考研數學中關于“大數定律與中心極限定理”的解題研究

陳貝寧 張瑩婕 曹鈺涵

1.河海大學商學院 江蘇常州 213022；2.河海大學里爾學院 江蘇南京 201198

大數定律和中心極限定理作為概率論與數理統(tǒng)計知識中的重要板塊，多次出現(xiàn)在考研數學真題中，題型較為靈活多變，如果考生只是簡單地了解定理內容，而不能在解題中靈活運用，則很容易失分。因此，備戰(zhàn)考生們應秉持著耐心的態(tài)度去認真復習這一板塊。首先，需要熟悉切比雪夫不等式的內容，重點理解其應用；其次，必須把大數定律的結論理解透徹；最后，需要掌握中心極限定理的結論及其應用。

大數定律和中心極限定理作為重點內容，不僅會通過選擇題或填空題的方式來呈現(xiàn)，還會作為知識點出現(xiàn)在綜合題中?？键c比較固定，主要考察大數定律和中心極限定理的結論如辛欽大數定律、獨立同分布的中心極限定理等。

接下來通過梳理歷年考研真題，探討解題思路，歸納常見考點，有利于考生提高復習效率。

1 大數定律

人們在長期實踐中發(fā)現(xiàn)，隨機進行某種試驗時，若試驗次數很少，結果往往是無規(guī)律可循的，不具有確定性，但是在一定條件下，當試驗次數逐漸增多，其結果往往會趨向穩(wěn)定，呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即大量重復的隨機現(xiàn)象的總體性規(guī)律一般是以算術平均值的形式表現(xiàn)出來。大數定律就是由上述概率論命題衍生出的重要理論之一。

定理一(切比雪夫Chebyshew定理)[1]

若{Xn}為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)≤c，i=1，2，…，則{Xn}服從大數定律，即對任意的ε>0，下式成立。

定理二(貝努里Bernoulli定理)[2]

設fA是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數ε>0，有：

定理三(辛欽Kinchin定理)[2]

2 大數定律和中心極限定理的關系的探討

上述簡要介紹了大數定律的幾個重要定理，盡管它們在表達方式上有所不同，但是它們都表達同一個原理，即在大量重復的樣本條件下，樣本平均值可以近似看成是總體平均值(數學期望)。而中心極限定理在大數定律的基礎上進一步發(fā)展，以數量形式從隨機變量的分布律方面揭示了分布律的極限問題[3]，其核心思想是大量獨立同分布的變量和的極限分布服從于正態(tài)分布。

大數定律重點闡述的原理是：

可見，中心極限定理和大數定律的關系是密不可分，前后銜接的。

3 中心極限定理的結論和應用

定理四(獨立同分布的中心極限定理)[5]

設X1，X2，…，Xn，…獨立同分布隨機變量序列，且E(Xk)=μ，Var(Xk)=σ2，則對任給x∈(-∞，+∞)，均有:

其中φ(x)是標準正態(tài)分布N(0，1)的分布函數。

定理五(李雅普諾夫Liapunov定理)[6]

的分布函數Fn(x)對于任意x，滿足:

定理六(德莫佛—拉普拉斯De Moivre-Laplace定理)[6]

設隨機變量ηn(n=1，2，…)服從參數為n，p(0

中心極限定理作為概率論與數理統(tǒng)計的重要理論之一，描述了獨立同分布隨機序列的和以及算數平均的分布性質，廣泛應用于實際生活，為解決實際問題提供了有力的理論支撐。下文從幾個例子來具體說明其運用。

例1 一公司有50張簽約保險單，各張保險單的索賠金額為Xi，i=1，2，…，50(以千美元計)服從韋布爾分布，均值E(Xi)=5，方差D(Xi)=6，求50張保險單索賠的合計金額大于300的概率(設各保險單索賠金額是相互獨立的)。

則50張保險單索賠的合計金額大于300的概率為0.19%。

例2 某藥廠斷言，該廠生產的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難血液病的治愈率為0.8，醫(yī)院任意抽查100個服用此藥品的病人，若其中多于75人治愈，就接受此斷言，否則就拒絕此斷言。若實際上此藥品對這種疾病的治愈率為0.7，問接受這一斷言的概率是多少?

解析：若實際上治療率為0.7，即X∽N(100×0.7，100×0.7×0.3)。

所求概率:

P1=P(X>75)

=1-φ(1.09)

=1-0.8621

=0.1379

4 歷年考研題中大數定律的應用

例2 (2014數學一)設總體X的分布函數為:

其中θ是未知參數且大于零。X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本。

答案：存在α=θ，使得對任意的ε>0，有:

5 歷年考研題中中心極限定理的應用

例1 (2001數學三)一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977(φ(2)=0.977，φ(x)是標準正態(tài)分布函數)

答案：每輛車最多可以裝98箱。

解析：設Xi(i=1，2，…，n)是裝運的第i箱的重量(單位：千克)，n是所求箱數。由題設可以將X1，Xi，…，Xn視為獨立同分布的隨機變量，而n箱的總重量Sn=X1+X2+…+Xn是獨立同分布隨機變量之和。

由題設，有:

所以:

E(Sn)=E(X1+X2+…+Xn)

=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)

=50n

D(Sn)=D(X1+X2+…+Xn)

=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

=25n

則根據列維-林德伯格中心極限定理，知Sn近似服從正態(tài)分布N(50n，25n)，箱數n根據下述條件確定:

=φ(2)

A.1-φ(1) B.φ(1) C.1-φ(2) D.φ(2)

答案：B

即N(50，25)。

=φ(1)

結語

大數定律和中心極限定理作為考研數學中的考查內容之一，其重要性不容忽視。考生不僅需要理解定理內容，更應在此基礎上把它和其他知識點有機結合起來，靈活運用。本文詳細介紹了概率論與數理統(tǒng)計中的重要內容——大數定律和中心極限定理，從對定理內容的逐步說明到考研真題的思路解析，深刻剖析了大數定律和中心極限定理的本質，有助于考生不再局限于課本定理內容，達到了快速抓住問題本質，選取最佳解題路徑的效果。