研究性學(xué)習(xí)視域下高等代數(shù)教學(xué)改革的實(shí)踐探究

黃政閣 崔靜靜

廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院 廣西南寧 530006

1 問題提出

高等代數(shù)課程中核心點(diǎn)主要集中于有限維空間的線性理論的討論，是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修專業(yè)課之一，為后繼要學(xué)習(xí)的近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)等課程提供理論基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用工具，其概念頗多，有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性。近40年來，眾多學(xué)者在高等代數(shù)課程的教與學(xué)上，產(chǎn)生了大量的研究理論和可行性的教學(xué)指導(dǎo)成果，值得我們借鑒和思考。但從目前教學(xué)現(xiàn)狀來看，與培養(yǎng)當(dāng)今社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)新型高素質(zhì)人才勢(shì)頭相對(duì)立，范式化、形式化教學(xué)模式依舊盛行，定理、定義以及高度抽象性表達(dá)術(shù)語讓學(xué)生感到困惑。長(zhǎng)此以往，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)機(jī)械性計(jì)算相關(guān)題目，對(duì)概念性知識(shí)理解停留在一知半解層面，更難以將知識(shí)系統(tǒng)化、條理化。

2 當(dāng)前高等代數(shù)教學(xué)存在的問題

高等代數(shù)的教學(xué)改革一直備受高校一線教師的關(guān)注，許多高校從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)理念上都對(duì)高等代數(shù)做了深入的理論研究和實(shí)踐探索，并且也取得了相應(yīng)的成果。但是就當(dāng)前而言，多數(shù)教師依舊采用傳統(tǒng)灌輸式講授，對(duì)高等代數(shù)的深入教學(xué)卻未給予足夠的重視，在學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)中僅停留在布置作業(yè)與批改作業(yè)循環(huán)輪轉(zhuǎn)的模式，對(duì)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)關(guān)注甚微。高等代數(shù)知識(shí)的高度抽象性與邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)很難直觀化、可視化。因此，當(dāng)前高等代數(shù)在課堂教學(xué)中存在的一些問題大致如下幾個(gè)方面。

2.1 教學(xué)方式單調(diào)

高等代數(shù)是主要研究各類代數(shù)結(jié)構(gòu)的共同代數(shù)性質(zhì)的一門課程，一般采用的教學(xué)方式為首先介紹代數(shù)對(duì)象的定義和概念，然后引出代數(shù)對(duì)象相關(guān)的代數(shù)性質(zhì)、結(jié)論和定理，進(jìn)而對(duì)相應(yīng)的結(jié)論和方法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，最后通過例子對(duì)相應(yīng)的定理結(jié)論或方法如何應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)的說明。按照這種教學(xué)模式，相應(yīng)內(nèi)容講授結(jié)束后，許多學(xué)生只是識(shí)記了相關(guān)的概念、引理、定理以及結(jié)論等。對(duì)于知識(shí)的核心概念群把握欠缺，在知識(shí)的正遷移方面，愈加模棱兩可，或者只掌握了定理的內(nèi)容和計(jì)算的方法，相應(yīng)的證明過程不清楚，導(dǎo)致相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)效果不好。長(zhǎng)此以往，對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建以及章節(jié)知識(shí)銜接的問題就無法厘清，即學(xué)生的“線性思維”無法被激活，至于發(fā)散思維的培育就寸步難行，導(dǎo)致部分學(xué)生覺得高等代數(shù)課程枯燥無味，學(xué)習(xí)興趣低，甚至產(chǎn)生放棄學(xué)習(xí)此課程的念頭。

盡管高等代數(shù)的教學(xué)是基于其教學(xué)大綱展開教學(xué)的，但在課堂教學(xué)中講授定理證明和理論推導(dǎo)時(shí)，忽視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力的培養(yǎng)和發(fā)展，缺少啟發(fā)性、遞進(jìn)性，忽略問題意識(shí)，無法激發(fā)研究性學(xué)習(xí)的潛質(zhì)，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣依然保留著中學(xué)學(xué)習(xí)方式的弊病。為此，大部分學(xué)生只是被動(dòng)地接受知識(shí)，缺少主動(dòng)思考與探索的素養(yǎng)。

2.2 評(píng)價(jià)方式單一

教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)成效的檢測(cè)是多元化的，從教師教的角度出發(fā)，我們叫做評(píng)價(jià)。當(dāng)前，大多數(shù)高校的高等代數(shù)課程仍采取傳統(tǒng)的閉卷考試為考核模式，其具有操作簡(jiǎn)單、考核標(biāo)準(zhǔn)直觀體現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，但不能真正地反映學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解水平和學(xué)習(xí)過程，也難以體現(xiàn)學(xué)生的研究和創(chuàng)新能力，更不能把握學(xué)生對(duì)課程整體的體悟。因此有必要根據(jù)具體教學(xué)情況采用科學(xué)的、多層次的混合式考核方式。

