接下來僅需證明α∈S，存在g∈G使得α∈g-1S1g。對(duì)任意α∈S，不妨設(shè)α過e與p，其中p∈G且p≠e。由Cartan定理可知G上任一元素共軛于其Cartan子群中的某個(gè)元素。從而有存在t∈T使得p=g-1tg，其中g(shù)∈G。由引理1可知e與t之間存在極小測(cè)地線相連，由單參數(shù)子群的定義可知其在整個(gè)切空間均有定義，且沿原來方向不變，從而這樣的一條極小測(cè)地線所對(duì)應(yīng)的單參數(shù)子群也是一個(gè)閉子群。不妨設(shè)β∈S1，其中β經(jīng)過e和t。設(shè)α所對(duì)應(yīng)的G的子代數(shù)是g1，β所對(duì)應(yīng)的G的子代數(shù)是g2?？紤]如下的交換圖表：

由圖可知g-1βg是閉測(cè)地線。由測(cè)地線的唯一性可知α=g-1βg，即α∈g-1S1g。證畢。