雖然在教學(xué)過程中有布置并批改作業(yè)的環(huán)節(jié)，但是多數(shù)學(xué)生為了完成任務(wù)，對(duì)作業(yè)的完成質(zhì)量?jī)H停留在借鑒同伴或者借助網(wǎng)絡(luò)檢索相應(yīng)試題的答案等途徑上，對(duì)于一線教師而言，在批改作業(yè)時(shí)不可能管窺出作業(yè)的方方面面，更把握不了學(xué)生對(duì)知識(shí)是否掌握并理解的層面。因此，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的評(píng)價(jià)方式單一會(huì)弱化學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題的能力，進(jìn)而直接阻礙學(xué)生獨(dú)立自主探究能力和論證推理能力的培育。

2.3 教學(xué)手段匱乏

隨著信息計(jì)算的高速發(fā)展及“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的到來，微信、騰訊會(huì)議、釘釘、QQ電話、云課堂及微視頻等多種移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)使人們的教育觀念、教學(xué)手段和學(xué)習(xí)模式越來越多樣化和個(gè)性化，加速了知識(shí)的復(fù)制速度，豐富了知識(shí)的儲(chǔ)備體系，拓展了知識(shí)的內(nèi)涵框架。我們想要獲得相關(guān)知識(shí)，就可以借鑒或者探索出網(wǎng)絡(luò)中前人的研究成果，提升自身的關(guān)鍵能力。

但當(dāng)前高等代數(shù)教學(xué)手段匱乏，依舊是板書結(jié)合PPT教學(xué)手段，甚者有些教師直接將PPT取代整節(jié)課的教學(xué)，遇到棘手問題時(shí)，處理手段單一，在互聯(lián)網(wǎng)的使用和應(yīng)用上缺少相應(yīng)的引導(dǎo)，對(duì)于知識(shí)的獲取缺少可視化的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)方向僅停留在書本上。

3 基于改革高等代數(shù)課程教學(xué)的探討

基于課堂教學(xué)的改革，從宏觀層面來看，是圍繞教學(xué)綱要，進(jìn)行教學(xué)備課、教法的選取、教學(xué)方式的抉擇、教學(xué)手段的定位以及制定教學(xué)評(píng)價(jià)方式等；從微觀角度來說，一線教師要以真正培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題及解決問題的能力為主要目的，發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力以及論證推理能力，并培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。但是，現(xiàn)實(shí)的課堂教學(xué)中，我們不僅要扮演好知識(shí)講解與傳授的角色，還要兼顧學(xué)生接受知識(shí)的現(xiàn)有水準(zhǔn)。學(xué)生需要“一碗水”的時(shí)候，我們不僅要準(zhǔn)備好足夠的水，更要把“水倒準(zhǔn)”。因此，筆者認(rèn)為，在高等代數(shù)課堂教學(xué)中，解決數(shù)學(xué)問題時(shí)滲透研究性學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步養(yǎng)成主動(dòng)學(xué)習(xí)的行為習(xí)慣，同時(shí)對(duì)教師的專業(yè)發(fā)展也具有一定的促進(jìn)作用。鑒于此，筆者針對(duì)一線高等代數(shù)課堂教學(xué)中的教學(xué)反思與感悟，略談一二。

3.1 在類比教學(xué)中剖析概念間的實(shí)質(zhì)聯(lián)系

高等代數(shù)課程起步較晚，具有劃時(shí)代鮮明特點(diǎn)，研究該課程所需的數(shù)學(xué)思想與方法比較獨(dú)特，具有強(qiáng)烈的辯證意義特征，尤其在相似概念之間的辨析與論證時(shí)，具有高度的抽象性與概括性。歸根結(jié)底，不論解決高等代數(shù)問題還是解決其他課程中的數(shù)學(xué)問題，都是以概念為核心，所有新知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程都離不開概念這個(gè)大前提。因此，概念學(xué)習(xí)的重要性是我們一線教師教學(xué)時(shí)必須要擺正的教學(xué)觀。

此外，對(duì)于概念的教學(xué)要有針對(duì)性、靈活性、啟發(fā)性，例如，在介紹“矩陣”這一概念時(shí)，并非僅僅局限于直接講出矩陣的字面含義，我們可以從線性方程組的角度出發(fā)，由于線性方程組的解由系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)所決定的，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上述的元素可以構(gòu)成一個(gè)表格，在此基礎(chǔ)上添加括號(hào)后就變?yōu)榫仃?。既捋順了概念的合理存在性，又緊密貼合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，明確了新概念是客觀事物的某種反映。

3.2 在有限教學(xué)課時(shí)內(nèi)合理改革教學(xué)內(nèi)容

課堂教學(xué)在遵循循序漸進(jìn)教學(xué)原則的大前提下，還要考慮教學(xué)時(shí)限。而高等代數(shù)課程的特點(diǎn)是抽象性和概括性較強(qiáng)，其概念、性質(zhì)、定理等交織出了該課程的基本框架，其解題思想和解題方法為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程搭建了橋梁，而在兩個(gè)學(xué)期的時(shí)間內(nèi)學(xué)完高等代數(shù)課程，時(shí)間倉促緊張，如何在有限課時(shí)內(nèi)完成該課程的教學(xué)以及使課程收效達(dá)到最大化，是我們一線教師重點(diǎn)探討和鉆研的話題。

當(dāng)前多數(shù)高校數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)課程均采用北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》教材，此教材體系嚴(yán)密，理論性強(qiáng)，其編寫思路是以“概念→定理→證明”為主的嚴(yán)謹(jǐn)邏輯思緒，大部分學(xué)生初學(xué)該課程時(shí)覺得比較困難。為了實(shí)踐研究性學(xué)習(xí)，在授課時(shí)可根據(jù)內(nèi)容的板塊和分類對(duì)講授內(nèi)容的順序做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，如圍繞線性方程組的有解判定、唯一解的求法、有無窮多解時(shí)解的結(jié)構(gòu)，重新構(gòu)建授課內(nèi)容框架，將教材中第2～4章內(nèi)容講授順序調(diào)整為：行列式及其計(jì)算—矩陣及其運(yùn)算—初等矩陣—逆矩陣的求法—消元法—n維向量空間—線性相關(guān)性及矩陣的秩—線性方程組有解判定—線性方程組解的結(jié)構(gòu)等。

大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)課程時(shí)難以對(duì)課程中有聯(lián)系的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)性的記憶和總結(jié)，可通過對(duì)各章節(jié)內(nèi)容、專題內(nèi)容和學(xué)科交叉型內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比、聯(lián)系與總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生厘清知識(shí)脈絡(luò)，建立高等代數(shù)的知識(shí)框架，認(rèn)識(shí)不同學(xué)科對(duì)同一數(shù)學(xué)集合研究角度和方法的區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的數(shù)學(xué)思維方法，加深對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，提高學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。如可用如下圖1中的知識(shí)框架圖來幫助學(xué)生掌握和復(fù)習(xí)章與章內(nèi)容之間的關(guān)系：

圖1

從上述知識(shí)框架圖就可讓學(xué)生清晰地了解章與章之間的關(guān)系，相關(guān)內(nèi)容之間的相互關(guān)系。例如，從圖中可知線性變換其實(shí)是線性空間中一個(gè)具體研究的內(nèi)容，其可構(gòu)成特殊的線性空間，其建立了第六、第七章之間的關(guān)系；此外，第五章二次型與第四章矩陣其實(shí)是同一事物兩種不同的語言表示形式，任意一個(gè)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣都是對(duì)稱矩陣，關(guān)于二次型的一些結(jié)論也可用矩陣的語言來描述，反之對(duì)稱矩陣的若干結(jié)論也可通過二次型的語言來描述。故通過知識(shí)框架給學(xué)生授課和復(fù)習(xí)可使學(xué)生在大腦中形成整體知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生清晰學(xué)習(xí)內(nèi)容，及它們之間的關(guān)聯(lián)，幫助理解知識(shí)點(diǎn)，使知識(shí)點(diǎn)理解和記憶更深刻和透徹。

3.3 在學(xué)生認(rèn)知范疇內(nèi)合理選擇適切的教學(xué)方法

鑒于高等代數(shù)課程內(nèi)容多、概念抽象、邏輯性強(qiáng)，教師授課時(shí)可以采用啟發(fā)式和探究式的教學(xué)方法，做到突出重點(diǎn)和突破難點(diǎn)的效果。例如，n維線性空間V中的全體線性變換所構(gòu)成的線性空間L(V)同構(gòu)于數(shù)域P上全體矩陣所構(gòu)成的線性空間Pn×n，從線性變換可對(duì)角化→線性變換矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形都是以上教學(xué)思維的體現(xiàn)，這些內(nèi)容都是該課程的重難點(diǎn)，有必要做到細(xì)講、精講，對(duì)于激活學(xué)生線性思維培養(yǎng)、為后續(xù)培養(yǎng)學(xué)生的非線性思維具有重要的作用。對(duì)于高等代數(shù)中的部分難點(diǎn)和前后相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)，采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)、參與式等教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)過程，調(diào)動(dòng)和發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高自主學(xué)習(xí)意識(shí)。

此課程中的許多理論有著很強(qiáng)的幾何背景，對(duì)過于抽象的相關(guān)內(nèi)容，可有效利用直觀演示法，借助幾何直觀性，幫助學(xué)生理解和掌握相關(guān)定理和概念。例如，在歐式空間中兩個(gè)向量α和β正交，那么推想|α+β|2=|α|2+|β|2成立，可用中學(xué)幾何的勾股定理的圖形(見圖2)來引出：

圖2

通過具體的幾何圖形，為學(xué)生由初等代數(shù)的思維逐漸過渡到高等代數(shù)的思維搭建了橋梁，使高等代數(shù)中一些抽象的概念形象地展現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解更透徹。再例如，在講授將一組線性無關(guān)的向量組通過施密特正交化過程化為單位正交向量組時(shí)，按公式化的形式展現(xiàn)給學(xué)生的效果不好，學(xué)生難以理解，可利用多媒體和數(shù)學(xué)軟件將其幾何意義展示在屏幕上，讓學(xué)生更加直觀地理解施密特正交化過程的真正含義——用已知向量減去其在已有正交向量組上的投影。

此外，在教學(xué)中可以滲透“點(diǎn)、線、面”教學(xué)思想，問題與問題之間以“串”的形式進(jìn)行銜接，從涉及的基本概念為核心突破點(diǎn)，同時(shí)追溯定理的歷史源頭，在每一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)學(xué)成后，及時(shí)把涉及的關(guān)鍵知識(shí)內(nèi)容“串”成“線”。當(dāng)每一個(gè)部分內(nèi)容學(xué)完后，把每塊內(nèi)容之間拓展成一個(gè)“面”。例如，矩陣的特征值與特征向量的有關(guān)概念→求給定矩陣特征值和特征向量的方法→相似矩陣可對(duì)角化的條件→實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法。

4 教學(xué)啟示

對(duì)于高等代數(shù)課程的教學(xué)，我們一線教師要在研究透教學(xué)大綱和教學(xué)目的的前提下備課，備課是一個(gè)系統(tǒng)工程，不僅僅是寫教案，要備教材、備學(xué)生、備教法以及搜集相關(guān)教學(xué)信息。此外在用好教材的同時(shí)，要理解教材、琢磨教材并跳出教材，分清教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)。關(guān)于遇到概念、定理多，難以理解通透的問題時(shí)，要講解透徹、全面。每講一個(gè)概念，要抓住概念的內(nèi)涵和外延，引用學(xué)生熟悉的例子進(jìn)行類比講解，將新知識(shí)與學(xué)生原有知識(shí)進(jìn)行有效的銜接，有助于弄清楚概念的本質(zhì)特征。在講課時(shí)要做到概念細(xì)講，性質(zhì)及結(jié)論講完后應(yīng)以練習(xí)為主。此外，在課堂教學(xué)中，還有注重高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合，這樣便易于把握學(xué)生的學(xué)情。

牛頓曾經(jīng)說過：“在學(xué)習(xí)科學(xué)時(shí)，題目比規(guī)則還有用些?！痹诟叩却鷶?shù)課程的教學(xué)中，對(duì)于定理、例題及習(xí)題應(yīng)注重一題多解，可通過縱橫發(fā)散、知識(shí)串聯(lián)、數(shù)形結(jié)合、綜合溝通，達(dá)到舉一反三、學(xué)細(xì)學(xué)精的目的，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的好方法。

高等代數(shù)不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要基礎(chǔ)課程及許多后續(xù)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試的考試科目之一。雖然多數(shù)學(xué)校開設(shè)了一學(xué)年的高等代數(shù)課程，但是由于該課程內(nèi)容多，課時(shí)依然不夠，即教學(xué)內(nèi)容很難進(jìn)行加深與加難，達(dá)不到深度學(xué)習(xí)與研究性學(xué)習(xí)的目的，雖然后期有高等代數(shù)選講內(nèi)容的加入，但是課時(shí)相比之前的學(xué)習(xí)又遞減了近乎三分之一，因此有必要在第一年學(xué)習(xí)階段教學(xué)中適當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容的深、難度。期望通過對(duì)本課程的教學(xué)從各方面進(jìn)行相應(yīng)的改革，使學(xué)生能夠?qū)Ω叩却鷶?shù)課程有著較全面、深刻的理解，同時(shí)使學(xué)生更深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象嚴(yán)謹(jǐn)性，要學(xué)好數(shù)學(xué)需要逐步養(yǎng)成縝密的邏輯思維，學(xué)以致用。